Montrer O est le milieu de EF avec théorème de la droite des milieux

yannD · 03-04-2019 17:04:24

Bonjour,
ABCD est un parallélogramme.
Sur la demi-droite [BA) et en dehors du segment [AB], on place le point E tel que EA = AB et sur la demi-droite [DC) et en dehors du segment [DC], on place F tel que DC = CF
Montrer que O, centre du parallélogramme est aussi le milieu de [EF]

Je voudrais prouver que O est milieu de EF en utilisant le théorème de la droite des milieux.

ce que j'ai trouvé:

ABCD est un parallélogramme, donc je sais que les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu
Dans le triangle ABD , O est le milieu de [BD]
mais il me manque 2 droites parallèles pour pouvoir utiliser le théorème
je ne vois pas comment faire ?
pouvez-vous me donner des pistes, s'il vous plait ?

Dernière modification par yannD (03-04-2019 17:09:25)

yoshi · 03-04-2019 17:59:23

Re,

Tu as besoin de tracer [ED], [AC] et [BF].

Dans le triangle ABD , O est le milieu de [BD]

Oui, mais si tu veux voir les parallèles, ce n'est pas sdeulerment [BD] qu'il faut utiliser mais aussi [AC].
[BD] étant le côté commun aux deux triangles dans lesquels tu vas travailler.
Trace [ED] et [AO] en vert et [CO] et [BF] en bleu, ça devrait t'aider à voir...

Et tu pourras montrer que EBFD est un parallélogramme pour avoir O milieu de [EF]

@+

yannD · 03-04-2019 18:09:38

Bonsoir Yoshi, j'ai tracé [ED] et [AO] mais rien ne prouve que (ED) // (AO)

Dernière modification par yannD (03-04-2019 18:25:23)

yannD · 03-04-2019 18:36:34

ABCD parallélogramme
donc :
• AB = DC + (AB) // (DC) et AD = BC + (AD) // (BC)
• O est le milieu des deux diagonales [AC] et [BD]
de plus
EA = AB donc A est le milieu de [EB]
alors, la droite qui passe par les milieux A de [EB] et O de [AC] est parallèle à (ED)

yannD · 03-04-2019 18:41:37

tout ce que je vais arrivé à démontrer c'est que AO // ED et CO // BF mais ça ne m'avance pas, je suis vraiment nul en démonstration

yoshi · 03-04-2019 20:18:55

Re,

Bien sûr que si...
C'est presque fini...
1. Tu n'as pas vu que (AO) et (OC) sont d'autres noms pour la droite (AC)
2. Théorème : si deux droites (D) et (D') sont toutes deux paralmlmèles à une même 3e droite $\Delta)$ alors elles sont parallèles entre elles
3. Sais-tu laquelle des 3 règles tu vas utiliser pour montrer que EBFD est un parallélogramme ?

Ah, mais je crois comprendre ce que tu veux réellement faire...
Tu ne veux pas montrer que EBFD est un parallélogramme pour montrer que O est milieu de [EF] ? Tu veux arriver à le faire directement avec la droite des milieux !
Je n'avais pas compris.....

A priori je dirais : impossible !
En effet, rien dans l'énoncé ne te dit que le point O sur [EF]...
Et je vois aucun moyen de le prouver, sauf si on montre que que EBFD est un parallélogramme !
Oui, ça se voit !!! Bien sûr que c'est vrai ; Mais "ça se voit" n'est pas une preuve valable...

Si je te dis ; ok ! je modifie l'énoncé, j'ajoute la phrase : on admettra sans démonstration que [EF] passe par O.
Là, c'est faisable, mais je vois pas grand monde en 2nde capables de trouver comment...
Le plan :
1. Arriver à montrer (avec la droite des milieu) que (ED)//(BF)
2. Comme tu auras montré avant que (AO)//(ED), alors avec la règle citée plus haut, tu en déduiras que (AO)//(BF)
3. Et tu changes de triangle, tu passes dans le tr. EBF ou tu pourras utiliser A milieu de [EB] et (AO) //(BF)...
Et la messe sera dite !
Si on ne sait pas que O est sur [EF] et qu'on n'utilise pas de parallélogramme, la conclusion que tu pourrais tirer serait [AC] coupe [EF] en son milieu. J'appelle O' le milieu de [EF]
Sait-on que O et O' sont un seul et même point ? Non, tant qu'on ne sait pas que O est sur [EF]

Un moyen très rapide de répondre à la question de l'exercice est d'oublier la droite des milieux et d'utiliser... les vecteurs.
$\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CF}$
Donc :
$\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{CF}$ (1)
De plus
$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$ (2)
Je décompose $\overrightarrow{EO}$ :
$\overrightarrow{EO}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AO}$ et je remplace avec (1) et (2) :
$\overrightarrow{EO}=\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{OC}$
Que je récris dans le bon ordre :
$\overrightarrow{EO}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{OF}$

Je viens de montrer $\overrightarrow{EO}=\overrightarrow{OF}$ qui est l'une des façons d'écrire que... O est le milieu de [EF]

@+

yannD · 04-04-2019 11:57:25

Bonjour Yoshi, oui, je voulais trouver directement avec la droite des milieux, ( j'ai pas pu répondre hier soir )

yoshi · 04-04-2019 12:23:50

Re,

Alors, tu as ta réponse...

