Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

1. Tu as donc $12n = 2^2 \times 3 \times 2^a \times 3^b = 2^{a + 2} \times 3^{b+1}$. Si tu notes $d$ le nombre de diviseurs de $12n$, tu dois donc résoudre $d = 2(a + 1)(b +1)$. Reste à déterminer $d$...

2. Il te suffit simplement de tester les valeurs $(a, b)$ pour obtenir $b(a - 1) = 4$, sachant que $4 = 2^2$, donc que tu connaîs les diviseurs de $4$.

Bon courrage !

E.

Bonjour,

On peut généraliser à toute loi, pas forcémement celle d'un groupe. L'unicité d'un élément neutre pour une loi est une conséquence de sa définition. D'après Bourbaki :

Aussitôt : si $e'$ est un deuxième élément neutre pour $T$, on a $eTe' = e$ et $eTe' = e'$, donc $e = e'$.

E.

Bonjour,

La question est imprécise : un groupe simple n'est pas forcément d'ordre premier. Je pense qu'il est question ici de groupes cycliques. Dans ce cas, tu peux considérer directement un groupe de la forme $\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}$ et déterminer le lien qu'il existe entre les diviseurs $> 0$ de $n$ et les sous-groupes de $\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}$. Indice : cela repose sur la forme des sous-groupes de $\mathbb{Z}$.

E.

Bonjour,

Le premier point est parfaitement démontré. Pour le second, je suis aussi d'accord. Je pense que c'est simplement ce qui est demandé, tu dois pouvoir d'arrêter là.

E.

Bonjour,

Il s'agit d'un résultat général de la théorie des anneaux : l'image d'un idéal d'un anneau $K$ par un homomorphisme d'anneaux surjectif $f \colon K \longrightarrow L$ est un idéal de $L$. Cela se vérifie facilement ; pour t'aider, commence par démontrer qu'il s'agit toujours d'un idéal du sous anneau $f(K)$ de $L$.

Je ne comprend pas bien le PS. La projection de $A \times B$ est à valeurs dans $A$. S'il s'agit d'une faute de frappe et que tu voulais écrire $A$, la réponse est oui. Tu peux noter $p_A \colon (x, y) \longmapsto x$ la projection sur $A$.

E.

Bonjour à tous,

Plus généralement, un espace affine $A$ sur $\mathbb{R}$ est un ensemble sur lequel agit fidèlement et transitivement le groupe additif d'un espace vectoriel réel $E$ qu'on appelle espace de direction (on peut alors vérifier qu'on retrouve les propriétés ennoncés d'existence et d'unicité d'un translaté).

Dans ce contexte, plutôt que d'employer la notation multiplicative $g.x$ pour désigner le transformé de $x \in A$ par $g \in E$, on utilise la notation additive $x + g$, mais il ne s'agit pas d'une addition entre deux éléments de $A$.

Dans le cas présenté, la loi d'action est l'application $f \colon \mathbb{R} \times A \longrightarrow A$, $(x, u) \longmapsto (x + u_1, u_2)$. On peut vérifier sans trop de difficultés qu'on a bien un espace affine dont la direction est $\mathbb{R}$. P

Pour bien faire la distinction avec une autre loi d'action, on va noter multiplicativement l'image du couple $(x, u)$ par $f$. Comme le fait remarquer Fred, pour tout $x \in \mathbb{R}, u \in A$,

$$ x . u = (u_1, u_2) + (x, 0)$$

où l'addition désigne ici l'addition usuelle de $\mathbb{R}^2$ (d'où l'importance de bien distinguer les opérations). Cela suggère la possibilité de définir une action de l'espace vectoriel $D = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = 0 \}$ (qui est donc $\mathbb{R} \times \{ 0 \}$ muni des lois internes et externes usuelles) sur $A$ grâce à la loi d'action $D \times A \longrightarrow A$, $(v, u) \longmapsto u + v$.

En fait, comme l'application $\imath \colon x \longmapsto (x, 0)$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels tels que, pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $u \in A$, on ait $x . u = u + \imath(x)$, on se trouve finalement avec les mêmes translations. La seule différence est que, l'ensemble $A$, muni de l'action de $D$ sur $A$, est un sous-espace affine de l'espace affine $\mathbb{R}^2$, car $D$ est un sous-espace vectoriel $\mathbb{R}^2$. Par contre, $A$, muni de l'action de $\mathbb{R}$ sur $A$, n'est pas un sous-espace affine de $\mathbb{R}^2$.

E.

Bonjours à tous,

Je suis du même avis que Bridgslam. La limite de $f$ au point $(x_0, 0)$ est $x_0$, puisque $\lim_{y \rightarrow 0} \frac{sin(y)}{y} = 1$ et $\lim_{x \rightarrow x_0} x = x_0$, la conclusion provenant de la continuité du produit $(x, y) \mapsto xy$ de $\mathbb{R}$. D'ailleurs, si on pose, pour $y = 0$, $f(x, y) = x$, on se retrouve avec une fonction différentiable en tout point de $\mathbb{R}^2$ et dont la différentielle est continue.

