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samy1s

Invité

Conjecture sur une fonction f à partir d'une limite

Bonjour ou bonsoir à tous,

Je bloque sur un exercice du fameux site jaicompris.com, qui malheureusement n'a pas de corrigé. En voici l'énoncé :

"On considère une fonction f définie et décroissante sur R. On sait de plus que la limite de f(x) quand x tend vers +∞ est égale à 1.

Quelle conjecture peut-on faire sur f ? Démontrer cette conjecture."

Sachant que les exercices portent sur les limites, la seule conjecture que je suis arrivé à faire est que la limite de f(x) quand x tend vers +∞ est strictement supérieure à 1, mais aucune démonstration.

Merci d'avance !

Fred

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Re : Conjecture sur une fonction f à partir d'une limite

Bonjour,

  Ta conjecture contredit l'énoncé qui dit : "On sait de plus que la limite de f(x) quand x tend vers +∞ est égale à 1." et toi tu dis "La limite est strictement supérieure à 1".

Si je fais un dessin, la conjecture qui me vient à l'esprit est plutôt que $f(x)\geq 1$ pour tout $x\in\mathbb R$.

F.

bridgslam

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Re : Conjecture sur une fonction f à partir d'une limite

Bonjour,

Effectivement, c'est la conjecture qui vient à l'esprit, comme l'a mentionné Fred.
Pour la prouver on peut par exemple raisonner par l'absurde.
Supposons : [tex] \exists \, \alpha \in \mathbb{R} \, \, f(\alpha) < a [/tex].
f étant décroissante on a [tex] x \gt \alpha  \Rightarrow f(x) \leq  f(\alpha) [/tex].
Ainsi pour x suffisamment grand , l'écart entre la limite a et f(x) est minoré par [tex] a - f(\alpha)  \ne 0[/tex]
Donc ( ce qu'on peut écrire avec des quantificateurs, bon exercice ) il est impossible que l'écart lorsque
x est assez grand  entre a et f(x) soit majoré par tout nombre positif donné à l'avance.
Contradictoire avec  la propriété de la limite a.
Donc ...

On retrouve des résultats analogues concernant les suites, suites adjacentes, etc.

Cordialement,
Alain

bridgslam

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Re : Conjecture sur une fonction f à partir d'une limite

Bonjour,

a étant égal à 1 dans ton exercice, mais c'est vrai quelle que soit la limite (finie) en [tex] +\infty[/tex] bien-sûr.
On peut voir la chose aussi comme un passage à la limite dans une inégalité, à savoir:

[tex] \forall x , y \in \mathbb{R} \:  x \lt  y  \Rightarrow f(x) \geq f(y)  \: devient \, en \, quelque \, sorte f(x) \geq a  [/tex]
comme si on faisait formellement [tex] y = +\infty \: et \:  f( y ) = a[/tex]
On a aussi avec cette idée des résultats très forts sur les suites.

Alain