@+

yannD · 04-04-2019 12:55:42

Oui, ce que je cherchais c'est cette forme géométrique :

yoshi · 04-04-2019 13:04:40

Ave,

Oui, c'est bien ce que je te disais...
Sauf que tu ne peux pas y arriver sauf si j'ajoute que le point O est sur [EF]...
Dans le cas contraire, impossible.

As-tu compris la méthode vecteurs ?

@+

yannD · 04-04-2019 13:16:12

quand on part d'un dessin avec tous les points E, A, B, F, D, O etc… on ne se rend plus bien compte que effectivement rien ne prouve que O est bien sur [EF]
pour la méthode avec les vecteurs, je n'ai pas regardé le corrigé et j'essaie de le faire dans ma tête

yoshi · 04-04-2019 13:52:37

Re,

C'est un réflexe qui n'est pas acquit tout de suite, loin de là...
Autre façon de procéder avec vecteurs
$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CF}$
Comme O est le milieu de [AC] :
$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$

Comme ABCD est un parallélogramme alors $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
Comme A est le milieu de [EB] alors $\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{AB}$
Comme C est le milieu de [DF] alors $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CF}$

Des 3 lignes précédentes, on déduit que $\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CF}$

Dans la décomposition de $\overrightarrow{EF}$, je vais donc remplace $\overrightarrow{CF}$ par $\overrightarrow{EA}$ et $\overrightarrow{OC}$ par $\overrightarrow{AO}$ :
$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{EA}$
Donc :
$\overrightarrow{EF}=2\overrightarrow{EA}+2\overrightarrow{AO})=2(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AO})=2\overrightarrow{EO}$
J'ai donc montré que :
$\overrightarrow{EF}=2\overrightarrow{EO}$
Ce qui montre que E, O et F sont colinéaires et que EF = 2EO, donc que O est le milieu de [EF]

Nulle part je n'ai supposé que le point O est sur |EF] : je me suis contenté d'utiliser la relation de Chasles avec des points dont je connais l'existence et la situation par l'énoncé.

@+

yannD · 04-04-2019 14:18:19

si c'était un exercice que tu m'aurais posé, franchement, je n'aurais pas trouvé
en fait, on doit arriver à vec(EF) = 2 fois le vecteur EO

Dernière modification par yannD (04-04-2019 14:27:00)

yannD · 04-04-2019 14:26:29

je décompose vect(EF) au maximum , c'est à dire : vect(EF) = vect (EA) + vect(AO) + vect (OC) + vect (CF)
et là, je cherche un astuce avec d'autres vecteurs pour arriver à vect (EF) = 2 fois vect (EO)

yannD · 04-04-2019 16:02:15

j'ai essayé de faire la démonstration en utilisant la droite des milieux dans le triangle EBD et DBF et en prouvant que EBFD a 2 côtés parallèles et de même longueur, mais je n'arrive pas à prouver que EB = BF,

yoshi · 04-04-2019 16:33:30

Yann,

Tu devrais faire plus attention à ce que tu écris :

mais je n'arrive pas à prouver que EB = BF,

Tu veux dire EO = OF ? Ou alors EB= DF ?
Parcce que il n'y a aucune raison que EB soit égale à BF...

J'ai du mal à te suivre :
Tu l'as prouvé ou non ?
Si oui, alors tu peux donc dire que EBFD est un parallélogramme.
Puisque EBFD est un parallélogramme alors tu peux dire que ses diagonales [EF] et [BD] ont le même milieu.
Et puisque tu sais que le milieu de [BD] est O, alors O est aussi le milieu de [EF].

Si non, je t'ai dit qu'avec la droite des milieux tant que je modifie pas l'énoncé en ajoutant que O est un point de [EF], tu ne peux pas le faire (et moi non plus). Alors pourquoi t'acharnes-tu ?

