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pentium mix

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dénombrement

Bonjour svp j'ai un exercice de denombrement sur lequel je n'arrive pas a faire grand chose

Soit P= {1,2,...N} une population de N individus distincts.

Un échantillon avec répétition de taille n de P est une série de n tirage successifs avec remise d'un individu de P. On désigne par En l'ensemble des échantillons avec répétition de taille n de P
1 Déterminer le cardinal de En.

2) Déterminer le nombre total d'apparitions de tous les individus de P dans tous les étantillons de En

On note Qn(i) le nombre d'apparitions de l'individu i dans tous les échantillons de En

3) Calculer Qn(i).
4) Determine E(i,j) le nombre d'échantillons de En où i figure k fois, k=0,1,...,N

5)En déduire Qn(i)
6 ) Soit En(i) l'ensemble des échantillons de En où i figure au moins une fois.  Déterminer cardEn(i)

7) Déduire du calcul prececedent, la probabilité pour que i figure au moins une fois dans un échantilon de En

A mon avis le cardinal de En c'est N^n
Après je ne comprend plus rien de l'exercice
Merci

Dernière modification par pentium mix (05-07-2021 05:26:07)

Zebulor

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Re : dénombrement

Bonjour,
je trouve la même chose que toi pour la question 1.
Si j'ai bien compris la question 2, pour fixer les idées en prenant un échantillon avec répétition de taille 2 avec 2 tirages successifs tu as la série : (1,1),(1,2),(2,1),(2,2) et chaque individu apparaît 4 fois..

Dernière modification par Zebulor (05-07-2021 12:55:16)

pentium mix

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Re : dénombrement

Bonjour,
je trouve la même chose que toi pour la question 1.
Si j'ai bien compris la question 2, pour fixer les idées en prenant un échantillon avec répétition de taille 2 avec 2 tirages successifs tu as la série : (1,1),(1,2),(2,1),(2,2) et chaque individu apparaît 4 fois..

Ça me donne une idée pour la question 3
Dans un échantillon prit au hasard, le nombre i peut apparaitre 0,1,2,..,n fois
Du coup je pense que  le nombre d'apparition de i dans tous les échantillon c'est la somme  de : k × nombre d'échantillons où i apparaît k fois; k allant de 0 a n

Pour la question 2 je crois que le nombre total d'apparition de tout les individus c'est le cardinal de En × le nombre total d'individus de P soit N × N^n 
Je me demande si c'est vraiment ça !!

Dernière modification par pentium mix (05-07-2021 13:25:47)

Zebulor

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Re : dénombrement

Dans un échantillon prit au hasard, le nombre i peut apparaitre 0,1,2,..,n fois
Du coup je pense que  le nombre d'apparition de i dans tous les échantillon c'est la somme  de : k × nombre d'échantillons où i apparaît k fois; k allant de 0 a n

Mais alors ce nombre ne dépendrait pas de la taille N de la population, ce qui me semble étrange...

pentium mix

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Re : dénombrement

Dans un échantillon prit au hasard, le nombre i peut apparaitre 0,1,2,..,n fois
Du coup je pense que  le nombre d'apparition de i dans tous les échantillon c'est la somme  de : k × nombre d'échantillons où i apparaît k fois; k allant de 0 a n

Mais alors ce nombre ne dépendrait pas de la taille N de la population, ce qui me semble étrange...

Je pense que le nombre d'échantillon ou i apparaît k fois dépend de N
Puisque i apparait k fois, on choisi les n-k autres éléments dans P distincts de i; je pense que le nombre de tels échantillons c'est (N-1)^(n-k)

Dernière modification par pentium mix (05-07-2021 20:10:33)

Zebulor

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Re : dénombrement

Rebonjour,
même si c'est implicite jusque là : le nombre total d'apparitions d'un individu de P dans tous les échantillons de En est indépendant de l'individu, s'agissant de tirages successifs aléatoires avec remise..

Dernière modification par Zebulor (07-07-2021 12:46:45)

Zebulor

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Re : dénombrement

Du coup je pense que  le nombre d'apparition de i dans tous les échantillon c'est la somme  de : k × nombre d'échantillons où i apparaît k fois; k allant de 0 a n

Oui, et tu peux dénombrer les échantillons de taille $n$ où $i$ apparaît $k$ fois en considérant l'un d'entre eux  : $(a_1,...,i,...,i,....,i,...a_n)$. Dans ce dernier tu peux dénombrer :
- les valeurs que peuvent prendre les $a_j$ différents de $i$ dans la population P,
- les $a_j$ différents de $i$
- les échantillons contenant exactement $k$ fois la valeur $i$ : c'est une combinaison.

Enfin comme tu l'écris il te reste à en faire la somme : c'est le cardinal de $E_n$... ce qui du même coup te fait répondre aux 5 premières questions ? si bien que je trouve ton problème bizarrement posé. De quoi s'y perdre au début du moins.
Finalement on a pris ton problème sans suivre l'ordre des questions mais je ne sais pas comment faire autrement ! J'ai remarqué que pour certains concours il peut être intéressant de lire rapidement toutes les questions quand le sujet n'est pas trop long.
Question 4 : Bizarre cette notation E(i,j).. une coquille ?
Question 6  : "au moins un" est le contraire de "aucun"
Question 7 : simple quotient de deux cardinaux. $\bar P=1-P$

Dernière modification par Zebulor (06-07-2021 19:50:43)

Zebulor

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Re : dénombrement

Rebonjour,

2) Déterminer le nombre total d'apparitions de tous les individus de P dans tous les étantillons de En

En fait ce problème est peut être mieux posé que je ne le pense.

