Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
J'ai du mal à suivre comprendre ce qui te pose problème.

On considère une fonction $f \in L^1_{loc}$ périodique avec des discontinuités aux points $2k\pi$ et on montre que la dérivée au sens des distributions peut s'exprimer presque comme la formule des sauts. La différence étant que dans la formule des sauts, la somme $\sum_{i=0}^N s_i\delta_{x_i}$ est finie alors que pour cet exercice, cette somme semble être infinie. Le "semble" est à dessein : La notation $\sum_{i\in\mathbb{Z}} s_i\delta_{x_i}$ ne représente pas une série de distributions qui convergerait vers une distribution, mais simplement un raccourci pour indiquer une somme qui sera toujours finie mais dont les bornes de l'indice $i$ vont dépendre de la fonction test à laquelle  elle est appliquée. Si je l'applique à une fonction test dont le support est inclut dans $[-1,1]$, alors la somme ne contiendra qu'un seul terme $i=0$, et si je l'applique à une fonction test dont le support est inclut dans $[2\pi, 10\pi]$, alors la somme aura 9 termes $i=2...10$. C'est ce point qui exige que le support ne contienne qu'un nombre fini de discontinuités, de manière à toujours avoir une somme finie.

Si maintenant on considère une fonction $g \in L^1_{loc}$ qui est discontinue aux points $\frac{1}{n}$, alors la méthode déroulée ici n'est plus applicable. La dérivée de $g$ est alors simplement donnée par sa définition $\langle T'_g, \varphi\rangle := -\langle T_g, \varphi'\rangle$.

Bonjour,
Ici, l'exercice concerne la dérivé au sens des distribution d'une fonction dont les discontinuités sont périodiques et donc une expression du type $\displaystyle \sum_{k \in \mathbb{Z}} \delta_{2k\pi}$ a bien un sens.
Pour une fonction plus "sauvage" dont les discontinuités seraient aux points $\dfrac{1}{n}$, il ne sera en général pas possible d'exprimer sa dérivé au sens des distribution aussi simplement.

L'objet de l'exercice est je pense de montrer que la formule des sauts, valable pour un nombre fini de discontinuités, peut être généralisée lorsque les discontinuités sont infinies et périodiques. Elle ne peut pas être généralisée à n'importe quel ensemble de points de discontinuité.

ça n'explique toujours pas le contexte dans lequel s'inscrivent ces exercices !
Ces formules semblent tellement compliquées !

Bonsoir,
La notion de distribution fait partie des sujets avancés qui supposent un bagage mathématique solide.
Il est donc inhabituel de voir quelqu'un aborder ce sujet et galérer sur des notions de base.

Si tu prends $x \in \mathbb{R}$, alors, il existe un unique $k \in \mathbb{Z}$ tel que $2k\pi \le x < 2(k+1)\pi$ (c'est la partie entière de $\dfrac{x}{2\pi}$). En retranchant $2k\pi$ à cette inégalité, on a alors $0 \le x - 2k\pi < 2\pi$ et je pose $y=x - 2k\pi$. Donc $y \in [0,2\pi[$, je sais donc calculer $g(y)$ : $g(y)=y$.
Maintenant, $g$ est périodique, donc $g(y+2k\pi)=g(y)=y$. En remettant $x$ dans cette égalité, on trouve $g(x)=x - 2k\pi$

Bonjour,
Il n'y a pas que $g$ qui soit périodique, les questions de bib (alias tina) le sont également : voir ici, discussion quasi-identique !

Bonsoir,
Je ne suis pas un spécialiste, mais par analogie avec le cas dim=1, tu peux écrire $X'_t = AX_t + \beta$ où $X_t$ désigne le vecteur $\left(x(t), y(t), z(t)\right)^T$, $A$ une matrice $3\times 3$ et $\beta$ un vecteur non dépendant de $X_t$ ($\left(1, -e^t, 2e^t\right)$ dans ton cas).
La solution de l'équation homogène $X'_t = AX_t$ est de la forme $X_t = exp(At)$.

Voir ici pour une discussion sur l'exponentielle d'une matrice.

Merci Leon,
ça précise en effet pas mal le terrain !

Bonjour,
Je n'ai pas compris ce que veux dire :

Pourrais-tu élaborer ?

Bonjour,
A mon sens, la question est mal formulée.
Si je comprends bien, tu pose la question sur la cardinalité d'un certain ensemble, mais il faut qualifier cet ensemble.
Normalement, quand on définit un langage, on part des symboles suivants :
- connecteurs : $\wedge$, $\vee$, $\neg$, $\rightarrow$, $\leftrightarrow$
- Quantificateurs : $\forall$, $\exists$
- Une collection infinie (et dénombrable) de variables, qu'on peut noter $v_0$, $v_1$, $v_2$, ...
- Une collection infinie (et dénombrable) de constantes, qu'on peut noter $c_0$, $c_1$, $c_2$, ...
- Des fonctions prenant $m$ arguments (par exemple $Successeur(.)$ est une fonction à 1 argument dans AP)
- Des relations $n$-aires (par exemple, $x=y$ et $x \in y$ sont des relations binaires dans ZF)

Ensuite, on définit des règles permettant de construire des phrases avec ces symboles et aboutir à une théorie.
Avec ces définitions, l'ensemble des phrases qu'on peut constituer (union dénombrable d'ensembles dénombrables) est dénombrable.

Ici, dans ton exemple, la collection des constantes est non dénombrable. Ton titre suggère que tu es dans l'axiomatique de ZFC. Il me semble qu'il y a très peu de constantes pour définir ZFC.

Je viens de lire un peu un article sur les rotations en 3D. Et je pense que ce que je t'ai donné comme indication est erroné.
Il n'est pas possible de décomposer une rotation quelconque comme une rotation autour de $Oy$ suivie d'une rotation autour de $Oz$. Tu peux en fait décomposer une rotation $R$ comme un produit de $3$ rotations $R = R_z(\alpha)R_y(\beta)R_z(\gamma)$ (deux fois $z$) où $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ sont les angles d'Euler.

Bonjour,
Dans la solution de la première équation, je ne vois que le terme $x_1^2 + y_1^2$, alors qu'il devrait également y avoir le terme $x_2^2 + y_2^2$.
L'équation à résoudre est
$\frac{1}{x_1^2 + y_1^2}\begin{pmatrix} \cos\phi & \sin\phi \\ -\sin\phi & \cos\phi \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} x_1 \\ z_1 \end{pmatrix} =\frac{1}{x_2^2 + y_2^2} \begin{pmatrix} x_2 \\ z_2 \end{pmatrix}$

Bonjour
Toute suite de Cauchy est convergente dans un espace metrique complet
Ici, on demande de montrer la complétude (pour la distance donnée)
Je pense qu'il faut utiliser le fait que IR est complet avec la distance usuelle et que Cauchy avec ta distance implique Cauchy avec la distance usuelle.