@+

yannD · 04-04-2019 16:44:48

oui, je voulais dire EB = DF

yannD · 04-04-2019 16:55:37

Salut Yoshi, il faut absolument que je m'entraine à faire le + de démonstrations possibles, cet après-midi, j'ai essayé de la faire plusieurs fois mais je n'arrive à faire moins long et donc à être plus efficace, je propose ceci :

a) Montrer que (ED) // (BF)
Par hypothèse, A est le milieu de [EB]
et par hypothèse, on sait que ABCD est un parallélogramme de centre O
donc O est le milieu de [BD]
Alors, dans le triangle EAD, la droite qui passe par les milieux des côtés [EA] et [BD] est parallèle au 3e côté [ED]
Alors, dans le triangle EDB, la droite qui passe par les milieux des côtés [ED] et [BD] est parallèle au 3e côté [ED]

Par hypothèse, C est le milieu de [DF]
et O est le milieu de [BD]
Alors, dans le triangle ABF, la droite qui passe par les milieux des côtés [BD] et [DF] est parallèle au 3e côté [BF]
dans le triangle DBF
(ED) // (AO) donc (ED) // (OC) et puisque (ED) // (OC)
Alors (ED) // (BF)

b) Montrer que ED = BF
Dans le triangle EAD, dans le triangle EDB, la droite (AO) qui passe par les milieux des cotés a une longueur moitié celle de (EF)(ED) et dans le triangle DBF, (OC) a une longueur moitié celle de (BF)
Comme AO = 1/2 ED
et AC = AO + OC alors AC = 2 AO
donc 2AO = 2 * 1/2 ED
<=> 2 AO = ED

Comme OC = 1/2 BD
et 2 OC = 2 * 1/2 BD alors 2 OC = BD

puisque AO = OC alors 2 AO = 2 OC et ED = BD

c) Montrer que EBFD est un parallélogramme
je dis que le quadrilatère EBFD a les côtés [ED] et [BF] parallèles et de même longueur

Dernière modification par yannD (05-04-2019 13:21:48)

yoshi · 04-04-2019 19:22:16

Par hypothèse, A est le milieu de [EB]
et par hypothèse, on sait que ABCD est un parallélogramme de centre O
donc O est le milieu de [BD]
Alors, dans le triangle EAD, la droite qui passe par les milieux des côtés [EA] et [BD] est parallèle au 3e côté [ED]

1. Le voilà ton triangle EAD : où est le milieu de [EA] ? Pour quoi faire ?

2.

Dans le triangle EAD, la droite (AO) qui passe...

Tu trouves que la droite (AO) oasse dans le trianfgle EAD, toi ? Moi, pas !
3. Parfois, je me demande si tu lis et surtout si tu retiens ce que tu as lu...
Je te le répète pour la dernière fois : tant que l'énoncé ne dit pas que O est sur [EF], la démonstration avec les seuls théorèmes de la droite des milieux est impossible ! Im-pos-si_ble !
Il faudrait d'abord prouver que EBFD est un parallélogramme pour dire que O sur [EF] : pourquoi alors utiliser ensuite la droite des milieux pour prouver que O est le milieu de [EF] ? Puisque EBFD parallélogramme => O milieu de [EF].

J'attends la réponse : mais, je suis parti de l'hypothèse O est sur [EF] !!!
Ah oui, et dans ce cas où me le précises-tu ?

@+

yannD · 05-04-2019 13:08:28

Bonjour Yoshi, oui, j'ai bien compris que la démonstration avec les théorèmes de la droite des milieux est impossible.
au #18, j'ai voulu démontrer EBFD est un parallélogramme en montrant que (ED) // (BF) et ED = AB.
ET je voulais parler du triangle EDB et pas du triangle EAD, ( je vais rectifier ce que j'ai écrit ) , j'ai voulu rédiger sans regarder le schéma , et je me suis planté dans les lettres. et à chaque fois je fais des erreurs, c'est quand même terrible , hein

Dernière modification par yannD (05-04-2019 13:54:27)

yoshi · 05-04-2019 13:56:25

j'ai voulu démontrer EBFD est un parallélogramme en montrant que (ED) // (BF) et ED = BF.

On ne peut pas montrer que EB = DF et (EB)//(DF) en utilisant la "droite des milieux" si on ne sait pas que O est sur [EF]
Point final pour la "droite des milieux...

Si tu veux montrer que (ED) // (BF) et ED = BF,
2 solutions
- montrer d'abord que EBFD est un parallélogramme et on tourne en rond (!)
- montrer que EACD est un parallélogramme + montrer que ABCF est un parallélogramme

@+

yannD · 05-04-2019 14:21:06

Salut Yoshi, je sais que j'insiste beaucoup mais j'ai essayé ceci :

1 ) Je montre d'abord (ED) // (BF)

a) je montre que (ED) // (AC) en utilisant l'un des théorèmes de la droite des milieux.

