Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

Effectivement, ma question revient au même que de déterminer combien il est possible de mettre de boules de rayon 1/2 à l'intérieur d'une couronne de rayons (1/2, 5/2). Ce qui ne fait pas vraiment avancer le schmilblick puisque la méthode que tu proposes en faisant le quotient des volumes dans ce cas fournit le majorant 24 dans le cas de la dimension 2...

Après réflexions, en dimension 2, j'ai cru que je ne pouvais ranger que 12 billes dans la couronne. Maintenant je pense plutôt pouvoir en ranger 18.

Si d'autres ont des idées !

Roro.

En encadrant [tex]\sqrt{n^2+n+1}[/tex] entre deux entiers consécutifs.

Roro.

P.S. Bonjour !

Bonsoir,

L'ensemble des formes linéaires c'est effectivement ce qu'on appelle le dual (algébrique). C'est assez classique comme définition !
Si tu veux des exemples, il suffit de fouiller un peu sur le web (par exemple sur wikipedia)...

Roro.

Bonjour,

Je n'ai pas lu en détail mais la dernière ligne ressemble à la limite d'une suite de la forme [tex]n\lambda^n[/tex] avec [tex]|\lambda|<1[/tex]. Elle tend donc vers 0 (comparaison croissance polynomiale-exponentielle).
Ensuite, il faut effectivement savoir si la suite converge uniformément ou pas vers 0...

Roro.

Bonjour dike,

Avant de commencer à essayer de calculer la solution, il faudrait t'assurer qu'il en existe une (et une seule ?).

Roro.

Bonsoir,

Je suis d'accord avec ta fonction F (il y a des erreurs de signes entre les différents posts, mais l'idée est la bonne...)
Avec les conditions initiales x(0)=y(0)=0, il est clair que ton problème est assez mal défini !

Ce type d'équation provient certainement d'une modélisation "physique" dans laquelle on ne doit pas avoir x(0)=y(0)...

Bref, si tu regardes le cas que tu suggères (x(0=-y(0)=epsilon>0) alors tu peux effectivement appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz en disant tout simplement que F est de classe [tex]\mathcal C^1[/tex] au voisinage du point initial (F sera donc localement lipschitzienne en ce point).

Roro.

P.S. Le nombre de fautes d'orthographe dans tes posts n'incitent pas à te répondre. Essaye d'y faire un peu plus attention car pour bien se faire comprendre quand on fait des maths, il faut aussi bien maitriser l'écriture !

Bonjour,

Tu as donc [tex]u'=\pm \sqrt{a/u+b}[/tex] où a et b sont deux constantes. C'est une équation à variables séparées dont tu peux obtenir les solutions en trouvant les primitives de [tex]x \mapsto 1/\sqrt{a/x+b}[/tex].

Roro.

Re,

J'avais répondu cela car si tu as une solution (x,y) alors x" et y" sont proportionnels. Tu peux donc en déduire une relation entre x et y, puis obtenir une équation différentielle sur x uniquement. Mais dans le cas général, cette équation ne me semble pas avoir de solution explicite.

Roro.

Bonjour dike,

Le plus simple est d'utiliser une formule classique pour approcher la dérivée première : [tex]f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}[/tex] (dont on peut montrer que c'est une relativement bonne approximation lorsque h est petit, en utilisant par exemple une formule de Taylor).
Tu peux ainsi trouver une approximation de [tex]\frac{\partial a}{\partial x\partial y}[/tex] est écrivant \frac{\partial a}{\partial x\partial y} = \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial a}{\partial y} et en itérant deux fois la formule précédente.

Une autre possibilité est de voir ta dérivée seconde comme un laplacien dans d'autres coordonnées (du style [tex]u=x+y[/tex], [tex]v=x-y[/tex] - je n'ai pas vérifié). Dans ce cas tu peux utiliser directement la formule que tu évoques pour les dérivées secondes.

Mais dans tous les cas, il te faudra plus de points que seulement [tex]a(x,y)[/tex], [tex]a(x+dx,y+dy)[/tex] et [tex]a(x-dx,y-dy)[/tex].

Roro.

Re,

J'ai l'impression que tu confonds la dérivée partielle [tex]\frac{\partial a}{\partial x}[/tex] avec un quotient [tex]da[/tex] divisé par [tex]dx[/tex], ce qui n'est pas le cas.
C'est comme si tu disais que pour une fonction d'une variable on a [tex]f'(x) = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/tex]. Sauf que l'égalité est rarement vraie (en général le terme de droite dépend de h !).

De plus dans ton dernier exemple le cas est beaucoup plus simple que dans ton premier exemple puisque ton tenseur est d'ordre 2, et qu'il est symétrique. Néanmoins, connaitre la divergence ne suffit pas pour connaitre toutes les dérivées partielles (c'est ce qu'il faudrait pour approcher T(x+dx,y+dy) en fonction de T(x,y) à l'ordre 1).

Concernant ta dernière remarque, elle rejoint la première : par définition 
[tex]\frac{\partial a}{\partial x}(x,y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.[/tex]
Ainsi, sur l'axe [tex](Oy)[/tex], il suffit de remplacer [tex]x[/tex] par [tex]0[/tex]. D'un point de vue géométrique, ça correspond à l'accroissement de [tex]a[/tex] lorsqu'on traverse l'axe [tex](Oy)[/tex] dans le sens de l'axe [tex](Ox)[/tex].

Roro.

Bonjour abdesssamad5555,

Qu'as-tu essayé pour l'instant ?
En te rappelant que [tex]\mathrm{arg}(1/z)=-\mathrm{arg}(z)[/tex] ça devrait déjà te simplifier le travail...

Roro.