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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 13-04-2021 18:19:49
- Monteur
- Invité
Matrice orthogonale, mais ça je dois le prouver!
Bonjour,
Voici un début d'exercice sur lequel j'aurais besoin d'aide:
J'ai tenté différentes méthodes pour essayer d'avancer, (en faisant apparaitre des inverses ou en modifiant les transposées) mais je ne parviens pas a tomber sur le résultat voulu.
J'aurais bien aimé avoir pour donnée que la matrice A est orthogonale, car tout aurait été réglé. Et d'ailleurs j'ai essayé de prouver qu'elle est orthogonale (de plus elle l'est dans la suite de l'exercice), mais encore une fois sans succès.
Je serais gré d'entendre ce que vous pensez sur ce sujet
Merci de m'avoir accordé votre temps
#2 13-04-2021 23:05:57
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 803
Re : Matrice orthogonale, mais ça je dois le prouver!
Bonsoir,
Tu peux remarquer que $B = A^3$ est symétrique, donc écrire $B=PD\,^t\!P$.
Vérifier ensuite que $B^2=B$ et en déduire que $D^2=D$...
Roro.
Dernière modification par Roro (13-04-2021 23:07:09)
Hors ligne
#3 14-04-2021 15:30:30
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 913
Re : Matrice orthogonale, mais ça je dois le prouver!
Bonjour,
Par exemple on a [tex]A^4 = A^2A^2 = A^tA^t = (A^2)^t = (A^t)^t = A[/tex].
En multipliant par l'inverse de A les deux membres on obtient le résultat attendu...
Alain
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#4 15-04-2021 12:25:10
- Ophephe
- Membre
- Inscription : 15-04-2021
- Messages : 4
Re : Matrice orthogonale, mais ça je dois le prouver!
Bonjour,
Etant physicien à la base (donc "bourrin")... je commencerais par utiliser la propriété de A en transposant:
$$(A^T)^T = ( A^2 )^T = A^T A^T $$
j'ai donc: $ A = A^T A^T $, je réutilise la propriété de l'énoncé pour écrire:
$$A = A^2 A^2 = A^4 $$ je factorise ensuite les matrices:
$$ A ( A^3 - I_3 ) = 0 $$ je conclue que $ A^3 = I_3 $.
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