Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour tout le monde,

Le problème de la curiosité, c’est qu’une conviction n’est pas une certitude. Ici par exemple j’ai pensé, pour aller deux fois plus vite, n’explorer que les $b$ pairs puisqu’il n’y a pas de solutions avec $b$ impair. Sauf que sans l’avoir prouvé, c’était risqué, au delà de certaines valeurs il pouvait peut-être en apparaître un, donc je n’ai pas fait.

La puissance de la théorie, c’est cette capacité de montrer ce qu’on peut faire sans risque.

L’autre aspect fascinant ici, c’est celui de l’infini. Au départ je remarque une concentration des solutions autour de zéro et donc une raréfaction avec l’éloignement. Je me demande ce que ça donne avec des valeurs de plus en plus grandes, mais c’est hélas hors de portée de l’exploration systématique. Au moment où je découvre la possibilité d’un facteur multiplicatif j'ai ma réponse : j’obtiens à la fois un infini non seulement en valeurs entières, mais aussi en valeurs réelles, même chose d'ailleurs quand je découvre que lorsque $b = 0$ et $d = 0$, alors $a$ et $c$ sont solutions quelles que soient leurs valeurs respectives.

(en l'absence de toute preuve théorique, ce n'est une fois de plus qu'une observation)

Hello Borassus,

Allez hop, une page qui permet de visualiser directement les solutions obtenues par des paramètres variant dans des plages distinctes.

C’est instructif de voir des structures qui ne sont pas du tout intuitives au niveau algébrique. Par exemple si on annule $b$ (min = max = 0), alors $d$ s’annule aussi et absolument tout le reste est solution ! Par contre si on annule $d$ ce n'est pas réciproque, il y a des solutions supplémentaires avec certaines valeurs de $b$ différentes de zéro, c’est fou.

Bonsoir,

Ce qui me choque dans l’histoire, c’est que normalement, si on a une équation avec plusieurs variables indépendantes et que certaines valeurs sont solutions de l’équation, ce n’est pas pour autant que l’on peut multiplier ces valeurs par un nombre quelconque.

Pour simplifier prenons x³ - y² = 0. On remarque que x = 9 et y = 27 est solution de l’équation, mais si je multiplie x et y par 2, j’obtiens 18³ – 54² = 2916 qui n’est pas solution. Ou bien x = 1 et y = 1 est aussi solution de l’équation, mais pas 2³  –  2² = 4. Tout cela pour dire qu'avec une équation standard il n’y a aucune raison qu’on puisse multiplier les valeurs-solutions au petit bonheur la chance et rester raccord avec le zéro.

Or ici ça le fait tout le temps.

Je pense que dans cette équation les différents termes sont liés d’une façon ou d’une autre et qu'une action particulière sur un terme se trouve automatiquement neutralisée. Dans mon esprit cela veut dire que l’écriture de la formule ici est d’une complexité apparente, un peu comme dans les jeux où il faut penser à un nombre, lui faire subir toute une série d’opérations, et qu’à la fin on tombe sur le nombre de départ.

Bonjour,

Il y a quelque chose de bizarre avec cette équation, elle ne réagit pas du tout comme je le pensais.

Dans un premier temps, je cherche toutes les solutions entières dans un intervalle, ok, j’en trouve un sacré paquet dont la distribution semble suivre une structure que l’on peut grossièrement résumer en « beaucoup près des zéros et de moins en moins ensuite avec des petits sauts et des écarts bizarres ».

Dans un deuxième temps, je cherche des solutions cette fois décimales dans un intervalle plus réduit vu l’augmentation de l’exploration, et là grosse surprise, j’obtiens le même nombre de solutions et la même distribution avec [-5 … 5] et des pas de 0.1 qu’avec [-50 … 50] et des pas de 1.

Hein ?

