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ranma

Invité

Exercice Polynôme

Bonjour,

Voici l'énoncé de mon exercice "Soit P un polynôme dans R[X] à coefficients entiers tel que P(0) et P(1) sont impairs. Montrer que P n'a pas de racine entière"

J'ai procédé comme suit:
Soit P dans R[X] tel que:
[tex]\sum_{k=0}^n a_k \times X^k[/tex]
avec [tex]a_k[/tex] dans Z

De plus, [tex]P(0)=a_0 = 2p+1[/tex] p dans Z
et [tex]P(1)= \sum_{k=0}^n a_k[/tex]
Comme P(1) est impair, on peut écrire que [tex] \sum{k=0}^n a_k = 2b_k +1[/tex] avec [tex]b_k[/tex] dans Z
On raisonne ensuite par l'absrude: on suppose que P possède une/plusieurs racine entières
donc qu'il existe alpha dans Z tel que P([tex]\alpha[/tex])=0
ce qui equivaut à dire que [tex]X- \alpha | P[/tex]
en particulier, pour X=1, on a:
[tex]1- \alpha |P(1)[/tex]
[tex]1- \alpha | 2b_k +1[/tex]
On doit donc avoir [tex]1- \alpha [/tex] qui divise 1
or c'est vrai si et seulement si alpha=0
donc 0 être racine de P
Or: [tex]P(0)=a_0[/tex] qui est IMPAIR c'est donc absurde et alpha ne peut pas être entier

Mon raisonnement est-il correct? Merci de me corriger et de m'indiquer mes erreurs si ce n'est pas le cas

Merci d'avance

aviateur

Membre

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Messages : 189

Re : Exercice Polynôme

Bjr
"On doit avoir [tex] 1 -\alpha[/tex] qui divise 1 ". Je ne vois pas pourquoi.

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Exercice Polynôme

Bonsoir,

J'ai un peu la même remarque qu'aviateur.

Je pense que tu n'es pas obligé de décrire ton polynôme en explicitant ses coefficients.

Une piste (qui est en fait la même méthode que toi) :
Si $\alpha\in \mathbb Z$ est racine alors il existe $k\in \mathbb N$, $k\geq 1$ et $Q\in \mathbb Z[X]$ tel que
$$P=(X-\alpha)^k Q.$$

Tu remarques ensuite que selon la parité de $\alpha$, soit $P(1)$ est pair, soit c'est $P(0)$ qui l'est...

Roro.

Deugard

Membre

Inscription : 28-12-2018

Messages : 36

Re : Exercice Polynôme

▼Une solution

Bonsoir,
Supposant l'existence d'une racine entière r de P : il existe alors un polynôme à coefficients entiers Q
tel que : P(x) = (x-r).Q(x) ;   alors :  P(0) = (-r).Q(0)  est impair , ce qui implique que  r  est impaire ;
ensuite :  P(1) = (1-r).Q(1)  est impair ,  mais  1-r  est paire : contradiction .

ranma

Invité

Re : Exercice Polynôme

Bonjour! et merci à tous.tes pour vos réponses,

en effet en me relisant, j'ai réalisé que j'avais sous-entendu que si a divise une somme alors a divise chaque "membre" de la somme
ce qui s'avère faux (oops)
Du coup, merci Roro, j'ai suivit votre piste et j'ai bien aboutit à la contradiction.

Bonne journée