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Antonio Lizano

Invité

Montrer qu'il y a une fonction f qui appartient à un unique éspace L_p

Bonjour,

Je me demande si quelqu'un pourrait m'illustrer dans cet exercice.

Il faut que je montre qu'il existe une fonction [tex]f:(0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}[/tex] mesurable tel que [tex]f\in L_p\Leftrightarrow p=1[/tex].

On suggère de définir la fonction [tex]f(x)=x^{-1}(1+|\ln(x)|)^{-2}[/tex], démontrer que [tex]f\in L_1[/tex] et ensuite utiliser linégalité [tex]\rho(1+\ln(t))\leq t^p, \ (t\geq 1, \ \rho\in (0,1))[/tex] pour [tex]t=x[/tex] si [tex]q\in(0,1)[/tex] et pour [tex]t=x^{-1}[/tex] si [tex]q>1[/tex]. Je pense que l'idée est d'utiliser le critère de comparaison mais je n'arrive pas à trouver une inégalité qui me serve.

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : Montrer qu'il y a une fonction f qui appartient à un unique éspace L_p

Bonjour,

  Qu'est-ce que tu ne sais pas faire exactement? Démontrer que $f$ est dans $L^1$? Démontrer que $f$ n'est pas dans $L^p$ pour $p\neq 1$.
Deux petits indices :
* Pour démontrer que la fonction est dans $L^1$, tu peux la comparer à la fonction $\frac{1}{x |\ln x|^2}$ dont tu peux étudier la convergence en 0 et en $+\infty$ en en cherchant une primitive.
* Pour démontrer que $f$ n'est pas dans $L^p$, pour $p>1$, tu peux comparer $|f|^p$ avec la fonction $\frac1x$ en $0$.

F.