Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonne nuit à tous et en particulier à Rescassol,
Grand merci pour ces nouveaux calculs qui se terminent de la meilleure manière qui soit :

Le "Re-Miracle !!" m'a bien amusé ...
Merci aussi pour avoir signalé que mon point $T$ était le point de Lemoine de $ABC$. J'avais pensé l'écrire puis totalement oublié en cours de route.
A ce sujet, une question : les notations habituelles de ce point font en général état d'un point $K$. Je me suis toujours demandé pourquoi ...
Entendons-nous bien :
J'ai  toujours considéré que les calculs  étaient nécessaires indispensables pour faire de la "belle géométrie".
Mais aussi que les constructions géométriques (règle et compas) en faisaient partie aussi.
Avec un peu d'avance, meilleurs vœux pour 2025.
Amicalement.

Bonsoir bridgslam,

C'est tout à fait faisable via par exemple des projections orthogonales sur deux plans perpendiculaires.
Autrement dit : la géométrie descriptive.
Mais en amont, il faut préciser :
- les deux demi sphères concentriques (équations dans un certain repère, centre et rayons, autres ...)
- les deux plans tangents à la demi sphère intérieure (équations, points de contact, autres ...).
Je ferai avec plaisir au minimum l'épure d'un des 5 blocs qu'il faudra choisir.
[Edit] Si les points de contacts plans/demi sphère intérieure sont sur un même grand cercle "vertical" de cette demi sphère, l'épure est très simple à réaliser.
Sinon, c'est un peu plus délicat mais toujours "faisable".

Bonjour,

Bonsoir Rescassol,
Tout d'abord merci pour tes calculs. Je n'avais aucun doute : tu justifierais la figure à ta manière.
D'abord une mini critique; je ne comprends pas ceci :

Sur la figure, la bissectrice extérieure $\delta$ et les symétriques $o$ et $o'$ sont bel et bien là (et commentés/codifiés).
C'est un point de détail sans grande importance.
J'en viens au principal où je confonds allègrement affixes et images par fainéantise :

Il y en a deux; le premier, le tien, peut s'expliquer. Je ne suis par arrivé à cette construction (règle et compas) par hasard :
je la dois à notre ami commun.
On construit les solutions de l'équation $z^2-2az+b=0$ où ici $a=\dfrac{s_1}{3}$ et $b=\dfrac{s_2}{3}$ ($a$ et $b$ sont des complexes tels que $b^2\not=a$ pour avoir des solutions distinctes).
Pour ce faire, on considère la transformation $f:\,z\mapsto \dfrac{az-b}{z-a}$
On constate que $f\circ f=Id$ et que ses points fixes sont les solutions de l'équation initiale.
$f$ est une involution appelée dans le jargon de la géométrie circulaire, une transposition circulaire.
Ses points limites objet et image sont confondus en $a$ (ici l'affixe de $G$). Il reste à construire ses points fixes ce que j'ai fait avec la figure précédente.
On a besoin d'un point et de son image. Quoi de plus simple que de choisir l'origine $O$ du repère. Son image $O'$ a pour affixe $\dfrac{b}{a}$ soit $\dfrac{s_2}{s_1}$ dans notre cas qui explique l'apparition saugrenue de $X_{110}$ facilement constructible.
Je n'insiste pas. Ce sujet à lui seul mériterait un nouveau fil. J'hésite ...
Le second Miracle et pas le moindre : je pense avoir compris ton code !
Amicalement.
P.S. Dans le cas général il est très simple de construire le point d'affixe $\dfrac{b}{a}$ (image de l'origine du repère) lorsque $a$ et $b$ sont donnés via le point $I$ d'affixe $1$ et des triangles semblables.

Bonjour à tous,
Les constructions des foyers de l'ellipse de Steiner inscrite d'un triangle $ABC$ donné sont souvent basées sur le fait que ces foyers sont isogonaux de milieu $G$ centre de gravité du triangle.
En voici une autre, relativement simple, qui part de l'équation du second degré déjà mentionnée $3z^2-2s_1z+s_2=0$ où $s_1=a+b+c$,  $s_2=ab+bc+ca$ et $O$ centre du cercle circonscrit est l'origine du repère orthonormé utilisé dans le plan complexe.
Je ne pense pas qu'il soit encore utile de "cacher".

