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aissayoub

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Distributions

Bonjour, quelqu'un peut m'aider pour la question 1 svp ?

Roro

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Re : Distributions

Bonjour,
Si tu nous montres la question de façon lisible on pourra peut être t'aider...
Roro.

aissayoub

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Re : Distributions

oui pardon voici la question :

Roro

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Re : Distributions

Bonsoir,

As-tu pensé à utiliser la décomposition en série de Fourier de ton équation (1) ?

Roro.

aissayoub

Invité

Re : Distributions

oui j'ai l'impression qu'on doit faire un développement en série de Fourier mais je vois pas comment y procéder.

Roro

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Re : Distributions

Bonjour,

Comment procéder ?

C'est une méthode par "analyse - synthèse". Admettons que tu trouves une solution $T$.

Tu écris ta distribution $T$ sous la forme d'une série de Fourier. Tu remplaces dans ton équation différentielle et tu regardes si tu peux déterminer les coefficients...

Roro.

aissayoub

Invité

Re : Distributions

voici la réponse que j'ai fait mais j'ai pas encore terminé

https://www.cjoint.com/doc/20_04/JDnrdx … 53.46.jpeg

Roro

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Re : Distributions

OK. Deux remarques :

- Tu as oublié un $i$ en dérivant

- Pourquoi la série fait apparaitre $\frac{n}{2}$ et par seulement $n$ ?

Roro.

aissayoub

Invité

Re : Distributions

oui vous avez raison j'ai oublié un i lors de la dérivation mais par contre j'ai mis n/2 à la place de n à cause du théorème suivant :

Roro

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Re : Distributions

Re-bonsoir,

Je ne sais pas d'ou vient ce théorème mais il est faux. C'est une coquille mais il est clair que la fonction $x\mapsto \mathrm e^{\mathrm i x/2}$ n'est pas $2\pi$-périodique...

Pour que ce soit correct, il faut écrire
$$T= \sum_{n\in \mathbb Z} c_n \mathrm e^{\mathrm i n \frac{2\pi}{p} x}.$$

Roro.

aissayoub

Invité

Re : Distributions

oui j'avoue vous avez raison du coup voici ma réponse finale , vous pouvez me dire comment on peut justifier unicité de solution ?

https://www.cjoint.com/c/JDnuYKbvU35

Roro

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Re : Distributions

Bonsoir,

Pour l'unicité, tu considères deux solutions, tu fais la différence. Puisque ton équation est linéaire, cette différence vérifie la même équation différentielle mais avec $S=0$. Tu résous ton équation avec $S=0$ (méthode de Fourier), et tu en déduis que la différence est nulle.

Roro.

Dernière modification par Roro (13-04-2020 23:51:49)

aissayoub

Invité

Re : Distributions

Merci beaucoup déjà est ce que vous avez vu ce que j'ai  écrit , il vous semble juste ?

Roro

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Re : Distributions

Bonjour,

Oui, j'avais regardé rapidement.
Non, ça ne me parait pas juste : ta solution dépend d'un entier $n$. Mais quel est cet entier ???

Il faut que tu décomposes aussi la distribution $S$ en série de Fourier, et que tu identifies les termes des deux séries (celle de $\partial T + \lambda T$ et celle de $S$). Tu en déduits alors les coefficients $c_n$ en fonction de ceux de la donnée $S$...

L'unicité découle alors directement de l'unicité de la décomposition en série de Fourier.

Roro.

aissayoub

Invité

Re : Distributions

ah oui... j'ai oublié ca , vous pouvez maintenant regarder ma réponse finale , qu'est ce que vous en pensez ?
https://www.cjoint.com/c/JDopTyJOmf5

Roro

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Re : Distributions

Oui, c'est mieux.

aissayoub

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Re : Distributions

Pour la question 2 est ce que vous êtes d'accord que S soit égale à 0 pour que l'equation admet une solution si lambda appartient à iZ?

Roro

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Re : Distributions

Bonsoir,

Non, je ne suis pas d'accord.

Si tu essaies de faire la démonstration de la première question dans le cas $\lambda \in \mathrm i \mathbb Z$, tu verras à quelle condition tu peux obtenir une solution.

Roro.

aissayoub

Invité

Re : Distributions

Je viens de remarquer qu'on est en train de raisonner par analyse-synthèse , du coup là on vas supposer (analyse) que la solution existe pour lambda appartient à iZ , le problème c'est que je vois pas comment je peux trouver la solution T qu'on a trouvé au début en remarquant des conditions sur S telle que lambda appartient à iZ , est ce qu'on procède comme si on va résoudre une équation différentielle de première ordre ?

Roro

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Re : Distributions

Bonjour,

Si tu raisonnes comme je l'ai dit, tu vas déterminer une condition sur $S$ pour que tu aies une unique solution. Il faudra ensuite vérifier que si cette condition n'est pas satisfaite alors tu n'as pas une unique solution.

Roro.

aissayoub

Invité

Re : Distributions

D'après ce que j'ai compris si on refait la meme chose que la première question on retombera sur cette ligne :

mais je vois pas comment on peut déduire une condition sur S si lambda appartient iZ .

Pour avoir une condition sur S , du coup on va retomber sur cette ligne:
https://www.cjoint.com/c/JDppQaSVhF5
je suis totalement bloqué dans cette ligne , je vois pas comment je peux obtenir une condition sur S à partir de cela , avez vous une indication ?

Dernière modification par yoshi (15-04-2020 20:22:50)

Roro

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Re : Distributions

Bonsoir,

Tu vois bien que lorsque $\lambda = \mathrm i k$ alors la relation entre les coefficients de Fourier de $S$ et de $T$ : $c_n(\mathrm in + \lambda) = b_n$ devient, pour $n=-k$ : $b_{-k}=0$.

Il faut donc que le coefficient $b_{-k}=0$ de $S$ soit nul pour pouvoir avoir une solution.

Roro.

aissayoub

Invité

Re : Distributions

Oui monsieur , tout à fait , Merci beaucoup. A bientôt.