Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Re solu?

En plan veut dire vu de haut, vu d'avion si tu veux.
En plan veut dire comme si tu lisais un plan ou une carte géographique.

Donc un cube1= une surface1 vue de haut (vue en plan)        => je note: 1
6 cubes empilés verticalement vus de haut = une surface1.    =>  je note: 6

Si j'indique    1 6 12    =>   vu du haut on ne voit que 3 surfaces1 et pourtant la première colonne=1
                                                                                                                 la 2°                     =6           
                                                                                                                 la 3°                     =12

OK?

Salut,

OK! on se rapproche.

C'est presque juste sauf que moi je travaille en plan.

ligne 1: Je pose un cube              1

Ligne 2: Je pose un cube et à côté (vue en plan pour rappel) 6 cubes empilés verticalement (donc en plan je ne vois que deux cubes sur cette ligne 2

                                                    1         ligne 1
                                                    1 6      ligne 2

Pareil pour les autres lignes:

                                                     1
                                                     1 6
                                                     1 6 12
                                                     1 6 12 18
                                                     1 6 12 18 24

La base est donc triangulaire et =  [tex]\sum^{n}_{1}n[/tex]  (réponse à la question... ouf!)

Ah +!

PS: les lignes pour moi sont comme quand on écrit: de gauche à droite et de haut en bas .

'lut

1) oui la base est triangulaire et formée de cube1 (donc triangle à créneaux)
2)Non ce ne sont pas des hypercubes ce sont des piles de 6 cube1 (ou de 1 cube 1 (patte d'éléphant).
3)Non. tous les étages sont à base triangulaire et se réduisant plus on monte haut  (d'où l'image d'une pyramide qui, dans le cas ou n est déterminé, se terminera par un dernière pile de 6 cube1).

Voilà.
A+

Cher tous

A propos, personne ne m'a demandé comment j'étais arrivé à résoudre : "La somme de la somme des n premiers entiers ?"
idem pour la solution de la somme des  [tex]{n}^{2}[/tex] premiers entiers

Et puis cher Yoshi peux-tu confirmer ou infirmer que:
[tex]{n}^{3}[/tex] = [tex]\sum^{n}_{1}\left(\sum^{n}_{1}\left(6\left(n-1\right)+1\right)\right)[/tex] ?

Bigre que mes loisirs sont riches!

A+?

Bonsoir à tous,
Honorable Nerosson, bonsoir.

précis, précis je dois être précis.

je travaille avec des cubes d'arête 1. Pour matérialisé mon propos je pense à un cube d'1 [tex]c{m}^{3}[/tex] (disons un peu comme un morceau de sucre qui serait cubique (car les vrais ne le sont pas beaucoup)).

je joins ces cubes1 (1[tex]c{m}^{3}[/tex]) les uns aux autres.

Toutes les formes sont possibles et notamment celle du cube.
Il est fait au moyen de:

-1 cube1:
formé par ce même et seul cube1     =>arête du cube=1  => n=1

-8 cube1
soit 4 cube1 (assemblés en forme de carré vu en plan (2X2)) +une 2°couche de 4 cube1 (2X2) posée sur la première verticalement.      =>arête du cube=2=>n=2

-27 cube1     
soit 9 cube1  (assemblés en forme de carré vu en plan (3X3)) +une 2°couche de 9 cube1 posée sur la première verticalement. +une 3°couche de 9 cube1 posée sur la 2° verticalement.     =>arête du cube=3 =>n=3.

n=1=>   [tex]{1}^{3}=1[/tex]
n=2=>   [tex]{2}^{3}=8[/tex]
n=3=>   [tex]{3}^{3}=27[/tex]

Est-ce clair?

Mettons que je choisisse n=3:

j'aurai un cube de 3 d'arête comptant 27 cube1.

Comment arriver à démonter ce cube (n=3 =>formé d'un cube formé de 27 cube1 (3 cube1 d'arête))
et le remonter en forme de pyramide (composée de 27 cube1 soit  [tex]{n}^{3}={3}^{3}=27 [/tex] )?

Cette pyramide: quelle forme? d'Egypte, des Mayas?
                       quelle base? triangulaire, carrée, ...
Mais en tous cas elle ne sera pas lisse. (elle est exclusivement formée de cube1 empilé et/ou joint les uns aux autres.

Je signale qu'elle est un peu spéciale pour ce qui concerne sa base. C'est une pyramide normale sauf qu'à sa base il faut rajouter 3 cube1 (n=3).

mon message #17 tentait de reprendre le tableau qui m'a conduit à poser ce petit problème et essayer d'en formaliser sa réponse. (là je suis un peu beaucoup pompeux sans doute).

Ce tableau n'est pas sans rappeler les séries que tu nous a présenté Nerosson.
Yoshi a magistralement démontrer que la table de 6 était opérante.

Glubs! Soyez indulgent, dans ma trousse je n'ai que...

Là dans le fond, vous levez votre doigt? je vous écoute allez-y! :-)

A bientôt.

