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#1 24-09-2020 15:36:44
- bridgslam
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un résultat arithmétique
Bonjour,
En attaquant un sujet de dénombrement en rapport avec les permutations et les tailles de leurs orbites,
un résultat arithmétique assez inattendu ( mais immédiat ou presque ) est celui-ci:
En désignant par E l’ensemble des uplets d’entiers positifs non nuls
rangés en ordre lexicographique croissant dont la somme des constituants est
une constante donnée on a :
[tex]\sum_{x \in E} P(x) = 1 [/tex]
où P(x) est le produit des inverses de chaque constituant de x divisé par son rang dans sa
série d’identiques éventuels.
Exemple avec n = 5
x | P( x )
----------------------------------------------------------------------
(1, 1, 1, 1, 1) | 1/1 x 1/2 x 1/3 x 1/4 x1/5 = 1/120 ( série de 4 identiques pour 1)
( 1, 1, 1, 2 ) | 1/1 x 1/2 x 1/3 x 1/2 = 10/120 ( série de 3 identiques pour 1)
( 1, 1, 3 ) | 1/1 x 1/2 x 1/3 = 20/120 ( série de 2 identiques pour 1)
( 1, 4 ) | 1/1 x 1/ 4 = 30/120 ( pas de série, ou série de 1 identiques à 1 si on préfère)
( 1 , 2, 2 ) | 1/1 x 1/2 x 1/4 = 15/120 ( série de 2 identiques pour 2)
( 2 , 3 ) | 1/2 x 1/3 = 20/120 ( pas de série )
( 5 ) | 1/5 = 24/120 ( pas de série )
----------------------------------------------------------------------
Total | 120/120
L'entier n peut évidemment prendre une autre valeur, on obtiendra un autre tableau analogue...
Cela m'a amusé, car il y a une sorte d'équilibrage entre une somme entière au final et produits d'inverses.
Je me demande s'il existe une preuve directe arithmétique, donc sans
élucubration combinatoire sous-jacente ( un peu abstraite - je passe ).
Pas trop cherché pour l'instant, mais quelqu'un peut avoir un flash...
Cordialement,
Alain
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