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Kelian Roger

Invité

démonstration par récurrence

bonjour, j'ai un exercice où il faut prouver par récurrence que pour tout entier naturel n>=1

(1+i)^n = [racine(2^n)] [cos(npi/4) + i sin(npi/4)]

voilà voilà je ne sais pas trop par où commencé, j'ai vérifié au premier rang et posé l’hypothèse mais je vois pas comment passer de l'un a l'autre

yoshi

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Re : démonstration par récurrence

Re,

Commencer par écrire (1+i) sous forme trigonométrique.
Vérifier la formule pour 2/3 puissances simples
Admettre que c'est vrai à la puissance n
Montrer que c'est vrai pour la puissance n+1
Tu aura besoin de
$\cos a \cos b-\sin a\sin b=\cos(a+b)$
$\sin a \cos b + \sin b \cos a=\sin(a+b)$
-
@+

Kelian Roger

Invité

Re : démonstration par récurrence

Re,
je n'ai pas encore vu ça mais j'ai trouvé pour z=1+i, sa forme trigonométrique, z = racine(2) [cos(pi/4) + i sin(pi/4)]
mais je ne vois pas comment m'occuper de la puissance n, j'ai bien réussis a la caser la où il faut pour arriver là où il faut arriver mais je ne comprends pas réellement ce que je dois en faire
merci de votre aide !

Kelian Roger

Invité

Re : démonstration par récurrence

oh, et maintenant que j'y pense comment ou pourquoi 2/3 est une puissance simple ?

yoshi

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Re : démonstration par récurrence

Bonjour,

je n'ai pas encore vu ça

Ah .....

Bon, alors connais-tu la formule de Moivre (Attention ne s'applique qu'aux complexes) :
$(\cos x + i \sin x)^n = \cos nx + i\sin nx$ ?

Comme il y a des chances que non, il va falloir que je trouve un 3e moyen...

oh, et maintenant que j'y pense comment ou pourquoi 2/3 est une puissance simple ?

D'où vient cette affirmation ?
A priori, sans en savoir plus, je ne vois que cela :
$a^{\frac 2 3}=\sqrt[3] {a^2}$
(racine cubique du carré de a)

@+

valoukanga

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Re : démonstration par récurrence

Bonjour à vous deux !

Il y a une petite confusion. @Yoshi a dit de vérifier la formule pour 2/3 puissances simples, c'est-à-dire quelques puissances simples ($n=0,1,2,3$...) alors que @Kelian Roger a compris que 2/3 était une puissance "simple".

yoshi

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Re : démonstration par récurrence

Ah !!!

Merci ami relecteur !

Mais cher Kilian Roger, j'avais écris 2/3 puissances simples...
En principe, je ne fais pas de fautes de grammaire (surtout aussi grossière), donc 2/3 puissance simple ça n'a pas de sens ! D'où l'importance de l'haurteaugraffe (^_^) !

Sinon, qui a une idée pour une 3e voie ?

Roro

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Re : démonstration par récurrence

Bonjour,

A mon avis il est possible de faire une récurrence toute "simple"  en écrivant (je n'écris pas tout...) :
$$(1+i)^{n+1} = \sqrt{2^n}\Big(\cos(\frac{n\pi}{4})+ i \, \sin(\frac{n\pi}{4}) \Big) \times (1+i)$$
puis en développant.

Il faut ensuite utiliser des formules de trigonométrie de la forme $\cos p + \sin p =...$.

Roro.

Dernière modification par Roro (03-10-2020 09:35:34)

yoshi

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Re : démonstration par récurrence

Bonjour,

Bin Roro, merci pour lui, mais là, à mon tour de rester sec...
A priori comme ça, je ne vois pas comment transformer
$\cos\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)-\sin\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)$  et $\sin\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)+\cos\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)$
sans passer par les formules d'addition que notre ami ne connaît pas...

@+

Kelian Roger

Invité

Re : démonstration par récurrence

bonjour,

effectivement j'ai mal vu pour les 2/3... il est peut être temps de changer mes yeux !
je n'ai eu aucune formule de trigonométrie cette année, je ne connais que les formules de 1ere

j'ai essayé
(1+i)^n+1 = [racine(2^n)] [cos(npi/4) + i sin(npi/4)]
(1+i)^n+1 = [racine(2^n)] [cos(npi/4) + i sin(npi/4)] [1+i]
(1+i)^n+1 = [racine(2^n)] [cos(npi/4) + i sin(npi/4)] [racine(2)] [cos(pi/4) + i sin(pi/4)]         (forme trigonométrique de 1+i)
(1+i)^n+1 = [racine(2^n+1)] [cos((n+1)pi/4) + i sin((n+1)pi/4)]

par distributivité ? c'est pas juste un raccourcie pour arriver où il faut arriver ?

voila voila je patauge un peu, alors que ce n'est que le début de l'exercice...

Roro

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Re : démonstration par récurrence

Bonjour,

Bonjour,

Bin Roro, merci pour lui, mais là, à mon tour de rester sec...
A priori comme ça, je ne vois pas comment transformer
$\cos\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)-\sin\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)$  et $\sin\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)+\cos\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)$
sans passer par les formules d'addition que notre ami ne connaît pas...

@+

Je n'avais pas compris qu'il ne disposait pas des formules de trigonométrie... et dans ce cas, je jette l'éponge !

Roro.