Par hypothèse, EA = AB
donc A est le milieu de [EB]
et par hypothèse, ABCD parallélogramme donc :
• AB = DC et (AB) // (DC) + AD = BC et (AD) // (BC) et
• 0 milieu des diagonales [BD] et [AC]
Alors, dans le triangle EBD, la droite qui passe par 0 milieu de [BD] et par A milieu de [ED] est parallèle au 3e côté de ce triangle.
et j'ai démontré que (ED) // (AO)

b) je montre que (BF) // (OC) toujours en utilisant le même théorème.

Par hypothèse, DC = CF
donc C est le milieu de [DF]
Alors, dans le triangle DFB, la droite qui passe par O milieu de [BD] et par C milieu de [DF] est parallèle au 3e côté , le côté [BF]
et j'ai montré que (CO) // (BF)

Comme O milieu de [AC] : les points A, O et C sont sur la même droite et (AO) et (OC) sont les mêmes noms pour cette droite alors (ED) // (BF). et si (ED) // (AO) et (BF) // (OC) alors on peut dire que (ED) // (BF)

2) Je montre que les côtés [EB] et [DF] sont eux aussi parallèles.

Par hypothèse, ABCD parallélogramme donc AB = DC + (AB) // (DC)
et par hypothèse EA = AB et DC = CF donc (EA) = (AB) et (DF) = (DC)

Comme ABCD parallélogramme, (AB) //(DC) donc (EB)//(DF)

3) Je montre que EBFD est un parallélogramme en disant que (ED) // (BF) et (EB) // (DF) avec la règle : si un quadrilatère a ses 4 côtés parallèles(*) alors c'est un parallélogramme.

---------------------------------------------------------------------------------------------------

[EDIT by Yoshi] 4 côtés parallèles deux à deux dit la définition...
4 côtés parallèles, c'est ça : / / / /

Dernière modification par yoshi (05-04-2019 15:39:42)

yoshi · 05-04-2019 17:23:44

Re,

...alors (ED) // (BF). et si (ED) // (AO) et (BF) // (OC) alors on peut dire que (ED) // (BF)

Voilà du sabotage caractérisé...
En rouge
Tu commences par dire :
...alors (ED) // (BF) (tu ne devrais pas tu n'en sais rien : c'est donc de trop)
puis tu enfiles les perles et tu conclus :
alors on peut dire que (ED) // (BF)

et si (ED) // (AO) et (BF) // (OC) alors on peut dire que (ED) // (BF

Et pourquoi ?

En bleu
Sauf dans une règle que tu cites où il y a si ... alors.., écris plutôt : puisque ... !
En effet, le si sous-entend une supposition, or à ce stade, (AC)//(BF) et (AC)// (ED) sont des choses que tu sais, que tu as établies. Donc, il faut utiliser puisque (ou comme). qui introduit une cause et non une condition.
Si tu le sais au début, pas besoin de le démontrer après...

Voilà, ce n'est pas si mal : pour aller de Lille à Paris, tu es passé par Rome mais tu es allé au bout...
Là, à vouloir à toute force utiliser ta droite des milieux, tu as fait 2 fois plus long que ça devrait être : ce n'est pas toi qui a débuté en disant que tu essayais de faire court ?

@+

yannD · 05-04-2019 17:39:43

Bonsoir Yoshi,
Merci pour les explications, surtout pour ce qui tu as repassé en bleu.
oui, c'est bien plus long en utilisant cette méthode mais je cherchais un exo pour m'entraîner avec la droite des milieux, j'ai pas assez travaillé au collège en géométrie.

Dernière modification par yannD (05-04-2019 18:35:34)

yoshi · 05-04-2019 19:13:21

Re,

Tiens voilà du nouveau.

On considère un quadrilatère ABCD quelconque. On appelle L, M, N, P les milieux resprctifs des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA].
Montrer que LMNP est un parallélogramme.

Même exercice avec ABCD qui est un quadrilatère quelconque mais dont les diagonales sont perpendiculaires.
Quelle est maintenant la nature du quadrilatère LMNP ?

On considère un triangle ABC quelconque. On appelle M et N les mileux respectiofs de [AB] et [AC]. Soit D le symétrique de M par rapport à B.
La droite (ND) coupe [BC] en L.
Montrer que BL = 1/4 BC

@+

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#1 03-04-2019 17:04:24

Montrer O est le milieu de EF avec théorème de la droite des milieux

#2 03-04-2019 17:59:23

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#3 03-04-2019 18:09:38

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#4 03-04-2019 18:36:34

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#5 03-04-2019 18:41:37

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#6 03-04-2019 20:18:55

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#7 04-04-2019 11:57:25

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#8 04-04-2019 12:23:50

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#9 04-04-2019 12:55:42

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#10 04-04-2019 13:04:40

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#11 04-04-2019 13:16:12

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#12 04-04-2019 13:52:37

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#13 04-04-2019 14:18:19

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#14 04-04-2019 14:26:29

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