Ton raisonnement ne cloche pas. Tu retrouve bien $\frac{\partial f}{\partial x} (x, 0) = 1$ si on suppose $f(x, 0) = x$.

En revanche, Bridgslam, tu as confondu les "directions". On a $\frac{\partial f}{\partial x} (x, y) = \frac{sin(y)}{y}$ si $y \neq 0$. L'application partielle $y \mapsto f(0, y)$ est effectivement nulle, mais $\frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = x \left (\partial ( \frac{sin(y)}{y} ) / \partial y \right)$

E.

Bonjour,

Un corps peut ne pas être commutatif. Il n'y a donc pas de problème, en toute généralité, à ne pas préciser que l'extension est commutative. Si $Q$ désigne les nombres rationnels, le fait qu'une extension quadratique $\mathbb{Q}[\sqrt{q}]$ soit commutative vient du fait que $\mathbb{Q}$ est un corps commutatif. Après, si on dispose d'une injection $j$ d'un anneau $A$ dans un anneau $B$ telle que $Im j$ soit un sous-anneau commutatif, on a effectivement la commutativité de $A$.

E.

Oui, en reprenant la définition d'un ensemble qui n'est pas connexe.

Il y a un problème. L'ensemble $\{ (x, \sin 1/x) \mid x \geq 0 \}$ n'est pas bien définie : que se passe-t-il pour $x = 0$ ?

On va noter $X_1$ l'ensemble $\{ (x, \sin 1/x) \mid x > 0 \}$. Déjà, si $(x, y) \in ]- \infty, 0[ \times \mathbb{R}$, il n'est pas adhérent à $X_1$, puisque $]- \infty, 0[ \times \mathbb{R} \cap X_1 = \emptyset$. Cela nous conduit à étudier $[0, +\infty[ \times \mathbb{R}$, qu'on peut éventuellement séparer en $\{ 0 \} \times \mathbb{R}$ et $] 0, + \infty [ \times \mathbb{R}$. Finalement tout revient à démontrer que chaque point de $\{ 0 \} \times [-1, 1]$ est adhérent $X_1$. Ce qui est plutôt pratique est que, quel que soit $r > 0$, la restriction de la fonction à $]0, r]$ est surjective...

Je viens de me rendre compte d'une erreur. $\{0\} \times [-1, 1]$ est une partie de $\bar{X_1}$. L'adhérence de $X_1$ est $X_1 \cup \{0\} \times [-1, 1]$.

Bonjour,

La réponse est... non. Quels que soient le vecteur $u$ d'un espace vectoriel $E$ et un sous-espace $F$ de $E$, on a $u + (-u) = 0 \in F$, mais on ne peut pas en déduire $u \in F$. J'ai l'impression qu'il nous manque une information, parce que les questions 13 et 12 sont fausses en toute généralité : la famille $\{ \Omega(x), x \} $ n'est pas libre si $\Omega \colon x \mapsto i x$. A-t-on des indications sur $\Omega$ ?

E.

Disons que dans la mesure où il existe un isomorphisme entre le groupe $G/Z$ et le groupe abélien $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$, $G/Z$ est commutatif. On peut donc utiliser une notation additive et parler d'éléments "nul" ; mais formellement, effectivement, il s'agit toujours de l'élément neutre pour la loi du groupe.

Non, pas nécessairement. Ce n'est pas parce que deux groupes ont le même ordre qu'ils sont égaux. On peut avoir $i^2 = 1$, sans que cela entraîne $i = 1$ ou $i = -1$. Ce sera le cas dans le groupe unité des quaternions, puisqu'on va montrer que tous les éléments distincts de $1$ et $-1$, (ie, $i, -i, j, -j, k, -k$) sont d'ordre $4$, donc... Mais ce n'est pas vrai en toute généralité (ex. dans le groupe des matrices $\textrm{Sl}_2(\mathbb{R})$, la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ vérifie $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ sans pour autant être égale à $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ ou $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$)

Bonjour,

Pour t'aider, il faut que tu commences par nous indiquer les points où tu bloques. Ici, il s'agit d'un exercice d'application de ton cours.

La question 1 te demandes de calculer la valeur $u(100, 120)$ et de déterminer $q_2$ tel que $\bar{u} = u(100, 120) = u(102, q_2)$.

La question 2 te demandes de calculer le rapport $\Delta q_2 / \Delta q_1$, où $\Delta q_i$ désigne la différence entre les quantités respectives de chacun des deux biens. Il s'agit d'une approximation de la valeur $dq_2 / d q_1$ au point $(100, 120)$

La question 3 te permet de vérifier si tes résultats sont correctes, après avoir calculer les utilités marginales $\partial u / \partial q_1$ et $\partial u / \partial q_2$

E.