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Chris

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Congruence et soustraction

Bonjour,

question probablement un peu naïve de ma part (j'ai assez peu d'arithmétique modulaire dans mon bagage), mais pourriez-vous confirmer:
on cherche à résoudre un système de congruences; je me retrouve à une certaine étape avec la relation $15X+9\equiv  0 \mod 7,$ équivalente à $15X+2\equiv  0 \mod 7.$ La relation est-elle équivalente à $14X\equiv  5 \mod 7$?

(mais alors n'obtiendrait-on pas l'absurdité  $0\equiv  5 \mod 7$?)
Merci d'avance

Dernière modification par Chris (08-12-2020 00:56:29)

Fred

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Re : Congruence et soustraction

Bonjour

  Tu veux dire 15X=5 mod 7??

F.

Chris

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Re : Congruence et soustraction

Salut,

merci pour ta réponse. Je voulais en effet dire $15 X\equiv  5 \mod 7$ au  départ, puis je me suis dit que je soustrayais 7 à $15X+2,$ et j'ai soustrait $X$ à $15X$ comme s'il s'agissait de l'unité supérieure.

Ce serait donc bien $15 X\equiv  5 \mod 7$?

PS: j'aurais pensé que l'on ne peut pas avoir $X\equiv -k \mod n$ pour $k\in\mathbb{N}^*$ car la division euclidienne n'admet jamais un reste négatif. Aurais-je tort?

Dernière modification par Chris (08-12-2020 16:07:14)

Fred

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Re : Congruence et soustraction

Dans ce cas, oui, c'est équivalent à $15X\equiv 5\ \mod 7$ mais rien ne t'empêche d'écrire $15X\equiv -2\ \mod 7$.

Chris

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Re : Congruence et soustraction

Okay, très bien.
Merci

PS: oui (－‸ლ), il évident, maintenant que j'y pense, qu'il fallait que je me ramène à $[5]_7=[-2]_7$,  plutôt qu'à la définition du reste de la division euclidienne.

Dernière modification par Chris (08-12-2020 19:23:42)

freddy

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Re : Congruence et soustraction

Bonjour,

question probablement un peu naïve de ma part (j'ai assez peu d'arithmétique modulaire dans mon bagage), mais pourriez-vous confirmer:
on cherche à résoudre un système de congruences; je me retrouve à une certaine étape avec la relation $15X+9\equiv  0 \mod 7$ équivalente à $15X+2\equiv  0 \mod 7$. La relation est-elle équivalente à $15X\equiv 5\mod 7$?

Salut,

Oui ! Mais pour moi, on est aussi certain d’avoir $15X\equiv 5\mod 7$ ainsi que $X\equiv 5\mod 7$, donnant immédiatement la solution de cette équation modulaire.

Dernière modification par freddy (10-12-2020 14:08:50)

Chris

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Re : Congruence et soustraction

Salut,

oui en effet, puisque $15 \mod 7 \equiv 1.$

Merci