Salut à tous,

Merci Yoshi,
J’ai essayé de m’envoyer un mél: maintenant ça fonctionne; excuses!

Au sujet de l’empilement des cubes liés à la somme de la somme des n premiers entiers tu signalais qu’en six pages format pdf tu avais rédigé une explication accessible; pourrais-je en prendre connaissance?

C'est que dans ma trousse je ne trouve que +,-,/,*. (C'est avec cela qu'on croit souvent inventer l'eau chaude. Moi j'avais choisi les portes ouvertes à enfoncer.)

Donc

« Que cherches-tu, enfin ? Tu penses être détenteur d'une grande découverte mathématique, et tu veux qu'on la vérifie avant que tu ne tentes de postuler à la médaille Fields ? ;-) »

Encore une fois, cher maître (:-), dans ma trousse je ne trouve que +,-,/ et *;  alors une médaille? Pourquoi? Pour avoir eu le plaisir de communiquer mes quelques petites réflexions m‘empêchant de, seul, m’avancer au risque de divaguer? (C’est-ce que tu me laisses entendre et je t'en remercie)

Est-il donc si évident que  [tex]\sum^{n}_{1}\left(\sum^{n}_{1}6\left(n-1\right)+1\right)={n}^{3}[/tex]

Voici la démarche suivie et voici ce qui est venu sous mes yeux:
(Ce tableau s’est construit de droite à gauche.)

colonne4         colonne          colonne2                        colonne1
n                  6(n-1)      Somme ((6(n-1)+1)           Somme(somme((6(n-1)+1))
1                        0                   1                                     1                                   
2                        6                   7                                     8
3                        12                 19                                    27
4                        18                 37                                    64
5                        24                 61                                    125
6                        30                 91                                    216

Bon c’est pas clair (comme tu me le diras c’est sûr).

Ce tableau s’est construit de droite à gauche.
C1:            Partir du cube de n: 1,8,27,64,125,…
C2:            8-1=7        (colonne 1, ligne 2)-(colonne 1,ligne 1)
            27-8=19
            64-27=37
            125-64=61
            216-91=91
C3:            7-1=6                (colonne 2, ligne 2)-(colonne 2,ligne 1)
            19-7=12
            37-19=18
            61-37=24
            91-61=30

C’est à ma grande surprise que je suis tombé sur la table de six (sauf le zéro) (2° colonne)
(D’où l’ajustement (6(n-1)) (2°colonne))

6 quoi?  Sont-ce les 6 faces du cube-un (ça c‘est la recherche qui m‘occupe pour le moment)?

ReDonc je tombe dans un espace fait de somme de somme (en partant de gauche à droite) et j’arrive au cube (3D).
Ça me semble à poursuivre et peut-être à en faire objet de discutions.

La transposition en pyramide de cubes-uns s’impose de suite (c‘est-ce qui m‘a guidé lors de la résolution de la somme de la somme des n premiers entiers).

Un cube est un cube de un de côté.  1= 1cube-un, 2=2cube-un; 3=3cube-un; etc

La base de la pyramide est triangulaire (triangle à créneaux vu en plan), de base  [tex]\sum^{n}_{1}n[/tex] et de hauteur 6 (cf: colonne 3) mais dont le premier terme est 0; on ajuste par la formule 6(n-1)+1 pour que l’on arrive à démarrer avec 7 (2° colonne).

Donc il suffit d’empiler (pas édifier (car certains n’aiment pas):-)) des cubes-uns selon le rythme:
1                                                                                  6*0+1
1+1*6                                                                           6*1+1
1+1*6+2*6                                                                    ……….
1+1*6+2*6+3*6
1+1*6+2*6+3*6+4*6    = 3n(n-1)+1

C’est la somme de tous les cubes-uns qui nous intéresse pour arriver à n au cube= [tex]\sum^{n}_{1}\sum^{n}_{1}6\left(n-1\right)+1[/tex]

La pyramide de cubes-uns ne ressemble pas à celle d'Égypte ou à celle des Mayas.

Elle est en coin comme ci-dessus (au moins sa base est visible) les chiffres représentant la hauteur des empilements de cubes-uns)

la première couche sera, selon n, le nombre de cubes-uns posés au sol = [tex]\sum^{n}_{1}n[/tex]

(J'ai à dire aussi sur cette aventure qui ressemble à une sorte de rite d'initiation mais est-ce le lieu?)

Modestement et empiriquement vôtre.

Bon jour autres

Là il s'énerve?

Eclairez nous, nous qui nous empêtrons dans un brouillard à deux.

Il a pas dû trouver son paquet de sucre en morceaux.

J'ose penser que les manips sont pas son truc.

Rang 1: tu poses 1 morceau de sucre (mds)
Tu comptes: 1(mds)
Rang 2(derrière ou devant) tu poses 6(mds);tu les empiles verticalement (pyramide oblige) et à côté 1(mds)verticalement.
Tu comptes: 8(mds)=Somme du rang un et du rang deux: 6+1+1=8
Rang 3: tu poses 12(mds)verticalement et puis 6(mds)verticalement et puis 1(mds)
Tu comptes: 27(mds)=12+6+1+6+1+1=27
rang 4 tu poses 18(mds) et puis 12(mds) et puis6(mds) et puis 1(mds)
Tu comptes: 64(mds)=18+12+6+1+12+6+1+6+1+1=64
etc.

