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yannD

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refaire contrôle sur les vecteurs

Bonjour , je voudrais revenir sur un exo d'un contrôle qui est sur les vecteurs, condition de colinéarité.

1. Soit deux vecteurs $\vec u (x;y)$ et $\vec v(x';y')$ dans un repère du plan.
Démontrer que si les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires alors $xy-yx=0$

2. On a tracé en annexe la parabole $P$ d'équation $y=x^2$.
     (a) Placer sur le graphique les points $A(4;3)$ et $B(-4;7)$ et conjecturer à l'aide du graphique les coordonnées des points       d'intersection de la droite $(AB)$ et de la parabole.

    (b) On veut retrouver les coordonnées de ces points par le calcul.
3. Soit, pour $x\in \mathbb R$,  le point $M(x;x^2)$ de la parabole. Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles  les points $A,B$ et $M$ sont alignés.   
     et conclure.

pour la 1) j'ai essayé d'exprimer les 2 vecteurs en fonction de x et de y mais je n'arrive pas à les éliminer les k
après pour la 2. (a) je n'ai pas trouvé la bonne équation de droite
Pouvez-vous m'aidez , s'il vous plait

Dernière modification par yoshi (05-02-2020 19:33:21)

yoshi

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Re : refaire contrôle sur les vecteurs

B'soir,

Alors déjà, ça c'est faux :

Démontrer que si les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires alors $xy−yx=0$

Parce que ça, ça fait 0 quel que soit le vecteur $\vec v$ ^_^
La formulation juste :
Démontrer que si les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires alors $xy'−x'y=0$
Partant de là, la définition dit :
$\vec u$ et $\vec v$  colinéaires $\iff\quad \exists k \in \mathbb R$ tel que $\vec u = k.\vec v$
Avec $\vec u(x\,;\,y)$ et $\vec v(x'\,;\,y')$ on alors $x=kx'$ et $y=ky'$

A toi de jouer.

@+

yannD

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Re : refaire contrôle sur les vecteurs

Bonsoir Yoshi, je comprends jamais pkoi on arrive à $x = kx'$

yoshi

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Re : refaire contrôle sur les vecteurs

Re,

Démo.
$\vec u =x\vec i+y\vec j$
$\vec v =x'\vec i+y'\vec j$  d'où  $k.\vec v = kx'i+ky'\vec j$
Alors
$\vec u =k.\vec v \iff x\vec i+y\vec j=kx'i+ky'\vec j$  d'où $x=kx'$ et $y=ky'$

C'est bon ?

@+

yannD

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Re : refaire contrôle sur les vecteurs

ça parait évident quand je lis mais pour le refaire je vois pas trop d'où il faut partir

yoshi

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Re : refaire contrôle sur les vecteurs

Re,

Je vais te donner un exemple très simple et concret.
Prends un repère orthonormé (O,I,J) et dessines-y un vecteur $\vec v$, n'importe lequel ni horizontal ni vertical d'origine O
Trace les lignes verticale et horizontale pour matérialiser ses coordonnées (= celles du vecteur) x' et y'.
Avec la même origine O, trace le vecteur $\vec u$ double du précédent : $\vec u = 2\vec v$
Trace les lignes verticale et horizontale pour matérialiser ses coordonnées (= celles du vecteur) x et y. Le théorème de Thalès te montre bien que x = 2x' et y =2y'... Ici, k =2

a parait évident quand je lis mais pour le refaire je vois pas trop d'où il faut partir

Tu n'as pas bien le choix... De là :
$\vec u =x\vec i+y\vec j$
$\vec v =x'\vec i+y'\vec j$
D'accord avec cette écriture ?
puis tu écris que $\vec u=k.\vec v$...

Tu es d'accord pour dire que deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées ?
Donc que les coordonnées de $\vec u$ et celles de $k\vec v$ sont égales ?...
Alors, puisque
$\vec u =x\vec i+y\vec j$ et $k\vec v =kx'\vec i+ky'\vec j$
Ou encore
$\vec u (x\,;\,y)$  et   $k\vec v(kx'\,;\,ky')$
alors on déduit :
$x=kx'$  et  $y = ky'$

C'est plus clair maintenant ?