Pour la question 2 je crois que le nombre total d'apparition de tout les individus c'est le cardinal de En × le nombre total d'individus de P soit N × N^n 
Je me demande si c'est vraiment ça !!

Tu peux facilement vérifier que ce n'est pas $N.N^n$ avec n=1, N=2 par exemple..

Je crois plutôt que c'est $nN^n$ = nombre d'échantillons (Card En) fois le nombre d'éléments contenus dans chaque échantillon (n) et non dans la population P.
Un élément de En étant un n-uplet $(a_1,a_2,....a_n)$ correspondant à n tirages successifs avec remise. Et il y a $N^n$ n-uplets..

De là Qn(i) s'en déduit facilement compte tenu que chaque individu apparaît avec la même probabilité et on recolle les morceaux pour la suite du problème. Et j'ai vérifié qu'on retrouve bien nos petits..

Dernière modification par Zebulor (07-07-2021 14:41:07)

bridgslam

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Re : dénombrement

Bonjour,

pour la 2) formons le tableau de dimensions [tex]N^n \times n [/tex] représentant tous les tirages avec leurs résultats.
Chacun des N individus apparait autant de fois qu'un autre dans ce tableau qui contient [tex]N^n \times n [/tex] éléments.
Donc un individu donné apparait  [tex] n. N^n /N = n.N^{n-1} [/tex] fois.
Je pense que c'est le nombre demandé.

Alain

bridgslam

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Re : dénombrement

et donc  tous  individus confondus, cela donne le nombre total d'éléments du tableau : [tex]n.N^n[/tex], en considérant les N individus.
C'est plutôt cela qui est demandé, je crois.

Alain

Zebulor

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Re : dénombrement

Bonjour,
en tout cas quel que soit le nombre demandé, je suis d'accord avec brigslam ..

bridgslam

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Re : dénombrement

4) [tex]E(i,k) = \binom{n}{k}(N-1)^{n-k}[/tex] est le nombre d'échantillons où l'individu i apparait k fois exactement.
   Il doit y avoir un schmilblick ( j ?) dans ton énoncé. Par ailleurs k varie de 0 à n, pas N.
   
5) Pour avoir [tex]Q_n(i)[/tex] on somme, pour k variant de 0 (ou 1 c'est pareil) à n  les [tex]k.E(i,k) [/tex], puisque i est présent exactement k fois pour chacun des échantillons dénombrés à la question précédente...
Un peu de calcul pas trop dur ( on abaisse d'un cran le rang de k en factorisant par n, puis on fait un changement d'indice simple avec décalage de 1) montre que l'on retrouve la valeur précédente par la formule du binôme de Newton.

6) On a exactement [tex](N-1)^n[/tex] échantillons où l'individu i est absent, parmi les [tex]N^n[/tex] échantillons au total.
   Donc on a [tex]N^n -(N-1)^n [/tex] échantillons où i est présent.

7) La probabilité cherchée est donc [tex](N^n -(N-1)^n)/N^n   = 1 - (1-1/N)^n [/tex] ( en supposant les tirages équiprobables )
   Evidemment elle tend vers 1 lorsque la taille de l'échantillon tend vers l'infini, et d'autant plus vite que N est petit (choix restreint des individus...).

Dernière modification par bridgslam (08-07-2021 16:04:26)

Zebulor

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Re : dénombrement

re,
je ne voulais pas donner toutes les réponses à notre ami Pentium mix..
...sinon une chose m'interpelle : lorsque la taille de la population égale le nombre de tirages, la proba du 7 tend vers $1-\frac {1}{e}$ lorsque le nombre de tirages tend vers l infini

Dernière modification par Zebulor (08-07-2021 16:15:26)

bridgslam

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Re : dénombrement

Tout à fait, merci Messieurs  Napier  et Zebulor... :-)

Alain

Zebulor

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Re : dénombrement

Napier : je viens de faire le lien ..   :-)
merci Monsieur bridgslam je sais maintenant l'origine de ce logarithme !

bridgslam

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Re : dénombrement

Moi non plus au départ, mais au moins deux erreurs d'énoncé ( le j incongru et le k variant de 0 à N) m'ont interpellé et du coup j'ai fini le truc, en rectifiant le tir, au minimum pour que les assidus sérieux vérifient mon "bazar"...
Du coup je t'en remercie.
Merci à l'avenir de recopier correctement les énoncés svp:
Les choses sont déjà ( parfois, pour ne pas dire souvent... ) assez ardues avec de bons énoncés, pas besoin d'en rajouter à la Bahlsen... avec de vrais fausses cacahuètes, qui sèment le trouble.
La médaille Fields n'est pas loin si en plus vous corrigez celles du prof ! ( Si ,si, ça arrive...)

Questions subsidiaires: sans remises cette fois, et  si n est supérieur à N ... de quoi s'occuper cet hiver ou même en août, nouvelle vague oblige (?)

Bonne soirée
Alain

pentium mix

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Re : dénombrement

Merci pour vos reponses
Je vois que l'exercice n'était pas difficile en soit
Merci

Dernière modification par pentium mix (09-07-2021 03:59:37)

bridgslam

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Re : dénombrement

Bonjour,

De mémoire Napier était bien son nom ( écossais ? ),  anglicisé sans doute ensuite en Neper, une façon comme une autre de s'approprier un lopin d'Ecosse pour nos amis anglais :-)

Alain