Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Il me paraît difficile de maintenir ce type de numération dès lors qu'intervient le reste d'une division euclidienne: la première tranche est caractérisée par l'indice (0).

J'ai fait à ce sujet un lapsus, et les relations données concernaient en fait les indices:

Tx: i' = (i + 1) MOD 3 ; j' = j ; k' = k ;
Ty: i' = i ; j' = (j+ 1) MOD 3 ; k' = k ;
Tz: i' = i ; j' = j ; k' = (k + 1) MOD 3 ;

mais tu as cependant bien vu de quoi il retournait.

Je crois que l'énoncé, tel qu'il a été donné jusqu'à présent, n'impose aucune contrainte sur le choix des couleurs; la couleur imposée au grand cube réapparaît après 3 groupes d'opérations (Tx, Ty, Tz):

(Couleur apparue)_n = (Couleur imposée)_n-3 .

Désolé pour l'indigence de cette notation.

Bonjour Bernard-maths,

Une amorce de solution consiste à caractériser chacun des petits cubes d'arête (a) par trois indices (i, j, k) appartenant au domaine [0 ; 2] ; le centre de chacun d'entre eux admet ainsi pour coordonnées:

x = (i + 1/2)*a ; y = (j + 1/2)*a ; z = (k + 1/2)*a .

La translation des tranches (parallèlement à l'un des axes) accompagnée d'une permutation circulaire est représentée par l'un des changements de coordonnées:

Tx: x' = (x + 1) MOD 3 ; y' = y ; z' = z ;
Ty: x' = x ; y' = (y + 1) MOD 3 ; z' = z ;
Tz: x' = x ; y' = y ; z' = (z + 1) MOD 3 .

Il faut enfin mettre en mémoire les couleurs des six faces de chacun des cubes élémentaires par un tableau de six variables bivaluées, en prenant pas ex.

o (ou false) pour le blanc, 1 (ou true) pour le rouge .

et en faisant intervenir un tableau tridimensionnel du type

ARRAY[0..2, 0..2] OF ARRAY[1..6] OF ... etc.

Mais c'est peut-être aller chercher très loin ce qui est à portée de main (j'ai le don des complications inutiles);
la translation des tranches parallèlement à l'axe (x'x)
- découvre la face blanche (d'abscisse x = x_c + a/2) des cubes de la seconde tranche, qui vient en troisième position;
- occulte la face rouge des cubes de la troisième, ramenée en première position; la face externe est alors la blanche, d'abscisse x = x_c - a/2 .

Le résultat est donc de blanchir les deux faces du grand cube normales à (x'x), d'abscisses (0) ou (3*a), et elles seules.

Effet semblable pour les deux autres opérations, qui ne concernent que les deux autres paires de faces parallèles.

On obtiendra un grand cube entièrement blanc, quel que soit l'ordre des trois opérations.

Il faut que je retourne au jardin.

Bonsoir,

Dans chaque séquence à nombre donné de chiffres (100...999, 1000...9999, 10000...99999 etc) on retrouve les valeurs de la séquence précédente multipliées par 10, ainsi que de nouvelles valeurs

Figurent dans les 3 colonnes les valeurs des entiers (V, W) ainsi que celle du rapport m = V/36 = W/27 .

Le nombre de solutions augment rapidement: dans le cas de 6 chiffres, il y en a 394 (non données ici).

Bonjour,

Le sujet a éveillé ma curiosité.

Si l'on considère les deux entiers comportant trois chiffres en écriture décimale

V = <abc> = 100*a + <bc> (avec 0 < a < 10) ,
W = <def> = 100*d + <ef> (avec 0 <= d < 10) ,

et vérifiant de plus 4W = 3V , alors (V) est effectivement divisible par (4) et vérifie la relation:

<bc> = 4*k (avec cette fois 0 < k< 25) .

Les éventuelles solutions résultent de la double énumération (en Basic)

avec pour filtre la présence des mêmes chiffres dans les chaînes de caractères (<abc>, <def>).

Cette condition peut être remplacée par
a) l'identité des sommes des chiffres: S = a + b + c , T = d + e + f , et
b) le fait de retrouver le chiffre des centaines de (W) au niveau du second ou troisième rang de l'autre entier,
soit finalement: (S = T) ET ((d = b) OU (d=c)) .
La stricte équivalence n'est pas établie, mais le second critère est suffisamment restrictif pour permettre une bonne sélection des doublets (V, W).

On retrouve la liste déjà donnée par Roro

On peut remarquer
- que <bc> est multiple de 8 , et
- que (d) correspond systématiquement au chiffre des dizaines (b) du premier entier (V).

Bonjour,

Je crois me rappeler que Surfer est historiquement dérivé de Kd3-Surf.

Je viens de me connecter au site, qui semble s'être beaucoup rénové. À revoir, donc.
https://www.imaginary.org/

Mathmod, que je découvre, paraît très prometteur.

@Bernard-maths: là, je suis épaté - mais je n'ai malheureusement pas le temps de poursuivre.