@+

yannD

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Re : refaire contrôle sur les vecteurs

Bonjour Yoshi, tout d'abord merci d'avoir répondu si tard, (ouf.. ça va déjà mieux) mais pour Thalès, j'ai trouvé Ox'/Ox = Oy'/Oy = y'x/yx et remplaçant avec les valeurs de x et 2x , je n'aboutis pas à x=2x' et y = 2y' ensuite tu me dis que ces vecteurs sont égaux mais deux vecteurs égaux ont le même sens, la même direction et la même longueur et quand je multiplie un vecteur par un réel k: je multiplie la norme par un nombre et c'est bien  un autre vecteur que j'obtiens ,

yoshi

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Re : refaire contrôle sur les vecteurs

Je n'ai pas dit que les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ étaient égaux, j'ai dit de construire $\vec u =2\vec v$.
Après tu compares les coordonnées de $\vec u$ et celles de $vec v$ et si tu ne vois pas que les cordonnées $x$ et $y$ de $\vec u$ sont le double des cordonnées $x'$ et $y'$ de $\vec v$, c'est qu'on ne s'est pas compris.

Je vais rendre visite à ma mère dans son EHPAD, et au retour, je te fais un schéma...

yoshi

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Re : refaire contrôle sur les vecteurs

Re,

https://www.cjoint.com/c/JBcpU0EDPvt
J'ai construit de même origine O, un vecteur $\vec v$ (c'est $\overrightarrow{OB}$) et un vecteur $\vec u=2\vec v$ (c'est  $\overrightarrow{OA}$).
J'ai $\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OB}$...
Et par conséquent :
$\overrightarrow{OH}=2\overrightarrow{OH'}$  et  $\overrightarrow{OK}=2\overrightarrow{OK'}$
Donc en posant
$\overrightarrow{OA}(x\;\,y)$  et $\overrightarrow{OB}(x'\;\,y')$

J'ai bien d'après le théorème de Thalès
- dans le triangle OAH : $x=2x'$
- dans le triangle OAK : $y=2y'$

B étant le milieu de [OA], H' est celui de [OH]  et K' celui de [OK]...

Ça y est ?

@+

yannD

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Re : refaire contrôle sur les vecteurs

Bonsoir Yoshi, je sais pas ce que j'ai été cherché.. mais j'ai exprimé Thalès dans un triangle OKH et donc avec les rapports OH'/OH=OK'/OK

yannD

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Re : refaire contrôle sur les vecteurs

je n'ai pas vu le triangle OAH et encore moins le triangle OAK

yannD

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Re : refaire contrôle sur les vecteurs

pour la démo j'ai le corrigé dans mon cours mais je ne regarde pas, aussi est-ce que tu peux me donner un indice mais un tout petit pour que je trouve moi même

yoshi

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Re : refaire contrôle sur les vecteurs

Re,

Pour la première question.
Sachant que
- $\vec u(x\,;\,y)$ et $\vec v(x'\,;\,y')$
- $\vec u =k.\vec v$
- des deux points précédents on tire la conclusion que $x=kx'$ et $y=ky'$ (*)
on te demande monter que $xy'-x'y = 0$, que dois-tu faire ?

C'est un bon résumé de ta question ?
Si oui, alors la réponse est évidente de deux façons possibles au choix :
1. Partir de $xy'-x'y$ et arriver à 0 en utilisant la conclusion (*)
2. a) Comparer $\dfrac{x}{x'}$ et $\dfrac{y}{y'}$ en utilisant la conclusion (*)
    b) Arriver à $xy'-x'y = 0$

@+

yannD

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Re : refaire contrôle sur les vecteurs

je regarde la figure que j'ai dessiné et sur l'axe des abscisses, j'ai x et x' et sur l'axe des ordonnées il y a y et y' et je vois pas pkoi on doit multiplier l'abscisse de $\vec v$ avec l'ordonnée de $\vec v$ , sinon on prends $xy' -x'y=0$ et puisque $x=kx'$ et $y=ky'$ alors k.x' .y' - k.y' x' = 0

Dernière modification par yannD (02-02-2020 20:11:18)

yoshi

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Re : refaire contrôle sur les vecteurs

Re,

Et bien, ne regarde pas ta figure, elle ne te sert à rien pour cette question...
Ca, c'est juste :
$x=kx'$ et $y=ky'$ alors  $k.x' .y' - k.y' x' = 0$

2e méthode ?

