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Super Yoshi

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Sous espace vectoriel famille génératrice

Bonjour

je bloque un petit peu sur cette exercice, il faut juste montrer si les trois familles de vecteurs suivant sont génératrice ou pas :

a) [tex]((1,0),(1,1),(1,2),(2,3))[/tex] dans [tex]E=R²[/tex]
b) [tex]((-1,1,0),(1,0,-1))[/tex] dans [tex]E={(x,y,z)∈R^3[/tex] [tex]: x+y+z=0}[/tex]
c) [tex]((1,i),(-i,1),(1+i,i-1))[/tex] dans [tex]E=C²[/tex]

voilà ce que j'ai fais :

def : La famille [tex]F=(u1,...,un)[/tex] est une famille génératrice de E quand pour tout vecteur v de E, il existe[tex] (x1,...,xn)∈K^n[/tex] tel que  [tex]v= x1u1+...+xnun[/tex].

a) Soit [tex]v∈R^3[/tex], on cherche [tex]a,b,c,d∈R[/tex] tel que
[tex]a v1 + b v2 + c v3 + d v4 = (x,y)[/tex] , donc
[tex]a(0,1)+b(1,1)+c(1,2)+d(2,3)=(x,y)[/tex]

ici je pense qu'on ne peut pas continuer les calcules car cela donne comme combinaison linéaire (désolé je vais essayer de reproduire une matrice à ma manière)

( 1 1 1 2 | x )
( 0 1 2 3 | y ),  je ne sais pas quoi conclure, infinité de solution donc F n'est pas génératrice ?

b) à quoi correspond  [tex]: x+y+z=0[/tex] ?

c) On a

[tex]a(1,i)+b(-i,1)+c(i+1,i-1)=(x,y)[/tex] on résout

( 1  -i  1+i | x )           ( 1  -i  1+i | x )
( i   1   i-1 | y )  <=>  ( 0   0   0   |y-ix ) L2-L1

il n'y a pas toujours de solutions, la famille n'est pas génératrice

désolé encore pour les matrices ...

Dernière modification par Super Yoshi (26-04-2020 11:57:43)

Roro

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Re : Sous espace vectoriel famille génératrice

Bonsoir,

Pour répondre à la question a), tu as bien commencé : on prend $(x,y)\in \mathbb R^2$ et on se demande s'il existe des coefficients réels $a$, $b$, $c$ et $d$ tels que
$$(x,y) = a(1,0) + b(1,1) +c(1,2)+d(2,3).$$

Procédons par analyse-synthèse (on peut faire par équivalence) et supposons qu'on ait trouvé ces coefficients. En développant l'égalité ci-dessus, on aurait
$$(x,y) = (a,0) + (b,b) +(c,2c)+(2d,3d) = (a+b+c+2d,b+2c+3d),$$
ce qui signifie qu'on aurait :
$$ x=a+b+c+2d \quad \text{et} \quad y=b+2c+3d.$$
Je rappelle que $x$ et $y$ sont les données, et qu'on cherche $a$, $b$, $c$ et $d$. On se rend compte qu'il y a plein de solutions possibles comme par exemple :
$$a=x-y, \quad b=y, \quad c=0 \quad \text{et} \quad d=0.$$
Finalement la famille est génératrice car on a montré que pour tout $(x,y)\in \mathbb R^2$, on a
$$(x,y) = (x-y).(1,0) + y.(1,1) + 0.(1,2)+0.(2,3).$$

Concernant la question b), l'espace vectoriel pour lequel tu veux savoir si la famille est ou n'est pas génératrice est un sous-espace de $\mathbb R^3$ :
$$E = \{(x,y,z)\in \mathbb R^3~;~x+y+z=0\}.$$
Géométriquement, tu sais certainement un plan de l'espace $\mathbb R^3$. L'idée ici est de réécrire l'ensemble $E$ différemment en "résolvant" l'équation $x+y+z=0$ :
$$x+y+z=0 \quad \Longleftrightarrow z=-x-y.$$
Ainsi, tu peux écrire
$$E = \{(x,y,z)\in \mathbb R^3~;~z=-x-y\} = \{(x,y,-x-y)\in \mathbb R^3~;~x \in \mathbb R, \quad y\in \mathbb R\},$$
ou encore
$$E = \{x.(1,0,-1)+y.(0,1,-1) \in \mathbb R^3~;~x \in \mathbb R, \quad y\in \mathbb R\}.$$
Je te laisse comprendre et conclure.

La question c) ressemble à la question a)...

Roro.

Dernière modification par Roro (25-04-2020 20:19:33)

Super Yoshi

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Re : Sous espace vectoriel famille génératrice

bonjour,

pour la question a)

je n'ais pas compris par rapport au faite qu'il y ais plusieurs solutions. Nous avons appris en cour à utiliser pour se genre d'exercice des matrices (c'est plus visuel que des systèmes je trouve) pour voir si elle est génératrice. Est ce qu'avec la matrice que j'ais trouvé, c'est à dire

( 1 1 1 2 | x )
( 0 1 2 3 | y ) on peut trouver les solutions de ce système par ce que c'est là ou je bloque.

pour la b)

nous avons [tex] a(-1,1,0)+b(1,0,-1)=(x,y,z)[/tex]

si j'utilise la matrice

( -1  1 | x )
(  1  0 | y )
(  0 -1 | z ) et que je résous ceci pour trouver les solutions, est ce que cela est correct ?

pour la c) du coup le raisonnement est bon ?

je suis désolé si j'insiste un peu sur les systèmes ou matrices mais c'est la méthode que mon prof attend pour cette exercice

Dernière modification par Super Yoshi (25-04-2020 21:17:58)