Dernière modification par Roro (03-10-2020 13:37:34)

tibo

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Re : démonstration par récurrence

Salut,

Les formules trigo d'additions ont effectivement disparues du programme de première.
Et pas évident de faire sans ici.

Peut-être qu'on peut passer par un point de vue plus géométrique :
Un nombre complexe est entièrement défini par son module et son argument.
Et on a les propriétés suivantes :
- Le module d'un produit est le produit des modules ;
- L'argument d'un produit est la somme des arguments.

Dernière modification par tibo (03-10-2020 14:18:53)

yoshi

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Re : démonstration par récurrence

Re,

Oui, ça me paraît bien effectivement...
Trop simple pour moi : je n'y avais pas pensé !

@+

jpp

Membre

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Re : démonstration par récurrence

salut ,

Aucune idée sur les programmes de nos jours .

Une idée comme une autre :

[tex](1+i)^n = \sqrt{2^n}.[\cos{\frac{n\pi}{4}} + i .\sin{\frac{n\pi}{4}}] [/tex]

[tex](1 + i)^n = [\sqrt2]^{n} . [e^{i.\pi}]^{\frac{n}{4}}[/tex]

les deux camps sont élevés à la puissance n . Alors :

[tex]1 + i = \sqrt2 . e^\frac{i\pi}{4}[/tex]

comme [tex]e^{i\pi} = -1[/tex]

alors : [tex]  1 + i = \sqrt2 . (-1)^\frac14[/tex]

on élève tout au carré :

[tex](1+i)^2 = 2i[/tex]

yoshi

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Re : démonstration par récurrence

Re,

Au départ, l'idée est intéressante.
Dans la récurrence on admet que que :
$(1+i)^n=(\sqrt 2)^n \left(\cos\left(\frac{n\pi}{4}\right)+i\sin \left(\frac{n\pi}{4}\right)\right)$
que l'on écrit :
$(1+i)^n=(\sqrt 2)^n\; e^{i\frac{n\pi}{4}}$

On veut en déduire que :
$(1+i)^{n+1}=(\sqrt 2)^{n+1}\,\left(\cos\left(\frac{(n+1)\pi}{4}\right)+i\sin \left(\frac{(n+1)\pi}{4}\right)\right)$
ce qui s'écrit :
$(1+i)^{n+1}=(\sqrt 2)^{n+1}\; e^{i\frac{(n+1)\pi}{4}}$

On a :
$(1+i)^{n+1}=(1+i)^n \times (1+i)$
Or
$1+i =\sqrt 2\,e^{i\frac{\pi}{4}}$

D'où
$(1+i)^{n+1}=(1+i)^n\times (1+i)=(\sqrt 2)^n\; e^{i\frac{n\pi}{4}}\times \sqrt 2\,e^{i\frac{\pi}{4}}=(\sqrt 2^n\times \sqrt 2)\times e^{i\frac{n\pi}{4}}\times e^{i\frac{\pi}{4}}$

On a donc bien
$(1+i)^{n+1}=(\sqrt 2)^{n+1} e^{i\frac{n\pi}{4}+i\frac{\pi}{4}}=(\sqrt 2)^{n+1}\; e^{i\frac{(n+1)\pi}{4}}$
Qu'on récrit sous forme trigonométrique :
$(1+i)^{n+1}=(\sqrt 2)^{n+1}\;\left(\cos\left(\frac{(n+1)\pi}{4}\right)+i\sin \left(\frac{(n+1)\pi}{4}\right)\right)$

Il y a bien héritage, la récurrence est prouvée.
C'est plus long à écrire qu'à calculer mentalement.
Et on rejoint la suggestion de tibo qui est l'application d'une propriété du cours concernant le produit de 2 complexes...

Mais a-t-il déjà vu le passage de l'écriture trigonométrique à l'écriture avec exponentielle ?

@+

Kelian Roger

Invité

Re : démonstration par récurrence

Re,

je n'ai pas encore vu tout ça ! ça m'a l'air bien plus compliqué que par les formules ...
j'ai a peine commencé le chapitre sur les expo mais je verrai pas les expo avec les imaginaires...

tibo

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Re : démonstration par récurrence

Re,

J'ai supposé aussi que la forme exponentielle n'avait pas encore été vue, parce que dans le cas contraire, la récurrence est totalement inutile.

Kelian Roger

Invité

Re : démonstration par récurrence

j'ai finalement réussis, peut être en trichant un peu avec ces deux petites règles, merci !

- Le module d'un produit est le produit des modules ;
- L'argument d'un produit est la somme des arguments.

par contre je n'ai pas utiliser l'aide qui donnait la formule cos(a+b) et sin(a+b) alors qu'elle ne doit pas être la pour rien ...

yoshi

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Re : démonstration par récurrence

Re,

Apparemment, d'après tibo, on ne vous apprend plus ces formules...
Pourquoi "en trichant un peu" ?
Cette règle est dans ton cours, donc, tu as le droit de t'en servir ! Tu l'as vue ou pas ?

@+

Kelian Roger

Invité

Re : démonstration par récurrence

re,

je dis en trichant un peu parce que je sais où il faut atterrir donc je dois faire ce qui m'arrange pour aller au résultat final même si c'est pas bon...
on a même pas vue cette règle la, on a rien vu en trigonométrie avec les complexes, ce qui rends la tache pas très facile...