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low

Invité

Atteindre la limite d'une suite

Bonjour à tous,

Sous quelle condition la limite d'une suite est-elle atteinte, càd, qu'il existe un terme de la suite qui soit égal à la limite.

Ma question se pose car lors de la démonstration du théorème d'Euclide, j'ai lu, qu'une suite strictement décroissante positive ou nulle, atteint forcément 0 à un moment.

Est-ce la stricte monotonie ?

Merci beaucoup d'avance et bon dimanche :)

valoukanga

Membre

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Re : Atteindre la limite d'une suite

Bonjour !

Quand tu parles du théorème d'Euclide, j'imagine que tu parles du théorème de division euclidienne : pour tous $(a,b) \in \mathbb N^2$; $\exists ! (q,r) \in \mathbb N \times \{0,\cdots,b-1\}$ tel que : $a = bq+r$.

Dans la démonstration, on considère la suite des restes $(r_n)_{n \in \mathbb N}$ dont on montre effectivement qu'elle atteint forcément 0 à partir d'un moment, et qu'elle est strictement décroissante. Cela est vrai uniquement parce que la suite des restes est à valeurs entières (puisqu'elle est à valeurs dans $\{0, \cdots, b-1\}$). Intuitivement, on le voit bien : essayons de construire une suite $(r_n)_{n \in \mathbb N}$ strictement décroissante, partant de $b-1$ à valeurs dans $\mathbb N$, mais qui n'atteint jamais 0. Pour cela, il faut la faire décroître le plus lentement possible : je pars de $u_0 = b$, puis $u_1 = b-1$, puis $u_2 = b-2$, ..., puis j'arrive à $u_{b-2} = 2$, $u_{b-1} = 1$ et $u_b = 0$. On voit bien que c'est impossible.

J'espère que mon tas d'explications est clair !

Low

Invité

Re : Atteindre la limite d'une suite

Ahhhh merci !!!!!!!

Mais n'y a t-il pas un critère pour savoir si la limite est atteinte dans le cas général ?

freddy

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Messages : 7 457

Re : Atteindre la limite d'une suite

Ahhhh merci !!!!!!!

Mais n'y a t-il pas un critère pour savoir si la limite est atteinte dans le cas général ?

Salut,

Je pense que ta question n’a pas trop de sens avec les notions de limite qui ont dû être développées pour justement comprendre comment on s’approche d’un point sans jamais l’atteindre.
Va voir sur la toile ou dans la bibliothèque de la bibm@th.

Dernière modification par freddy (20-07-2020 12:37:34)