Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir MONTANERA,

Je ne sais pas dans quel cadre est posé cet exercice mais il ne me parait pas classique !
Voici comment je procèderai :

Etape 1 : je cherche une solution particulière, en tâtonnant je pense que tu en trouveras une sous la forme d'un polynôme (de degré 2)

Etape 2 : je montre que le problème admet une seule solution (par exemple en regardant le système que vérifie f(x) et f(1-x)... je te laisse réfléchir à ça).

Roro.

Bonjour,

Est ce que tu as essayé de regarder les propriétés de la fonction [tex]\Gamma[/tex] ?
En deux secondes, tu vas sur Wikipédia et tu remarques la formule de duplication suivante :

[tex] \Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z).[/tex]

Tu devrais pouvoir simplifier ton calcul.
Enfin, simplifier, je ne suis pas très sur, ça dépend ce que tu veux en faire ensuite. La formule donnée ici pourra te permettre d'écrire ton nombre avec des factoriels.

Roro.

Bonjour Mouhcine,

Puisque tous les nombres qui apparaissent sont des entiers pairs, tu peux toujours mettre 2  en facteur :

[tex]2 \times 4 \times 6 \times 8 \times 10 \times 12 = 2^6 \times (1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6) = 2^6 \times 6!
[/tex]

Roro.

Bonsoir,

Question naïve : comment tu "extrais" la racine carrée de 2 ?, et la racine cubique de 2 ?
Parce que je serai tenté de répondre à ta question en disant que pour extraire la racine n-ième de 12,43, tu fais le quotient entre la racine n-ième de 1243 et la racine n-ième de 1000...

Roro.

Bonjour,

Je ne comprend pas bien la question, il est donc probable que je réponde complètement à coté !

Il est possible de ré-écrire la quantité [tex]ax^2+bx+c[/tex] d'une façon un peu différente, faisant apparaitre les deux valeurs dont tu parles. L'idée est de faire apparaitre l'identité [tex](u+v)^2=u^2+2uv+v^2[/tex]. Je détaille :

1- Tu mets [tex]a[/tex] en facteur : [tex]a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)[/tex]

2- Tu fais apparaitre le début d'un "carré parfait" :  [tex]a\left( (x+\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a} - (\frac{b}{2a})^2 \right)[/tex]

3- Voici l'égalité obtenue qui te permet d'y voir peut être plus clair : [tex]ax^2+bx+c = a\left( (x+\frac{b}{2a})^2  - \frac{b^2-4ac}{4a^2} \right)[/tex]

Roro.

Bonsoir samo12,

Je ferais comme ça :
Je note [tex]H[/tex] l'ensemble des hypothèses [tex]H : 0 \leq a_i-b_i <1 \text{ et } 0\leq a_i,b_i \leq 1, ~ i \in \{1,2\}[/tex].

Etape 1
[tex]H \Longrightarrow 0 \leq b_1 \leq a_1 \text{ et } 0 \leq b_2 \leq a_2 \Longrightarrow b_1 b_2 \leq a_1 a_2 \Longrightarrow 0 \leq a_1 a_2 - b_1 b_2
[/tex]

Etape 2
[tex]H \Longrightarrow a_1 a_2 \leq 1 \text{ et } b_1 b_2 \geq 0 \text{ (les deux cas d'égalité ne pouvant arriver en même temps)} \Longrightarrow a_1 a_2 - b_1 b_2 < 1[/tex]

Roro.

Bonsoir,

Je trouve environ 9.6 cm... j'ai fait des calculs rapidement donc le résultat numérique est peut être complètement faux !
La méthode que j'ai suivie utilise essentiellement les racines d'un polynôme de degré 2.

Roro.

Bonjour,

Je vais essayer de te guider un peu en te donnant des questions intermédiaires :

Quel est le poids de châtaigne dans le gâteau ?

Quel est le poids de cerises dans le gâteau ?

Quel est le poids de fruit dans le gâteau ?

Quel est le poids du gâteau ?

Conclusion ?

Dis-nous ce que tu sais (ou ne sais pas) faire...
Roro.

Bonsoir htina,

C'est un peu dommage qu'il faille trouver l'énoncer avant de pouvoir répondre...

Ceci étant dit c'est donc beaucoup plus simple car il suffit juste de remarquer que v(x,0)=0, et que tu as donc une somme de termes positifs qui est nulle.

Roro.

Bonsoir htina,

Il me semble que c'est faux. Par exemple en prenant (à vérifier) [tex]v(x,t)=\mathrm e^{-t}[/tex].

Roro.

Bonjour,

Peut-être peux-tu jeter un oeil sur un cours concernant les séries ?
En écrivant la définition de convergence normale et convergence uniforme, il est à peu près immédiat que l'un entraine l'autre !

Roro.

Je n'ai pas démontré qu'il existait une solution non nulle. J'ai juste dis : si il en existe une alors il en existe une infinité...

Roro.