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Invité

Polynomes premiers entre eux [Résolu]

Salut à tous,

j'ai une petite question : je dois montrer que :

Soient P un polynome de degré n, et Q un polynome de degré m.
P et Q ne sont pas premiers entre eux dans K[X] ssi il existe 2 polynomes A et B non nuls de K[X] , de degrés degA<m, et degB<n, tq AP=BQ..

j'ai 2, 3 idées , je pensais a Bezout , Gauss...mais bon sans plus !

Merci pour votre réponse !

pin-pon

Invité

Re : Polynomes premiers entre eux [Résolu]

Bonjour.

Pour le sens direct, il suffit d'exploiter un diviseur commun : P=Bd, Q=Ad, et on conclut facilement.

Pour la réciproque, un petit raisonnement par l'absurde (on suppose AP=BQ mais P et Q premiers entre eux) qui fait intervenir le théorème de Gauss suffit.

Donc tes idées semblaient bonnes : pourquoi n'es-tu pas parvenu à conclure seul ?