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KRZ

Invité

Densité de produit.

Salut tout le monde, j'aurai besoin d'un petit coup de main sur le calcul de la densité d'un produit de variables aléatoires indépendantes.

Si on note X=UV avec U et V étant toutes les deux Uniforme sur [0;teta], comment peut-on calculer la densité de X ?
Peut-on faire l'inverse ? C'est-à-dire, si nous connaissons la densité de X dire que c'est le produit de deux variables aléatoires indépendantes suivant une certaine loi ?

Fred

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Re : Densité de produit.

Bonjour,

  D'abord, il faudrait avoir une hypothèse supplémentaire. Tu ne pourras rien dire si tu ne supposes pas que tes variables aléatoires sont indépendantes...
Ensuite, je pense qu'il y a au moins deux façons de s'y prendre. D'où une première question que je te pose : sais-tu comment calculer la loi de la somme de deux variables aléatoires indépendantes????

F.

KRZ

Invité

Re : Densité de produit.

Bonjour,

  D'abord, il faudrait avoir une hypothèse supplémentaire. Tu ne pourras rien dire si tu ne supposes pas que tes variables aléatoires sont indépendantes...
Ensuite, je pense qu'il y a au moins deux façons de s'y prendre. D'où une première question que je te pose : sais-tu comment calculer la loi de la somme de deux variables aléatoires indépendantes????

F.

Si si elles sont supposées indépendantes (t'as dû passé outre xD)
Oui pour la densité d'une somme j'y arrive, je ne sais juste pas comment m'y prendre pour le produit.

Fred

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Re : Densité de produit.

Une des possibilités, c'est de dire que $\ln X=\ln U+\ln V$, de calculer la densité de $\ln X$ comme somme de deux densités, puis de déduire celle de $X$...

KRZ

Invité

Re : Densité de produit.

Du coup je trouve, en intégrant, ln( x/téta^2)
Alors que je suis sensée trouver -1/téta^2 * ln( x/téta^2) .. Ai-je fais une erreur ? Ou manque-t-il une étape ?

Fred

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Re : Densité de produit.

Une densité négative ? Oui tu as dû faire une erreur !

krz

Invité

Re : Densité de produit.

Je ne fais que retomber sur le même résultat :/

KRZ

Invité

Re : Densité de produit.

On est bien d'accord que la densité de U et de V est 1/teta puisqu'ils sont de loi Uniforme sur [0;teta]

Fred

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Re : Densité de produit.

Oui!

KRZ

Invité

Re : Densité de produit.

Je trouve pas --', je dois faire une erreur quelque part que je n'arrive pas à voir..

Fred

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Re : Densité de produit.

Si tu expliques un peu le détail de tes calculs, quelqu'un pourra peut-être t'aider....

Sinon, il y a une autre solution : utiliser la loi du couple $(X,Y)$

F.

Romaiys

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Re : Densité de produit.

Je trouve pas --', je dois faire une erreur quelque part que je n'arrive pas à voir..

Bonjour,

Alors la densité citée plus haut est juste mais tu n'a pas mentionné d'indicatrice alors attention à une chose : l'intégration se fait donc sur le segment $[0, \theta]$ puisque la densité d'une loi $U([0, \theta])$ est $\frac{1}{\theta} 1_{[0, \theta]}$ !

Peut-être que l'erreur vient de la.. sinon sans voir les calculs on ne peut pas faire grand chose de plus !

Courage !

KRZ

Invité

Re : Densité de produit.

Je trouve pas --', je dois faire une erreur quelque part que je n'arrive pas à voir..

Bonjour,

Alors la densité citée plus haut est juste mais tu n'a pas mentionné d'indicatrice alors attention à une chose : l'intégration se fait donc sur le segment $[0, \theta]$ puisque la densité d'une loi $U([0, \theta])$ est $\frac{1}{\theta} 1_{[0, \theta]}$ !

Peut-être que l'erreur vient de la.. sinon sans voir les calculs on ne peut pas faire grand chose de plus !

Courage !

Oui j'ai bien pris sur cet intervalle malheureusement ca ne vient pas de là.. :/
Je vous enverrai mes calculs tout à l'heure.

Merci à tous