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Bonsoir Zakariyae,

Je ne vois pas trop comment tu pourrais transporter ne serait-ce qu'une propriété de linéarité si ta fonction f n'est pas elle-même linéaire ?

Roro.

Bonsoir,

Le commentaire que j'ai fait (post #3) n'était pas adressé à Legendre mais était une réponse au message de Freddy.
Bon, j'ai quand même compris le message et je vais donner une réponse à la troisième question :

Je note [tex]N(a)[/tex] le nombre de solution dans [tex]Z_p[/tex] à l'équation [tex]x^2=a[/tex].
Pour simplifier, j'introduit aussi le symbole de Legendre, sic! (qui est à peu près la même chose que [tex]N[/tex]) :
Je note [tex](\frac{a}{p})=0[/tex] si [tex]a=0~[p][/tex], [tex](\frac{a}{p})=1[/tex] si [tex]a\neq 0[/tex] est un carré modulo [tex]p[/tex], [tex](\frac{a}{p})=-1[/tex] sinon.
Il est à peu près clair que [tex]N(a) = 1 + (\frac{a}{p})[/tex].

Le cardinal [tex]s[/tex] de l'ensemble [tex]S[/tex] (question 3) de Legendre peut s'écrire
[tex]s = \sum_{a,b \in Z_p\, ;\, a+b=1} N(a)N(b) = \sum_{a \in Z_p} N(a)N(1-a).[/tex]
En utilisant le symbole de Legendre :
[tex]s = \sum_{a \in Z_p} ( 1 + (\frac{a}{p}) ) ( 1 + (\frac{1-a}{p}) ).[/tex]
On peut utiliser alors les résultats suivants
[tex]\sum_{a \in Z_p} 1 = p[/tex] (cardinal de [tex]Z_p[/tex])
[tex]\sum_{a \in Z_p} (\frac{a}{p}) = 0[/tex] (autant de carrés que de non carrés dans [tex]Z^p[/tex], sans compter [tex]0[/tex]...)
et enfin, pour [tex]a\neq 0[/tex]
[tex](\frac{a}{p}) (\frac{1-a}{p}) = (\frac{a}{p})^{-1} (\frac{1-a}{p}) = (\frac{a^{-1}-1}{p})[/tex] (multiplicativité du symbole de Legendre, facile à montrer)
pour en déduire
[tex]s = p + \sum_{a \in Z_p^\star} (\frac{a^{-1}-1}{p}).[/tex]
Puisque [tex]a \mapsto a^{-1}-1[/tex] est une bijection de [tex]Z_p^\star[/tex] sur [tex]Z_p\setminus \{-1\}[/tex], on obtient finalement
[tex]s = p - (\frac{-1}{p}).[/tex]
D'après la question 2, on sait que [tex](\frac{-1}{p}) = (-1)^{\frac{p-1}{2}}[/tex] d'où
[tex]s = p - (-1)^{\frac{p-1}{2}}[/tex].

Roro.

P.S. Il doit y avoir une solution plus directe !!!

Bonsoir,

Je ne comprend pas !
Tu nous donnes un énoncé mais pas les questions intermédiaires... histoire de voir si on sait faire ? (je te rassure il y a déjà plein de problèmes de maths que je ne sais pas résoudre). Surtout ne nous dis pas ce que tu as essayé...

Tu trouveras les réponses à tes questions dans n'importe quel ouvrage de base sur les espaces de Hilbert (ou même en réfléchissant un peu car c'est un exercice d'initiation pour savoir si on a compris les définitions).

Bonne soirée,
Roro.

Bonsoir,

Je te donnerais la réponse suivante (peut-être que d'autres me contrediront, mais c'est l'idée que je m'en fais) :
Les d droits sont utilisés pour dériver une fonction d'une seule variable (en gros comme la notation ' ), les d ronds pour dériver les fonctions de plusieurs variables. Un exemple

[tex]\frac{d}{dt} \Big[ f(2t+3,t-1) \Big] = 2 \frac{\partial f}{\partial x_1}(2t+3,t-1) + \frac{\partial f}{\partial x_2}(2t+3,t-1)
[/tex]

Roro.

Bonsoir,

Je pense qu'on doit pouvoir t'aider. Il faut avant cela que tu précises ta question : sur quel ensemble veux-tu montrer que [tex]\ln[/tex] est lipschitzienne ?

Roro.

P.S. En pratique, le plus simple pour montrer qu'une fonction est lipchitzienne est de montrer que sa dérivée (lorsqu'elle est dérivable...) est bornée.

Bonjour,

Est ce que tu as réfléchi à ce que tu as écris ?

En gros tu demandes si tu peux déduire quelque chose de [tex]2\geq -3[/tex]...
Je précise ce que je veux dire : pour toutes les fonctions positives, et pour tous les couples [tex](x_1,x_2)[/tex] tu auras [tex]f(x_1)\geq -f(x_2)[/tex].

Roro.

Je suis d'accord pur la question c).

Roro.

Re-bonsoir,

Non !

Je ne vais pas te faire un corrigé de ton exercice pour que tu le recopies tel quel !
Surtout qu'il n'y a quasiment plus rien à faire. Si tu as bien compris alors tu verras que c'est terminé...

Roro.

Bonsoir,

OK. J'imagine que tu as donc vérifié que ta solution était la bonne (modulo la faute de frappe [tex]g(x,t) = g(t+x)[/tex]).

Pour la suite, tu peux te rendre compte que ta solution [tex]u(x,t)[/tex] est bien définie tant que le dénominateur ne s'annule pas.
Il faut donc utiliser les informations que tu as sur la fonction [tex]g[/tex] pour essayer de savoir si [tex]1-tg(x+t)[/tex] va s'annuler...

Roro.

Bonjour,

On peut t'aider si tu nous dis ce que tu as fait et ou est-ce que tu bloques...

Roro.

Bonjour,

Dans ce cas, il est clair que la réponse est non. Le contre-exemple le plus simple est de prendre [tex]u=0[/tex] et [tex]\delta =1[/tex].
On aura alors bien [tex]u\in H^1_0[/tex] mais [tex](u-\delta)^-=(-1)^-=-1\notin H^1_0[/tex].

Roro.

Bonsoir,

Oui.

Roro.