Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

J'imagine que tu as voulu écrire [tex]A \cup B \not\subset C[/tex], A, B et C étant trois ensembles.
Dans ce cas, il me semble que la négation est simplement [tex]A \cup B \subset C[/tex].

Roro.

Re,

Commençons par le commencement : tu parles de norme mais je ne sais même pas sur quel espace ! Quand tu "définis" G1, tu utilises Gx et Gy, mais je ne sais pas ce que sont Gx et Gy...

En admettant que Gx et Gy sont deux réels, il est facile de vérifier par exemple que [tex]|Gx|+|Gy| \geq max\{Gx|,|Gy|\}[/tex] donc que G1 est supérieur à G3.
De même tu dois pouvoir comparer G1 à G2 ainsi que G2 à G3.

Pour la suite, c'est un peu comme ma première remarque : tu ne définis pas les objets que tu utilises ! je ne comprend même pas la question. Peut être que pour d'autre se sera plus limpide...

Bon courage,
Roro.

Suite...

Pour les bornes, on obtient [tex]a_n = \int_0^n \frac{1-(1-u/n)^n}{u}du - \ln(n)[/tex].
Ensuite je sépare cette intégrale avec Chasles : [tex]\int_0^n = \int_1^n  + \int_1^n [/tex].
Enfin, en retranchant ln(n), ça marche ! (il ne faut rien faire avant avec ce terme !)

Roro.

Bonsoir,

Concernant la seconde question, tu peux considérer une base de E composée de vecteurs propres de u (c'est possible car tu auras dis avant que u est diagonalisable...).
Une fois que tu as cette base, le résultat est assez immédiat, mais si tu veux que je précise plus un point, dis le moi...

Roro.

Bonsoir,

Moi aussi je suis l'idée de Fred. Dans les grandes lignes j'obtiens :

[tex]S = \sum_{n\geq 0} a_n = -\frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \text{Im}\Big( \sum_{n\geq 0} e^{2inx} \Big) \tan(x/2) \, dx[/tex]

La série géométrique se calcule facilement : [tex]\sum_{n\geq 0} e^{2inx} = \frac{1}{1-e^{2ix}} = \frac{i\, e^{-ix}}{2\, \sin x}.[/tex]

On en déduit [tex]S = -\frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{2 \, \sin x} \tan(x/2) \, dx[/tex]

En utilisant le changement de variable "standard" dans ce type d'intégrale : [tex]t=\tan(x/2)[/tex] on a
[tex]S = -\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{1-t^2}{2(1+t^2)}\, dt = -\frac{1}{2} \int_0^1 \Big( -\frac{1}{2} + \frac{1}{1+t^2} \Big) \, dt = -\frac{1}{2} \Big[ -\frac{t}{2} + \mathrm{arctan} t \Big]_0^1 = \frac{1}{4}-\frac{\pi}{8}.[/tex]

Je ne suis pas loin de Freddy... mais j'ai peut être fait une erreur !

Bonne nuit,
Roro.

Bonjour,

Rien à dire de plus que ce qu'à noté Yoshi !
La primitive recherchée ne peut pas s'exprimer à l'aide de fonctions "usuelles" (en nombre fini)... c'est pourquoi le logiciel fait intervenir une "nouvelle" fonction...

C'est un peu comme si on vous demandait la primitive de 1/x alors que vous ne connaissez pas la fonction logarithme... votre réponse serait de définir une nouvelle fonction (le logarithme) !

Vous pouvez aussi jeter un coup d'oeil à
http://www.math.polytechnique.fr/~chamb … lgebre.pdf (paragraphe 6.7)
Il y a aussi un sujet de concours d'entrée à l'ENS (année ? vers 1994 ?) dont l'objectif était de montrer de tels résultats je crois...

Roro.