Dans un troisième temps, je prends deux-trois solutions précises et j’essaie avec des multiplicateurs quelconques : incroyable, ça marche, c’est toujours pareil ! J’ai mis > ici une page < qui montre bien le truc, suffit de ré-actualiser dans le navigateur pour obtenir différents tirages aléatoires du coefficient multiplicateur, qu'importe puisque le résultat de la formule avec les nouvelles valeurs est toujours égal à zéro.
(ce qui en passant me fait penser aux triplets de Pythagore, à savoir des triplets distincts et valides pour tous les multiples)

Bon, perso je ne dispose pas des outils théoriques pour explorer ce comportement, mais ce n’est pas juste une équation avec $n$ racines distinctes, il y a autre chose…

Bonsoir Borassus, bonsoir tout le monde

Alors là, je ne connaissais pas, mais ton Javascript, absolument fabuleux ! Allez hop, la > page de recherche < de ton équation. Chez moi cela met une dizaine de secondes pour afficher une plage de -150 à 150, avec des particularités tout à fait étonnantes :

Autre exemple, si on se restreint uniquement à la plage entre 40 et 120 on s’aperçoit qu’il y a des structures inattendues, par exemple des dizaines de solutions pour chaque valeur de $a$ jusqu’à un certain point et pof, tout à coup cela s’effondre et on se retrouve avec des séries de zéros sorties de je ne sais où. On peut bien sûr prendre d’autres plages comme [60 … 160], cela marche de la même façon mais pour d’autres valeurs.

Y a encore bien des trucs à explorer, finalement.

Bonsoir,

Avec des nombres entiers, autant explorer toutes les possibilités une à une. Pas sûr que les statistiques servent à grand-chose dans la mesure où il suffit d’agrandir la fourchette de recherche pour que le ratio des solutions trouvées sur le nombre de valeurs testées s'effondre.

Ici un petit programme C qui permet d’explorer plus largement et qui n’affiche que le nombre de solutions trouvées en fonction de la valeur de a :

On peut essayer sur des compilateurs en ligne comme > celui-ci < ou > celui-là < qui permettent un affichage complet.

Avec du C on peut accéder à des plages de plusieurs centaines d’éléments dans un temps raisonnable, le Python est à genoux bien avant…
(maintenant soyons clair, je n’ai aucune idée de ce à quoi cela peut servir)

Bonjour,

J'ai trouvé ça rigolo, j'ai programmé rapidement le truc, ça m'a l'air vrai :

Je me dis que c'est donc vrai, reste à le démonter.
- par définition des triplets sus-dits, on a $C^{2}=A^{2}+B^{2}$
- ta formule c'est $C^{2}-2AB$
- si je remplace le $C^{2}$ par son équivalent je peux écrire ta formule sous la forme $A^{2}+B^{2}-2AB$
- or ça c'est une identité remarquable que j'ai apprise en troisième je crois
- $\left( A-B\right) ^{2}=A^{2}+B^{2}-2AB$
- je peux donc écrire la racine carrée de ta formule sous cette forme et obtenir $\sqrt{\left( A-B\right) ^{2}}=\left| A-B\right|$
$A$ et $B$ étant des nombres entiers, la valeur absolue de $A-B$ sera un nombre entier. Et quand je regarde la liste de ce que j'ai obtenu, je trouve effectivement que c'est la différence entre les deux côtés de l'angle droit, tout simplement.

Bonsoir,

Exactement.

J’ai essayé autre chose d’expérimental, toujours sans aucune fonction trigonométrique bien sûr, l’estimation de Pi en approchant le quart d'un cercle avec des cordes intérieures de plus en plus courtes.

Mon idée est la suivante : on part d'un quart de cercle sur un repère orthonormé, centre O en (0, 0) et deux extrémités du rayon A en (1, 0) et B en (0,1). Dans un premier temps, on considère la longueur de la corde AB. Dans un deuxième temps, on prend le centre C du segment AB et on prolonge le segment OC pour qu'il atteigne la longueur du rayon, c'est-à-dire 1. On obtient donc à sa nouvelle extrémité un point on va dire D, et on calcule la longueur AD+DB. Ensuite on recommence, tout simplement. Milieu de AD, prolongation jusqu'à la longueur d’un rayon, point E, milieu de DB, prolongation jusqu'à la longueur d’un rayon, point F, puis calcul de la longueur AF+ED+DF+FB.

En fait on remplace chaque corde par deux nouvelles cordes plus courtes. Et comme ça se prête bien à la récursivité, il suffit d’indiquer le nombre d’imbrications que l’on souhaite, ça marche super bien.

Hop, code en Python à essayer > ici < en le collant dans la fenêtre de gauche et en cliquant sur Exécuter en bas…

Résumé : avec uniquement les moyens du bord, on peut donc définitivement conclure que non, Pi n’a pas 285 au lieu de 653 à partir de la 7ème décimale.