$O$ est le centre du cercle circonscrit et $G$ le centre de gravité.
Les symétriques de la droite d'Euler par rapport aux côtés du triangle $ABC$ sont concourantes en $O'$ (à l'intention de Rescassol s'il repasse par ici, ils s'agit de $X(110)$ dans l'ETC).
Les droites $\Delta$ et $\delta$ sont les bissectrices intérieure et extérieure de l'angle $(\overrightarrow{GO},\overrightarrow{GO'})$
Le reste se lit aisément sur la figure.
Bien sûr, tout est à justifier ...

Bonjour Rescassol et merci pour ton intervention.

Je connaissais ce théorème de Marden. Que ce soit avec lui ou avec ce que j'ai écrit, on aboutit à la même équation du second degré. Avec tes notations habituelles (en conservant les "primes" pour être cohérent) :
$$3z^2-2s'_1z+s'_2=0$$
Mais je dois bien avouer que je ne sais plus très bien où est l’œuf et où est la poule ...

Ça, je découvre et je vais y regarder de près ...
Il reste que je dois choisir parmi les multiples constructions des foyers de l'ellipse de Steiner inscrite dans un triangle donné.
J'ai la mienne un peu "obscure" qui n'est peut-être pas la meilleure.
Évidemment je n'invente rien : je dois ce que j'écris ici à un ami commun qui se fait rare en ce moment.

Re bonjour,

Exact. C'est pourquoi j'avais édité mon précédent message pour ajouter un "s" à solution. C'est en soi une indication (minuscule, j'en conviens).

Bonjour Bernard-maths,
Finalement tu es parvenu à tes fins : bravo! C'est à toi et à toi seul que tu le dois.
Une petite critique qui n'enlève rien à ton mérite :
Tu t'es substitué à Maple au prix de complications (introduction d'angles de rotation, autres ...). La fin justifie les moyens me diras-tu.
Néanmoins, les seules données des équations implicites sphère/octaèdre déterminent complétement ta dernière figure.
En ce sens, il est certain qu'une utilisation ad hoc de commandes Maple relatives à ces deux équations permet de la réaliser.
Comme déjà dit, je ne suis pas un spécialiste : en clair, je ne sais pas faire. Je n'avais d'ailleurs pas trop insisté ...
Encore une fois, bravo ! Ton opiniâtreté a payé.

Bonjour à tous,
Ce fil a inspiré "ailleurs" quelqu'un aujourd'hui même. A cette occasion, il y a eu "déterrage" où un découpage meilleur que le mien est réapparu :

Il y a de nombreux découpages possibles !

Bonjour,
Un petit complément :

Bonsoir à tous,
Nous sommes donc sur un fil relatif au "théorème de Pythagore".
Je ne fais pas partie du "sérail". Mais il me semble que cette notion est vue au collège.
Il me semble aussi qu'aucune démonstration sérieuse n'est proposée dans un cours à ce niveau.
De mon point de vue, c'est lamentable. Il ne faut pas s'étonner que l'enseignement des maths parte à vau l'eau dans notre bonne république.
On fait des maths ou on enfile des perles ?
Désormais, certains parlent (par dérision et à juste raison!) de l'"axiome de Pythagore" mais aussi de l'"axiome de Thalès" pas plus démontré au collège.
L'ami Borassus semble cautionner cet état des lieux.
Désolant.

Bonne nuit à tous,

C'est ce qui fait tout l'intérêt de ce logiciel où on peut "tout faire".

Évidemment, j'attends avant de réagir.
P.S. Comme déjà dit, je ne suis pas un "pro" et j'ai découvert en même temps que toi la commande "impliitplot3d"de Maple.
J'ai pris la peine de la décortiquer très superficiellement. pour t'apporter des réponses ad hoc.
Rien d'insurmontable ...