Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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# Un ensemble de points - Bernard-Maths - 11 Janvier 2025
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# Importations
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import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.patches as mpatches

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def maxfig():
    mng = plt.get_current_fig_manager()
    mng.resize(*mng.window.maxsize())
    mng.window.state('zoomed')

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def DistancePointSegment(x,y,xA,yA,xB,yB):

    ps=(x-xA)*(xB-xA)+(y-yA)*(yB-yA)
    D2=(xB-xA)**2+(yB-yA)**2
    if ps>D2:
        return (x-xB)**2+(y-yB)**2
    if ps<0:
        return (x-xA)**2+(y-yA)**2
    else:
        a, b, c = yB-yA, xA-xB, xB*yA-xA*yB
        return abs(a*x+b*y+c)**2/D2

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N=50000
xA, yA = np.random.random(), np.random.random()
xB, yB = np.random.random(), np.random.random()
xC, yC = np.random.random(), np.random.random()
xD, yD = np.random.random(), np.random.random()

plt.close()
fig=plt.figure(linewidth=10,facecolor = 'gold',edgecolor='red')
plt.axis('equal')
plt.title('Ensemble de points', color='darkviolet', fontsize=40, fontname='Comic Sans MS', fontweight='bold')

for k in range(N):
    x, y = np.random.random(), np.random.random()
    Dist1=DistancePointSegment(x,y,xA,yA,xB,yB)
    Dist2=DistancePointSegment(x,y,xC,yC,xD,yD)
    if Dist1<Dist2:
        plt.plot(x,y,'.c')
    else:
        plt.plot(x,y,'.m')

plt.plot([xA, xB],[yA, yB],'b',linewidth=5)
plt.plot([xC, xD],[yC, yD],'r',linewidth=5)

maxfig()
plt.show()
 

% Doremepha - 26 Décembre 2024 - Optimisation avec le produit scalaire

clc, clear all, close all

% On part du triangle de contact UVW du cercle inscrit

syms u v w

uB=1/u; vB=1/v; wB=1/w; % Morley's trick avec le cercle inscrit
% Le suffixe B veut dire conjugué

s1=u+v+w; s2=u*v+v*w+w*u; s3=u*v*w; % Fonctions symétriques
s1B=s2/s3; s2B=s1/s3; s3B=1/s3; % Conjugués

a=2*v*w/(v+w); b=2*w*u/(w+u); c=2*u*v/(u+v); % Sommets ABC du triangle
aB=2*vB*wB/(vB+wB); bB=2*wB*uB/(wB+uB); cB=2*uB*vB/(uB+vB);  % Conjugués

%-----------------------------------------------------------------------

syms m mB

% Centres Ja, Jb, Jc des cercles exinscrits
ja=4*s3/((u+v)*(u+w)); jaB=4*s3B/((uB+vB)*(uB+wB));
jb=4*s3/((v+w)*(v+u)); jbB=4*s3B/((vB+wB)*(vB+uB));
jc=4*s3/((w+u)*(w+v)); jcB=4*s3B/((wB+uB)*(wB+vB));

[h hB]=ProjectionPointDroite(a,m,b,aB,mB,bB); % Point H
[k kB]=ProjectionPointDroite(a,m,c,aB,mB,cB); % Point K
HK2=Factor((h-k)*(hB-kB)) % HK^2
f(m,mB)=HK2;

F=-(v-w)^2*((v+w)*mB-2)*(m-mB*u^2-2);
FB=-(v-w)^2*((v+w)*m-2*v*w)*(m+mB*u^2-2*u);
D=numden(Factor(diff(HK2,m)/F));
DB=numden(Factor(diff(HK2,mB)/FB));

Eq=Factor(resultant(D,DB,mB))

X=m*(m-b)^2*(m-c)^2*(m-ja)*(m-jb)*(m-jc);
Cte=Factor(Eq/X)
% On trouve Cte=-4*u^2*(u+v)^4*(u+w)^4*(v+w)^3*(u-v)*(u-w)
% Cte ne dépend pas de m
% Les solutions de l'équation Eq=0 sont b et c (solutions doubles)
% et ja, jb, jc les centres des cercles exinscrits

% f(a,aB)=f(b,bB)=f(c,cB)=0
% f(jb,jbB)=-(u-v)^2/(u+v)^2
% f(jc,jcB)=-(u-w)^2/(u+w)^2

H0K02=Factor(f(ja,jaB)) % H0K02=-((u-v)*(u-w)*(v-w)/((u+v)*(u+w)*(v+w)))^2

% D'autre part BC=2*i*w*(u-v)/((u+w)*(v+w)) et permutation circulaire
% On peut donc vérifier que H0K0=(BC+CA+AB)/2:

BC=2*i*w*(u-v)/((u+w)*(v+w));
[CA AB]=PermCirc(BC,u,v,w);
Y=(BC+CA+AB)/2;
Nul=Factor(Y^2-H0K02) % Nul=0
 

%  Foyers de l'ellipse de Steiner inscrite - 25 Décembre 2024

clc, clear all

syms a b c

aB=1/a; bB=1/b; cB=1/c;

s1=a+b+c; s2=a*b+b*c+c*a; s3=a*b*c;
s1B=s2/s3; s2B=s1/s3; s3B=1/s3;

%-----------------------------------------------------------------------

syms z zB

ap=(b+c)/2; bp=(c+a)/2; cp=(a+b)/2; % Milieux A',B',C' des côtéd de ABC
apB=(bB+cB)/2; bpB=(cB+aB)/2; cpB=(aB+bB)/2;

g=s1/3; gB=s1B/3; % Centre de gravité
k=2*(s2^2-3*s1*s3)/(s1*s2-9*s3); % Point de Lemoine, isogonal de G
kB=2*(s2B^2-3*s1B*s3B)/(s1B*s2B-9*s3B);

syms t real

as=a+t*(k-a); asB=aB+t*(kB-aB); % Un point A" de (AK)
NulAs=Factor(Cocyclique(a,bp,cp,as,aB,bpB,cpB,asB)); % A" est sur le cercle (AB'C')
% On trouve
% (a*b+a*c-2*b*c)*(b-2*a+c)*t + a^2*b+a^2*c+a*b^2-6*a*b*c+a*c^2+b^2*c+b*c^2 = 0
t=-(a^2*b+a^2*c+a*b^2-6*a*b*c+a*c^2+b^2*c+b*c^2)/((a*b+a*c-2*b*c)*(b-2*a+c));
as=Factor(a+t*(k-a)); asB=Factor(aB+t*(kB-aB));  % as=(-a^2+b*c)/(b-2*a+c)

[pmed qmed rmed]=Mediatrice(a,as,aB,asB); % Médiatrice de [AA"]
Fact=a*(a*b+a*c-2*b*c)*(b-2*a+c)/((a-b)*(a-c)); % Facteur de simplification
pmed=Factor(Fact*pmed); % pmed=b-2*a+c
qmed=Factor(Fact*qmed); % qmed=a*(a*b+a*c-2*b*c)
rmed=Factor(Fact*rmed); % rmed=(a-b)*(a-c)

Nul=Distance2PointDroite(z,g,a,zB,gB,aB)-Distance2PointDroite(z,g,as,zB,gB,asB);
Fact=(a-b)*(a-c)*(b-c)^2*(-a^2+b*c);  % Facteur de simplification
Eq1=collect(numden(Factor(Nul/Fact)),[z zB]); % On trouve, après un coup de FracSym:
Eq1=3*(s2^2-3*s1*s3)*z^2 - 3*s3^2*(s1^2-3*s2)*zB^2 - 2*s1*(s2^2-3*s1*s3)*z + 2*s2*s3*(s1^2-3*s2)*zB + (s2^3-s3*s1^3);
% Eq1=0 est l'équation des deux bissectrices de (GA,GA")

% On élimine zB entre Eq1 et la médiatrice de [AA"]
Eq=Factor(resultant(Eq1,pmed*z+qmed*zB+rmed,zB));
X=SimplifieBary(coeffs(Eq,z,'All'));
Delta=Factor(X(2)^2/4-X(1)*X(3));
% On trouve Delta=(s1^2-3*s2)*(s2^2-3*s1*s3)*(a*b+a*c-2*b*c)^2
syms d % d^2=(s1^2-3*s2)*(s2^2-3*s1*s3)
Omega=Factor((-X(2)/2+(a*b+a*c-2*b*c)*d)/X(1))
OmegaB=Factor(-(pmed*Omega+rmed)/qmed);
% Omega1=-((s2-3*b*c)*d + 9*s2*s3+s1*s2^2-6*s1^2*s3)/(3*(b*c*(s1^2-3*s2) + 3*s1*s3-s2^2))
% et Omega2 avec -d

% Cercle de centre Omega passant par A
Eq2=numden(Factor((z-Omega)*(zB-OmegaB)-(a-Omega)*(aB-OmegaB)))
% On élimine zB entre Eq1 et ce cercle
Fact=a^2*(b-c)^2*(-a^2+b*c)*(s2^2-3*s1*s3);  % Facteur de simplification
Eq=Factor(resultant(Eq1,Eq2,zB)/Fact);
Eq=Factor(subs(Eq,d^2,(s1^2-3*s2)*(s2^2-3*s1*s3))) ; % On connaît d^2
% Re-Miracle !! 3*z^2 - 2*s1*z + s2 est encore en facteur dans Eq