Je sais pas comment être plus clair.

Comment vous transmettre un dessin illustrant tout ceci; le l'ai là devant les yeux et c'est d'une limpidité...

Mal-mathillustré-vôtre

Cher Yoshi,

Au départ je ne parlais pas de lissage. J'ai eu tort de rajouter que le lissage j'allais l'entreprendre.(Je l'ai indiquer en PS après coup) c'était une erreur.
Mais, si ça peut vous intéresser je vous dirai volontiers à quoi ce lissage m'a servi dans l'exposé de la solution à "Somme de la somme des n premiers entiers". (Comment faire ce lien en bleu qui y renvoi directement?)

Ici en l'occurrence, c'est l'inverse.

Des Cubes-uns rien que des Cubes-Uns qu'on compte simplement par couche.
Il se fait que, ce montage, pris dans le bon sens équivaut à la table des cubes des n premiers entiers.

Ton approche semble n'être que trop géométrique.

J'insiste donc sur l'objet distingué: le Cube-Un.

Il débouchera sur une équivalence entre:  [tex]\sum^{n}_{1}\left(\sum^{n}_{1}\left(6\left(n-1\right)+1\right)\right)={n}^{3}[/tex]

C'est dingue non?
Enfin si je ne me trompe.
Et si tel j'apprendrai.

Kzéro?

‘lut,

(Je ne parviens pas à insérer une équation, mon serveur  « internet explorer a cessé de fonctionner » finit par se déconnecter. Que faire?)

Aaaaah…

Il s’agit bien de Cubes-Uns empilés les uns aux autres.

Un cube composé de Cubes-Uns est démonté et reconstruit sous forme de pyramide (de Cubes-Uns) à pattes d’éléphant(s). La pyramide a une base formée de Cube(s)-Un(s) auquel(s) s’ajoute n Cube-Un (les pattes d’éléphant(s)).
Donc à la base  s’ajoute n cube(s)-un(s) qu’on dispose(nt) comme on veut.
Pour vous mettre sur la piste, la base est…?

Le lissage de cette pyramide et l’ajout de ses pattes) est l’objectif suivant afin, qu’en volume stricte, on arrive à n Cube-un exposant trois.

…tchoum

Merci Yoshi pour ton terrible travail. Au vu de celui-ci, dois-je vous mettre d’avantage sur la piste ?

La solution est beaucoup plus simple je crois. Et fait la monstration de l’application d’une « formule » (de là mon intérêt)

Mathimagement-vôtre.

PS: Pour le lissage ce serait une erreur. Ce,déclaré plus haut est faut.

Merci Yoshi,

Je pensais bien que tu trouverais vite à quoi je faisais référence.
Je te dis pas ma déception d’avoir croisé, peu avant, ton problème de jeu de cubes alors que justement cette mise en espace correspond à la démarche qui m’a conduit à la solution (coins de cube (n de côté) et (n/2(n+1))(cube - coin de cube) et (n/2(n-1)(coin de cube).

Vous êtes géniaux.
Là où je mets un demi jour pour baliser et résoudre, en quelques minutes vous trouvez. Chapeau bas!

Mais dans le fond,
Si un entier c’est un cube(n=1).
C’est quoi alors un carré, une ligne?

Mathamusé, je me savanture.
Ce que je trouve génial c’est le vertige que je ressens d’avoir connecter les entiers à l’espace (ah! ce cher espace) et réciproquement.

C’est pas anodin de qualifier une solution en termes d’entiers;
Ex: pour n, touillez-en un tiers de ligne, une moitié de surface et un sixième de cube.
Je propose d’en chercher la syntaxe , en prendre quelques autres (formules) et les déployer en objet dans l’espace 3D.
Après tout, des cubes ont voit ce que c’est et puis des surfaces et des lignes aussi. Reste à trouver la manière de les reconvertir en figures (les reconfigurer).
Imaginons que nous imagions les formules.
En tout cas en v’là une: l’image est celle du jeu de cubes proposé par Yoshi.

Bon! je rêve, mais quel plaisir!

Pyramidalement et mathimagement vôtre.

cher yoshi,

Je m'amuse plutôt         à chercher les différentes manières de trouver la somme de la somme des n premiers nombres entiers.

ainsi pour n=50 =>    la somme de la somme est 22100.  (  ...  )
alors que                                       la somme est 1275  (  n(n+1)/2  )

Pour avoir un peu séché pour trouver cette dernière formule [ n(n+1)/2]   j'ai trouvé une approche qui n'est pas celle que tu proposes mais qui évidemment arrive au même résultat. Je la garde encore pour moi car elle donnerait très vite la piste qui m'a conduit à trouver la seconde formule (celle de la somme de la somme).

mathamusé vôtre.