Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

  Et toi, qu'as-tu fait concernant cet exercice ? Par exemple, comment peut-on prouver qu'un ensemble de parties n'est pas une tribu ?

F.

Oui.

Bonjour,

  Si on a une matrice $B$ inversible, l'endomorphisme associé est bijective et donc $\textrm{Im}(B)=\mathbb R^n.$

F.

Bonjour,

  Il y a une condition impérative pour que tu puisses faire quelque chose, c'est que tes variables aléatoires doivent être indépendantes. Si c'est le cas, alors :
* pour le produit, on a les règles générales
alors tu sais que $E(XY)=E(X)E(Y)$ et $V(XY)=E((XY)^2)-E(XY)^2=E(X^2)E(Y^2)-(E(X))^2(E(Y))^2,$ ce qui te permet de faire les calculs
en partant de tes données.
Attention ! $XY$ ne suit en général pas une loi normale même si $X$ et $Y$ suivent une loi normale.
* pour la somme, tu sais que $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ (ne nécessite pas l'indépendance) et $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ (nécessite que $X$ et $Y$ sont indépendantes). A nouveau, tu peux faire le calcul avec tes données.

F.

Bonjour,

  Difficile de répondre à la question dans l'esprit de celui qui a posé l'exercice sans connaitre le contenu du cours.
Moi, pour le 1. (mais ça marche aussi pour le 2 -), je me baserais sur la fonction de répartition : Pour $y\in\mathbb R,$
on a $F_Y(y)=P(Y\leq y).$ Si $y<0,$ alors $F_Y(y)=0$. Si $y>0,$ alors
\begin{align*}
F_Y(y)&=P(-\sqrt y\leq X\leq \sqrt y)\\
&=P(X\leq \sqrt y)\\
&=F_X(\sqrt y).
\end{align*}
Par composée de fonctions dérivables, $F_Y$ est dérivable sur $\mathbb R^*$ donc $Y$ admet une densité qui est donnée par la dérivée de $F_Y.$ Je te laisse calculer cette dérivée pour retrouver une loi bien connue.

La méthode des fonctions tests consiste en le principe suivant : deux variables aléatoires $Y$ et $Z$ ont la même loi si et seulement si, pour toute fonction continue bornée $h$ définie sur $\mathbb R,$ on a $E(h(Y))=E(h(Z))$.
En particulier, si tu peux écrire, pour toute telle fonction $h,$
$$E(h(Y))=\int_{\mathbb R}h(y)g(y)dy,$$
alors tu sais que $Y$ admet pour densité $g$.

Ceci amène à faire un calcul en effectuant un changement de variables dans l'intégrale. En effet, ici, tu peux écrire
$$E(h(Y))=E(h(X^2))=\int_{\mathbb R}h(x^2)f_X(x)dx=\int_{0}^{+\infty}h(x^2)xe^{-x^2/2}dx.$$
Et là on a une furieuse envie de poser $y=x^2$...

F.

Bonjour,

  L'approche fréquentiste est la traduction concrète de la loi des grands nombres. En effet, la loi des grands nombres permet d'interpréter la probabilité comme une limite de fréquence de réalisation.

F

Bonjour,

  Je pense qu'il faut plutôt lire : la fonction $t\mapsto m(1-|b_k|^2t^k)+Ct^{k+1}$ prend des valeurs strictement inférieures à $m$ au voisinage de $0^+$.

F.

Bonjour,

  C'est facile de vérifier que $\langle f,g\rangle=\int_{\Omega}f(\omega)\overline{g(\omega)}d\lambda(\omega)$ est un produit scalaire.
Ensuite, il faut démontrer que $L^2$ est complet et là, c'est une autre paire de manches. Ce résultat s'appelle le théorème de Riesz-Fisher, et il n'est pas simple à démontrer.

F.

Bonjour,

  Tu te doutes bien que l'on ne va pas facilement pouvoir t'aider ainsi.
Pour insérer une image, il faut d'abord l'héberger sur un site comme zuptimages.
Ensuite, quand tu cliques sur le bouton pour insérer une image, il faudra donner le lien fourni par ce site.

F.

Oui, c'est ce que je pense.

Bonjour,

  Je vais te justifier l'intégrabilité au sens de Lebesgue.
Déjà, cette fonction est mesurable parce qu'elle est continue par morceaux. Ensuite elle est bornée. Donc elle est intégrable !

F.