Bonjour,

Pour montrer que la fonction [tex]X(n_1,n_2) = cos(\pi n_1+ (\pi/2)n_2)[/tex] est (2,4)-périodique, il faut que tu vérifie s la relation que tu as donné pour définir la périodicité.
En écrivant :
[tex]X(n_1+2,n_2) = cos(\pi (n_1+2)+ (\pi/2)n_2) = cos(\pi n_1+ 2\pi + (\pi/2)n_2) =  cos(\pi n_1+ (\pi/2)n_2) = X(n_1,n_2)[/tex]
tu as déjà fais la moitié du chemin... je te laisse terminer ?

Roro.

Bonsoir,

Tout (en ce qui concerne les maths, je ne regarde pas l'orthographe) me parait correct...

Roro.

Bonjour Picatshou,

Ton idée d'introduire une application et de montrer que c'est une bijection est bonne.
Mais, comme tu le soulignes à la fin de ton message, ton application n'a aucune chance d'être une bijection car ton ensemble de départ et celui d'arrivée n'ont pas la même dimension.
Je te conseille d'essayer avec cette application
[tex]f : P\in K_{2n+1}[X] \longmapsto (P(a_0),...,P(a_1),P'(a_0),...,P'(a_n))\in K^{2n+2}[/tex]

Bon courage et dis nous si tu bloques encore...

Roro.

Bonsoir,

Voici une proposition de réponse :

Pour n grand, on a
[tex] n \ln \Big( 1+ \frac{1}{n+1} \Big) = n \Big( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{2(n+1)^2} + o(\frac{1}{n^2})\Big) = \frac{1}{1+1/n} - \frac{1/n}{2(1+1/n)^2} + o(\frac{1}{n}) = 1-\frac{3}{2n} + o(\frac{1}{n}). [/tex]

Si on utilise l'autre développement que j'ai fait dans mon précédent message, on obtient
[tex]u_n = \mathrm{exp}\Big( 1+\frac{1}{2n} + \frac{1}{n}\varepsilon_1(\frac{1}{n}) \Big) - \mathrm{exp}\Big( 1-\frac{3}{2n} + \frac{1}{n}\varepsilon_2(\frac{1}{n}) \Big),[/tex]
où [tex]\varepsilon_1[/tex] et [tex]\varepsilon_2[/tex] sont deux fonctions qui tendent vers 0 en 0.

J'écris ensuite cette somme d'exponentielle de la façon suivante :
[tex]u_n = \mathrm{exp}\Big( 1-\frac{1}{2n} + \frac{1}{n}\frac{\varepsilon_1+\varepsilon_2}{2}(\frac{1}{n}) \Big)
\times \Big[\mathrm{exp}\Big( \frac{1}{n} + \frac{1}{n}\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{2}(\frac{1}{n}) \Big)
-
\mathrm{exp}\Big( -\frac{1}{n} - \frac{1}{n}\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{2}(\frac{1}{n}) \Big) \Big].[/tex]

[tex]u_n = \mathrm{exp}\Big( 1-\frac{1}{2n} + \frac{1}{n}\frac{\varepsilon_1+\varepsilon_2}{2}(\frac{1}{n}) \Big)
\times 2\mathrm{sh}\Big( \frac{1}{n} + \frac{1}{n}\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{2}(\frac{1}{n}) \Big).[/tex]

On en déduit que
[tex] u_n \sim 2\mathrm{e} \, \mathrm{sh} \Big(\frac{1}{n}\Big) \sim \frac{2\mathrm e}{n}.[/tex]

Puisque la série de terme général [tex]1/n[/tex] diverge, on en déduit que la série de terme général [tex]u_n[/tex] diverge.

Il y a peut être de multiples erreurs mais je vous laisse corriger !

Roro.

Bonjour,

Moi, je chercherai un équivalent de [tex]u_n[/tex]...

Roro.

Bonsoir,

Je pense qu'il y a une erreur dans ce que tu nous racontes : Si A est un espace vectoriel, il doit contenir 0 et donc tous ces éléments ne peuvent pas être de norme 1...

Hormis ce point, je ne comprend rien au reste !
Est ce que tu peux préciser exactement ce que tu veux ?

Roro.