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A.Rayan

Invité

Zone d'ombre sur la géométrie dans l'espace...

Bonsoir à vous tous !

Je suis élève en Terminale spé. maths et on entame un nouveau chapitre sur la géométrie dans l’espace et je suis un peu perdu su certaines notions. Je vous montre l'activité qui me pose problème.

[img=file:///C:/Users/ASUS/Desktop/Screen%20de%20l'activit%C3%A9.png]file:///C:/Users/ASUS/Desktop/Screen%20de%20l'activit%C3%A9.png[/img]

Voici ma question: En quoi montrer qu'il n'existe pas de solutions réelles à la combinaison linéaire CG = aAB + bBH est une condition suffisante pour prouver que le triplet (AG, BH, CG) est bien une base de l'espace ?

Bien à vous,
Rayan.

A.Rayan

Invité

Re : Zone d'ombre sur la géométrie dans l'espace...

Je viens de remarquer que je me suis gouré pour l'image. La voici:

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Zone d'ombre sur la géométrie dans l'espace...

Bonjour,

  Je ne suis pas forcément la personne la plus au point sur le programme de géométrie de Terminale, mais voici ce que je lis dans ce cours : https://www.lelivrescolaire.fr/page/10486827

* 3 vecteurs de l'espace forment une base lorsqu'ils sont linéairement indépendants, c'est-à-dire lorsqu'ils ne sont pas coplanaires.

* si deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires, alors les vecteurs $\vec u, \vec v$ et $\vec w$ sont coplanaires si et seulement s'il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que $\vec w=\lambda\vec u+\mu\vec v$.

C'est cette propriété qui est utilisée ici, car les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BH}$ ne sont pas colinéaires.

F.

A.Rayan

Invité

Re : Zone d'ombre sur la géométrie dans l'espace...

Bonjour,

  Je ne suis pas forcément la personne la plus au point sur le programme de géométrie de Terminale, mais voici ce que je lis dans ce cours : https://www.lelivrescolaire.fr/page/10486827

* 3 vecteurs de l'espace forment une base lorsqu'ils sont linéairement indépendants, c'est-à-dire lorsqu'ils ne sont pas coplanaires.

* si deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires, alors les vecteurs $\vec u, \vec v$ et $\vec w$ sont coplanaires si et seulement s'il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que $\vec w=\lambda\vec u+\mu\vec v$.

C'est cette propriété qui est utilisée ici, car les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BH}$ ne sont pas colinéaires.

F.

Bonsoir,

Tout d'abord, je te remercie pour ta réponse. Tu dis que

si deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires, alors les vecteurs $\vec u, \vec v$ et $\vec w$ sont coplanaires si et seulement s'il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que $\vec w=\lambda\vec u+\mu\vec v$.

. Cependant, dans l'activité, on prouve qu'il n'existe pas de réels $\lambda$ et  $\mu$ tels que $\vec w=\lambda\vec u+\mu\vec v$...
Au fait, je pense qu'il faudrait d'abord définir ce qu'est une base du plan, ce que je ne saurais pas faire...

Bien à vous,
Rayan.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Zone d'ombre sur la géométrie dans l'espace...

Tu dis que

si deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires, alors les vecteurs $\vec u, \vec v$ et $\vec w$ sont coplanaires si et seulement s'il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que $\vec w=\lambda\vec u+\mu\vec v$.

. Cependant, dans l'activité, on prouve qu'il n'existe pas de réels $\lambda$ et  $\mu$ tels que $\vec w=\lambda\vec u+\mu\vec v$...

Justement, tu veux prouvez que les vecteurs ne sont pas coplanaires.... donc tu veux prouver qu'il n'existe pas deux tels réels.

Au fait, je pense qu'il faudrait d'abord définir ce qu'est une base du plan, ce que je ne saurais pas faire...

Une base du plan, c'est simplement deux vecteurs $(\vec u,\vec v)$ qui ne sont pas colinéaires. Dans ce cas, tout vecteur $\vec w$ du plan s'écrit, de façon unique, comme combinaison linéaire de $\vec u$ et $\vec v$ : $\vec w=\lambda\vec u+\mu\vec v$.

Une base de l'espace, ce sont trois vecteurs $(\vec u,\vec v,\vec w)$ tel que, si tu prends un autre vecteur $\vec t$ de l'espace, il peut s'écrire de façon unique comme combinaison linéaire de $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ : $\vec t = a\vec u+b\vec v+c\vec w$.

On peut prouver que trois vecteurs $(\vec u,\vec v,\vec w)$ forme une base de l'espace si et seulement si, dès que l'on a l'égalité
$a\vec u+b\vec v+c\vec w=\vec 0$, alors $a=b=c=0$. C'est essentiellement ce qui est fait dans l'activité : si $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires, $(\vec u,\vec v,\vec w)$ forme une base de l'espace si et seulement si on ne peut pas écrire $\vec w$ comme combinaison linéaire de $\vec u$ et de $\vec v$.

F.