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#1 05-02-2022 16:25:54
- Bernard-maths
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La dualité en Géométrie, et de jolies figures.
Bonjour à tous !
Voilà un nouveau thème que je vous propose ... Vous trouverez de nombreuses références sur le Net !
Je vais vous présenter cela à ma manière, avec des dessins, et peut-être des équations ... ?
Alors commençons par un exemple classique, le cube ! Soit un cube rose ABCDEFGH, et les centres des 6 faces, I, J, K, L, P et Q. Ces 6 derniers points sont les sommets d'un octaèdre vert "inscrit" dans le cube. On dira que cet octaèdre est le dual (interne) du cube.
Et on peut continuer ! Soient R, S, T, U, V, W, Z et N les centres des 8 faces de l'octaèdre. Cela permet de tracer un cube bleu dont les 8 sommets sont les 8 centres des faces de l'octaèdre ! On dira alors que ce cube bleu est le dual (interne) de l'octaèdre vert.
On peut ainsi continuer indéfiniment ... Remarquons que les cubes, et les octaèdres, vont aller en diminuant de taille, d'un facteur 3 en longueur, donc 27 en volume ... Un cube et un octaèdre dual sont alors 2 polyèdres duaux.
Mais on peut faire les choses en sens inverse, c'est à dire partant de l'octaèdre vert, construire le cube rose autour, on dira alors que ce cube rose est le dual (externe) de l'octaèdre vert. De même l'octaèdre vert est le dual (externe) du cube bleu ... etc !
Voilà pour un premier exemple ... Mais on peut se poser la question : qu'y-a-t-il entre les 2 polyèdres duaux ? Si on part du cube et si on "va vers" l'octaèdre, que se passet-il entre les deux ???
Eh bien, je dirai que ça dépend de la façon dont on s'y prend !? Et à mon avis il y a de quoi faire pour les artistes !
Passer d'un polyèdre à un dual, et réciproquement, c'est établir une (ou 2) bijection(s) entre les sommets de l'un et les (centres des) faces de l'autre ... Il y a de quoi faire !
Dans la suite, je vais vous proposer une méthode géométrique, avec des animations, et peut-être des équations.
Voici le lien de l'animation : https://cjoint.com/c/LBgjiXzRBce
Pour le moment l'animation est un peu rapide, mais ... ça tourne !
Voici un endroit où j'ai déjà parlé de ça : https://cjoint.com/doc/21_05/KEhtYwxvay … -05-07.jpg
Dans Courbes et surfaces de niveaux : https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=13953
Je vais poursuivre plus loin, Bernard-maths
Dernière modification par Bernard-maths (10-08-2023 11:35:12)
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#3 05-02-2022 17:26:24
- Bernard-maths
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Re : La dualité en Géométrie, et de jolies figures.
Merci jpp, je fais souvent ce lapsus ! Je rectifie ...
Quant à être son propre dual me semble être un "abus" de langage, il faut comprendre que le dual, interne ou externe, d'un tétraèdre est en fait un autre tétraèdre ! Ce qui ne se produit pas sur des polyèdres qui n'ont pas le même nombre de sommets et de faces. Voilà !
A plus.
Dernière modification par Bernard-maths (05-02-2022 17:35:02)
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#4 06-02-2022 10:30:32
- Bernard-maths
- Membre Expert
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- Messages : 1 862
Re : La dualité en Géométrie, et de jolies figures.
Bonjour à tous !
Maintenant que vous avez vu un premier exemple de passage d'un cube à son octaèdre dual (interne), avec les étapes intermédiaires, je vais vous expliquer "cette première méthode". Elle consiste à partir du cube, puis à réduire les 6 faces par homothétie de centre : le centre de chaque face du cube. Le coefficient k de l'homothétie variant de k=0 pour le cube, à k=1 pour l'octaèdre ...
Sur la figure de gauche, on a décomposé les 8 sommets en 8 points, d'indice 1, sur les 2 faces du cube orthogonales à (x'x), selon une formule GeoGebra : A1=k' L + k A ... etc. Cette formule dit que A1 est le barycentre de L(k) et de A(k') ; k' = 1 - k ... si k=0 alors A1=A, et si k=1, k'=0 et alors A1=L !
Vectoriellement on a : (k'+k) . Vec(OA1) = k'. Vec(OL) + k. Vec(OA), avec (k'+k)=1. Vec pour vecteur ...
On fait de même pour chaque sommet, puis de même sur les faces orthogonales à (y'y), indices 2, puis orthogonales à (z'z), indices 3. Figure de droite ! Dans l'animation précédente, on voit les faces roses passer de celles du cube à rien du tout, quand k varie de 0 à 1.
Ensuite on complète la figure, d'abord par les 8 triangles verts "sous" les 8 sommets, puis les 12 rectangles jaunes, pour boucher les trous ! A1A2A3, B1B2B3 ... etc.
Les nombreuses symétries du cube, et des formules utilisées, font que l'on a des triangles équilatéraux et des rectangles, donc des angles droits ...
La figure sans rectangles colorés fonctionne très bien, les carrés roses diminuent, pendant que les triangles verts grandissent, jusqu'à se cotoyer et former l'octaèdre. Colorier les rectangles fait donc plus joli !
Curiosité : pour k = 2 - Rac(2) = 0.59 ... environ, les rectangles sont tous des carrés. On a un 26-èdre bien connu, le Rhombicuboctaèdre ! Voir : https://cjoint.com/doc/21_05/KEshKAVBcU … -05-18.png
Conclusion : la méthode employée consiste donc à réduire chaque face par homothétie de centre l'isobarycentre des sommets de la face, ce qui assure d'avoir des arêtes parallèles aux arêtes du polyèdre de départ, et donc des plans sécants parallèles à ces arêtes. Et d'avoir autour des sommets des polygones plans ...
Ce qui permettra d'aborder le problème des équations ...
A plus pour la suite. Bernard-maths
Dernière modification par Bernard-maths (13-02-2022 17:03:25)
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