(et si je peux me permettre, on ne fait pas cela pour les absents, mais bien pour les éventuels lecteurs du forum qui y trouveraient un intérêt)

Bonjour,

C’est ce que j’appelle l’argument d’autorité, il y en a qui savent, donc ne la ramenez pas.

Perso je préfère faire autrement, par exemple en considérant un cercle de rayon $\dfrac{n}{2}$ sur une grille de $n\times n$ points. On compte chaque point dont la distance au centre est égale ou inférieure au rayon, ce qui en pratique ne fait intervenir qu’un décompte et des carrés, on obtient un rapport de surface entre la grille et les points tombés dans le cercle, qui nous donne $\pi ^{2}$ donc $\pi$. Finalement plus précis que Monte-Carlo, et programmé en C sur ma bécane cela donne :

7 décimales exactes en une dizaine de secondes, c’est pas mal et cela répond à la question puisque j’obtiens bien 3,141592 6… plutôt que le 3,141592 2… proposé par le demandeur. Je peux même vérifier le truc avec une décimale de plus :

3,141592 65… Même s’il est possible d’améliorer (1/4 de cercle, subdivision des carreaux au niveau des frontières tout ça) et aller encore plus loin je suis satisfait, j’ai pu vérifier de façon expérimentale sans jamais utiliser de fonction trigonométrique ou de formules toutes faites.

Bonsoir,

Perso je me suis longtemps amusé avec cette formule et l’ai utilisée pour calculer des milliers de décimales, voir par exemple ici :
https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=16811

N’empêche, je ne sais pas ce qu’est un développement limité, je ne sais pas ce qu’est arc tangente, je ne sais pas comment la trigonométrie permet de passer d’angles à des longueurs et vice-versa en dehors de valeurs simples, je ne sais pas calculer un logarithme, la seule chose que je sache c’est que les décimales données pour Pi ou pour e sont connues et donc à prendre pour vérité immuable ainsi que les formules plus ou moins sophistiquées qui permettent de les calculer.

Maintenant, si vraiment on veut aller au fond des choses, je sais faire. Je pars d’un hexagone formé de six triangles équilatéraux qui approche vaguement le cercle dans lequel il s’inscrit, je divise chacun en deux pour obtenir douze côtés au lieu de six, je suis capable de calculer leur longueur sans jamais passer par autre chose que Pythagore et des triangles rectangles, et avec 24, 48, 96, ... côtés j’arrive à n’importe quelle précision.

Sauf que.

Il me faut alors passer par des carrés (facile) et des racines carrées (difficile) à la chaîne. À la main je sais faire, mais c’est un travail de Titan pour peu de décimales exactes. Et s’il faut passer par une calculatrice, autant presser la touche Pi.

Pour un gamin reste l’expérimentation, on trace un grand cercle et on compte le report de toutes petites longueurs au compas, ou les petits carreaux de la surface sur un quadrillage serré, pour lui dire que finalement c’est comme cela et pas autrement.

Voilà pourquoi je trouve la question excellente. Elle renvoie à essentiellement des arguments d'autorité.

Je cherche à satisfaire ta demande d’avis en faisant état des pensées qui me traversent quand je parcours les différentes interventions sur ce fil. C’est, je crois, ce que tu attendais, un ton courtois mais sans complaisance sur le sujet qui te préoccupe.

Sur ce, bonne soirée, et bonne continuation aussi.

Bonjour,

Pas d'accord, ses interventions me sont précieuses par la maîtrise qu'elles témoignent du sujet. Ce n’est certes pas moi qui peut déclarer qu’on est ici plus proche de l’amateurisme que de la rigueur, ce n’est pas mon domaine.

Ce que je trouve intéressant, dans cette histoire comme dans tant d’autres du même genre, c’est cette défiance envers l’autorité (le professionnel on va dire) et la prétention de pouvoir s’en passer.

Faut dire aussi que par le biais de systèmes d’évaluation, nous sommes tous invités à juger au quotidien un produit, une nourriture, un médecin, un service, etc. alors normal qu’au bout d’un moment, on finisse par se trouver soi-même tout à fait compétent dans tous les domaines.

D’ailleurs moi-même, je...