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Bonjour à tous,

Ce serait intéressant de consulter le livre du professeur (normalement « disponible en intégralité en téléchargement gratuit sur le site compagnon de l'ouvrage ») pour voir la solution qu'il préconise, et la façon dont il faut l'expliquer aux élèves.

Mercii Cailloux de t'être (re)plongé dans cette très intéressante discussion, que j'ai redécouverte avec un vif plaisir !!
(J'ai ri en redécouvrant mon expression « courbe "gabuzomeu" » pour désigner la parabole. :-)

J'avais, dans la discussion que tu avais citée, répondu à Ernst, qui a si justement évoqué l'élégance du passage en paramétrique ou en polaire  :

Bonsoir Roro, bonsoir Cailloux, bonsoir à tous,

Merci pour vos deux retours !

Et merciii, Cailloux, de ta solution ! C'est exactement ce que je souhaitais !
(J'avais l'intuition qu'il faut passer par l'équation polaire de la parabole, mais, devant partir tôt de chez moi, je n'ai pas eu la possibilité de chercher dans cette voie.)

Le système d'équations que tu évoques fournit une parabole à axe horizontal, orientée vers la gauche si p >0, et vers la droite si p < 0.

Pour obtenir une parabole verticale, il suffit d'intervertir les expressions de $x$ et $y$ :
$\begin{cases}x=\dfrac{p\,\sin\,\theta}{1+\cos\theta}\\y=\dfrac{p\,\cos\,\theta}{1+\cos\,\theta}\end{cases}$

Voici les deux courbes horizontale et verticale pour $p = 1$, avec $\theta$ variant de $-2,5$ à $2,75$. (C'est plus fun lorsque l'encadrement n'est pas symétrique.)

Sur les deux courbes, j'ai marqué le point de départ sur la courbe, le foyer et la directrice.

Rappel pour nos amis lycéens : une parabole est l'ensemble des points équidistants d'un point et d'une droite, le point étant appelé "foyer" et la droite étant appelée "directrice". (Observez par exemple sur la première figure les points $(0,1)$ et $(0,-1)$.) La distance algébrique entre la directrice et le foyer est le "paramètre" $p$ de la parabole.

Bonne soirée à tous.

Bonsoir Roro, bonsoir Rim45, bonsoir à tous,

Pan sur le bec !
Le bouillonnant et turbulent Borassus a encore frappé !  :-)

Bien évidemment, beaucoup d'enseignants, si ce n'est la majorité, expliquent, oralement et dans leurs supports de cours, que les règles de signes s'appliquent naturellement aussi aux produits et quotients des limites !

Toutefois, cette évidence ne correspond malheureusement pas à ce que j'observe concrètement chez mes élèves, même parmi les meilleurs, de Terminale (un certain nombre cumulés depuis les douze dernières années, avec, avant la réforme Blanquer, jusqu'à douze ou treize suivis en parallèle, sans compter mes élèves de stage) : je retrouve en effet systématiquement les interrogations de Rim45, plus d'autres comme par exemple « Est-ce que 0 sur infini est une indétermination ? ».

Je vois aussi de près à quel point les tableaux leur semblent déroutants — « je dois apprendre tout ça ?! » — et je vois leur étonnement lorsqu'ils comprennent que ces tableaux se résument à seulement trois règles simples.
Pas plus que les formules — je dis souvent à mes élèves « Les formules qu'on vous fait apprendre ne représentent en réalité que des cas particuliers de logiques générales qui, elles, n'ont pas besoin de formules » —, les tableaux n'assurent une compréhension de fond.

PS : Suite à cette discussion, je vais encore plus insister sur les règles des signes appliquées aux produits et quotients de limites, qui sont en réalité beaucoup plus importantes qu'elles ne semblent.
Merci Rim45 !

Bonne fin de soirée.
Et bonne reprise !

Bonsoir,

Borassus évoquait dans son message #3 la règle des signes pour un quotient de limites. Cette règle est aussi bien évidemment applicable à un produit de limites.  :-)

Bonsoir Cailloux, bonsoir à tous,

Mes intentions sont honnêtes, pacifiques, voire louables.  :-)

Cela fait tellement de fois que je vous vois évoquer le Lebossé et Hémery que j'ai l'impression d'être passé à côté de quelque chose, un peu comme ce « temps que les moins de vingt ans ne peuvent pas connaître ».

Quant aux coniques, comme cela fait longtemps qu'elles ne sont malheureusement plus au programme, je n'ai jamais vraiment eu l'occasion de les apprendre et de les pratiquer, puisqu'elles ne me sont pas demandées.

Donc je pense que j'investirai volontiers les 52,55 euros (frais de port compris) pour cette réédition.

Bonsoir, bonsoir,

Où je retrouve avec plaisir les notions de segments sous-tangents.

On peut continuer avec la fonction cube et la racine cubique, la fonction puissance 4 et la racine quatrième...
Voire avec des puissances fractionnaires.

Il y a aussi de quoi jouer avec la fonction exponentielle de base $e$ ainsi qu'avec le logarithme népérien...

Voici les calculs pour les questions 2 et 3. Prends-en de la graine, car cette mécanique de calcul est souvent utilisée dans les exos.

https://www.cjoint.com/c/NJEmlgRDmqs

Pour la question 3, je n'ai pas détaillé la première étape, à savoir l'utilisation de l'identité $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Je n'ai pas vraiment compris ce que tu cherches à faire.

Bonjour Léon, bonjour à ceux qui viennent sur cette discussion,

Pour la question 2, il faut mettre $x^2$ en facteur. Comme $x > 0$,  $\sqrt {x^2} = x$. Tu trouves alors l'expression demandée.

Pour la question 3 : $f(x) - 1 = $   [ l'expression obtenue en 2 ] $- 1$ .

En multipliant et en divisant par l'expression conjuguée, tu trouves au numérateur $-\dfrac {3}{x} + \dfrac {2}{x^2}$

Pour le dénominateur, tu mets le radicande au même dénominateur $x^2$. De nouveau $\sqrt {x^2} = x$.

Tu termines en multipliant en haut et en bas par $x$.

En rouge, la courbe $y = f(x)$.
En vert, la courbe $y = f(x) - 1$ pour $x \ge 2$
En bleu la courbe $y = f(x) - x$

Hello Ernst, bonsoir à tous

C'est un régal que de lire ton vertige de l'infini.  :-)
Effectivement, c'est intellectuellement plaisant de pouvoir créer une infinité de polynômes de degré 4 symétriques à partir d'un nombre réduit de polynômes symétriques à coefficients entiers.

J'ai voulu continuer avec le degré 5.
Avec l'aide du Chat, qui s'est chargé des développements fastidieux, que j'ai vérifiés avec soin, on arrive à la relation $\dfrac {3bc}{5a} - \dfrac {4b^3}{25a^2} - d = 0$

Les degrés résultants des trois termes sont égaux à 1. (J'espérais 5 - 1 = 4, mais ce n'est pas le cas.)
Donc la multiplication des coefficients d'un polynôme symétrique de degré 5 par un nombre $k$ produit la mise en facteur de $k$, et donc un polynôme symétrique.