@+

yannD

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Re : refaire contrôle sur les vecteurs

la 1ere méthode est vraiment simple
j'ai un peu moins compris la 2e

yoshi

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Re : refaire contrôle sur les vecteurs

j'ai un peu moins compris la 2e

Elle est tout aussi simple...
Que veut dire la phrase

Comparer $\dfrac{x}{x'}$ et  $\dfrac{y}{y'}$ ?

   
toujours en utilisant la même conclusion provisoire $x=kx'$ et $y=ky'$...
Qu'est-ce qu'on attend comme "résultat" de la comparaison ?

Quand tu auras trouvé, tu pourras facilement obtenir $xy'-x'y$ et trouver qu'elle vaut 0...

@+

yannD

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Re : refaire contrôle sur les vecteurs

j'ai trouvé k = k

yoshi

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Re : refaire contrôle sur les vecteurs

Tu manques de persévérance, de ténacité, et d'imagination parfois...
Tu n'as pas répondu à la question qu'est-ce que ça veut dire (...) ?
Tu perds de vue l'objectif que tu es en train de traiter...

C'est le même type de question que lorsqu'on te dit :
- comparer les angles machin et truc
- comparer les coefficients directeurs a et a'
- comparer les deux longueurs...

Il n'y va pas 50 réponses possibles !
Tu as trouvé k = k. Oui et alors ?
Et tu en conclus quoi alors, pour  $\dfrac{x}{x'}$ et  $\dfrac{y}{y'}$ ?
Si tu préfères, je pose la question autrement, mais là, c'est vraiment cadeau :
qu'est-ce que tu écris à la place de ... dans $\dfrac{x}{x'} ...\dfrac{y}{y'}$ ?

@+

yannD

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Re : refaire contrôle sur les vecteurs

Ah oui ... les 2 rapports sont égaux

yannD

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Re : refaire contrôle sur les vecteurs

$\frac{x}{x'} = \frac{y}{y'} <=> \frac{x}{x'} - \frac{y}{y'} = 0$

yoshi

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Re : refaire contrôle sur les vecteurs

Bin, voilà...
k=k devait tout de suite t'y conduire si tu, avais présenté ton travail ainsi :
$\dfrac{x}{x'}=\dfrac{kx'}{x'}=k$      $\dfrac{y}{y'}=\dfrac{ky'}{y'}=k$

Et là tu te disais :
Bon et maintenant qu'est-ce que je peux dire $\dfrac{x}{x'}$ et $\dfrac{y}{y'}$ ?
Réponse :
ils valent tous les deux k...
Ah bin alors,ces rapports sont égaux...

Donc on a : $\dfrac{x}{x'}=\dfrac{y}{y'}$
Comment trouver
1. $xy'-x'y$ ?
2. Et conclure que $xy'-x'y=0$ ?
Si tu arrives à trouver comment arriver à l'expression de la question 1 en partant de  $\dfrac{x}{x'}=\dfrac{y}{y'}$ tu auras automatiquement trouvé le 0...
Tu dois partir de cette égalité  $\dfrac{x}{x'}=\dfrac{y}{y'}$ pour arriver à cette autre égalité : c'est une règle sur l'égalité des fractions que tu dois connaître depuis le Collège (deux lignes de "calcul")...

@+

yannD

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Re : refaire contrôle sur les vecteurs

Bonjour Yoshi

$\frac{x}{x'}=\frac{y}{y'}$   (je fais passer l'inverse de la fraction de l'autre coté du signe = )

$\frac{x}{x'} - \frac{y'}{y} = 0$        (je mets les 2 fractions au même dénominateur pour pouvoir les additionner)

$\frac{x}{x'} + (-\frac{y'}{y}) = 0$

yoshi

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Re : refaire contrôle sur les vecteurs

Re,

Non. C'est horriblement faux.
Exemple :
A partur de $\dfrac{18}{12}= \dfrac{15}{10}$ toi tu écris que $\dfrac{18}{12}- \dfrac{10}{15}=0$
Rigoureusement impossible :
$\dfrac{18}{12}>1$  et  $\dfrac{10}{15}<1$. Comment peux-tu, en soustrayant les deux, trouver 0 ?...

De la 6e à la 3e, on se sert de la propriété de l'égalité des produits en croix... Non ? tu n'as jamais utilisé ça...

$\dfrac a b = \dfrac c d \iff ad = bc  \iff  ad-bc =0$

@+

yannD

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Re : refaire contrôle sur les vecteurs

pourtant si