Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Re-bonjour tous le monde,

Désolé de ne pas avoir répondu plutôt (ces quelques jours étaient un peu chargé, et le temps file à une vitesse... piou...)

Glozi, j'ai compris la première preuve, mais je bloque sur le lemme 1. Si j'ai une réunion d'une famille d'intervalles $(I_\alpha)_{\alpha \in A}$, je ne vois pas comment la modifier pour obtenir des intervalles deux à deux disjoints, et sinon je ne vois pas quelles propriétés utiliser pour construire ces intervalles (comme dans le cas de $\mathbb R$, où on introduit les composantes connexes). Une indication ?

Encore merci,

E.

Je t'en pris :-)

Bonjour,

Tu as surement dû voir la notion de suite de Cauchy. Elle te permet de démontrer cette propriété.

E.

Bonjour,

Je ne sais pas si c'est le plus simple, mais tu peux toujours revenir à la définition d'une application différentiable. Autrement dit, tu peux démontrer qu'une application est différentiable en tout point $(x_0, y_0)$ de $\mathbb{R}^2$ en exhibant une application affine tangente en ce point, c'est-à-dire une application affine $u$ telle que $f - u$ soit négligeable devant la fonction numérique $x \mapsto \| (x - x_0, y - y_0) \|$. Dans le context qui est ici le notre, cela signifierait qu'il existe deux réels $a, b \in \mathbb{R}$ vérifiant la relation : pour tout $r > 0$, il existe un voisinage $V$ de $(x_0, y_0)$ dans $\mathbb{R}^2$ tel que, pour tout $(x, y) \in V$, on ait
\begin{equation}
\| \cos(x) + \sin(y) - \cos(x_0) - \sin(x_0) - a(x - x_0) - b(y - y_0) \| \leq r  \| (x - x_0, y - y_0) \|
\end{equation}
résultat qui est peut être plus naturel si on écrit
\begin{equation}
\| \cos(x_0 + h) + \sin(y_0 + h') - \cos(x_0) - \sin(x_0) - ah - bh \| \leq r  \| (h, h') \|
\end{equation}
où $h = x -x _0$ et $h' = y - y_0$. La dérivabilité des fonctions $\sin$ et $\cos$ te permet alors de conclure.

E.

Bonjour Yasmina,

Si je peux te donner un conseil : observe bien une expression mathématique avant de te lancer dans tes calculs (ici, vraiment pénible). Plutôt que de recourir à des calculs fastidieux de la dérivée de $f$, il te suffit de remarquer que :
\begin{equation*}
\forall x \geq 0, \quad f_n(x) = \frac{x \sqrt{x}}{1 + nx^2} \leq \frac{x \sqrt{x}}{nx^2} = \frac{1}{n \sqrt{x}}
\end{equation*}
ce qui te permet de majorer la fonction pour $x \geq 1$. D'autre part,
\begin{equation*}
\forall 1 \geq x \geq 0, \quad f_n(x) = \frac{x \sqrt{x}}{1 + nx^2} \leq \frac{x}{1 + nx^2}
\end{equation*}
Tu n'a plus qu'à étudier le comportement entre $0$ et $1$ de la fonction $g$ bien plus agréable à l'oeil, définie par
\begin{equation*}
g(x) = \frac{x}{1 + nx^2}
\end{equation*}

E.

Merci pour vos réponses !

Une autre question survient. Pour que la topologie de l'ordre sur un ensemble totalement ordonné possède une base dénombrable, il faut et il suffit qu'il existe une partie $D$ dénombrable telle que, pour tout $x \in E$, pour tout $a, b \in E$, si $x \in ]a, b[$, alors il existe $\alpha, \beta \in D$ tels que $a \leq \alpha < x < \beta \leq b$. Dans un sens c'est immédiate, mais dans l'autre je bute.

La démonstration de Schwartz est vraiment laconique "Supposons que cette topologie soit à base dénombrable. Cela implique qu'il existe une famille dénombrable d'intervalles ouverts".
Comment peut-on démontrer que les ouverts de la base dénombrable $B$, qui a priori est quelconque, sont des intervalles ? Étant données deux bases $B_1$ et $B_2$ d'une topologie, a-t-on toujours la possibilité de trouver une partie de l'une qui est une base et de même cardinalité (la plus faible) que la deuxième ?

E.

Bonjour,

Peut-on avoir une indication que ce qu'est $N$ ?

E.

Bonjour,

L'ensemble $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ n'est pas un groupe multiplicatif. On fait donc référence à l'addition. Sinon, on précise le groupe (multiplicatif) "des inversibles".

E.

Bonjour,

Dans un groupe $G$, le sous-groupe engendré par un élément $a$ est plus petit sous-groupe le contenant : il s'agit de l'ensemble des puissances $a^k$, où $k \in \mathbb{Z}$. Je pense que tu as confondu "sous-groupes" avec "sous-groupes finis" et que, ne voyant pas apparaitre $I_2$ en multipliant la matrice, tu t'es dit qu'elle n'était pas une puissance de celle-ci, mais :
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Bien à toi,
E.

Bonjour,

Je pense que tu as voulu écrire $(A, u, v)$. La réponse est très simple : puisque deux vecteurs dirigent le plan $P$, ils sont nécessairement libre dans l'espace vectoriel. Ils forment une base de l'espace de direction et le point $A$ en est l'origine.

E

Bonjour,

Pour aider quelqu'un, il faut au moins savoir où il bloque...
Pour la première partie de la question, on a une belle indication, si $c_{kI}$ désigne l'application $A \mapsto \sum_{1 \leq i \leq n} A_{ki}$. Pour la deuxième partie, on peut remarquer qu'étant donnée une matrice $A$ de $M_{n -1}(\mathbb{R})$, il existe une unique matrice dans $V$ qui, si on lui enlève les $n$-ième colonne et ligne, correspond à $A$.

Cela étant dit, je suis un peu confus : que vient faire la notion d'espace affine ici ?

E.