Bonjour,

Assad Fayçal a effectivement résolu le problème; un calcul littéral eût cependant permis, en faisant apparaître un paramètre de forme, de répondre clairement à la question d'Alberto .

Le triangle (ABC) rectangle en (C) présente deux angles aigus complémentaires: α + β = π/2 .

On peut reprendre la relation de Pythagore: c² = a² + b² ,
ainsi que les expressions de la hauteur abaissée sur l'hypoténuse:  h = b.Sin(α) = a.Cos(α)
et celle du périmètre: p = a + b + c .

On obtient dans ces conditions: h = c.Sin(α)Cos(α) et p.Sin(α)Cos(α) = h(1 + Sin(α) + Cos(α)) ,
cette dernière relation se simplifiant par le changement de variable: α = θ - π/4
car on obtient alors: h/p = (2.Sin²(θ) - 1)/2(1 + √(2).Sin(θ))
soit finalement: Sin(θ) = (1 + 2h/p)/√(2) .

Les angles (θ, α = θ - π/4 , β = 3π/4 - θ) dépendent bien des deux distances (h) et (p).

Bonjour,

Le calcul de la longueur de toute portion de courbe part de l'intégrale L = ∫_A^Bdl .

Il n'est écrit nulle part que dans le cas d'une figure "élémentaire" (encore faudrait-il préciser le sens de ce terme), le calcul conduise à un résultat "élémentaire", s'exprimant à l'aide de quelques fonctions "simples" (sous-entendu: dont l'étude est abordée au lycée).

On a dans le cas d'une courbe admettant une équation cartésienne explicite y = F(x) :

dl² = dx² + dy² = dx²(1 + F'(x)²) d'où : L = ∫_A^B(1 + F'(x)²)^1/2dx .

Pour une courbe définie pas deux équations paramétriques: x = u(t) , y = v(t) on est conduit pareillement à l'expression:

L = ∫_A^B(u'(t)² + v'(t)²)^1/2dt .

Si l'on s'en tient aux graphes des fonctions explicites d'équation y = F(x), à l'exception de la droite (y = a.x) et de la chaînette (y = a.Ch(x/a)) le résultat n'est pas simple.

Voilà une information intéressante, qui incite à la vigilance au sujet de la qualité de sites consultés.

Rien, sinon l'image par elle-même ... Le sujet initial conduit à des ensembles de points propices à la construction de diagrammes de Voronoï.

Il faudrait reprendre la coloration aléatoire des cellules.

Bonjour,

Par curiosité, j'ai regardé ce que l'on obtenait dans le cas de deux polygones convexes à 12 sommets, l'un réguler, l'autre dont les sommets successifs se répartissent aléatoirement sur un cercle de même rayon et de telle sorte que le rapport de deux angles au centre

θi = (OA_i, OA_i+1)

ne dépasse jamais un seuil donné: θ_max/θ_min ≤ 4 .
Et sur la lancée, ce qu'il résultait du pavage du plan en cellules adjacentes, construites sur l'ensemble des intersections des diagonales intérieures au polygone, et de ses (N) sommets.

jpp avait donné deux réponses (#4 , #6) dès le début de la discussion.
https://www.bibmath.net/forums/viewtopi … 331#p97331

Et même deux fois plus ... le dernier décompte ne concernait que les points extérieurs.

À priori, autant que de paires de sommets, soit N(N - 1)/2 , parmi lesquels les (N) côtés du polygone et N(N - 3)/2 diagonales.

Pour les nombres des divers points d'intersection, d'autres sont mieux armés que moi pour répondre.

Bonne fin de soirée, W.

PS: il n'est pas interdit de consulter l'Encyclopédie en Ligne des Suites Entières:
https://oeis.org/A000096
https://oeis.org/A212343
https://oeis.org/A117662

Bonjour,

Les points d'intersection intérieurs et extérieurs des diagonales (i, j) et (k, l) ne diffèrent que par l'ordre mutuel des indices de ces dernières: en convenant de prendre:

Min(i, j, k, l) = i > 0; Max(i, j, k, l) ≤ N ; k < l ,

il se présente 3 possibilités:
a) i < j < k < l : points situés à l'extérieur du polygone;
b) i < k < j < l:  points situés à l'intérieur;
c) i < k < l < j : points située à l'extérieur,
3 cas à chacun desquels correspond une énumération particulière.

Donc en perspective deux autres programmes amusants.

Cordialement, W

PS: programmes qui, testés jusqu'à 20 et sauf erreur de programmation, conduisent aux mêmes résultats.
Tout se ramène en fait au dénombrement des combinaisons de quatre indices vérifiant (i, a, b, c) vérifiant:

0 < i < a < b < c ≤ N .

Le problème n'est pas pour autant résolu, car les contraintes sont insuffisantes et ne distinguent pas les diagonales des arêtes:  (j - i = 1 ou N-1) et/ou (l - k = 1 ou N-1).