Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir !
Si j'ai compris, ce que tu cherches à faire c'est bien d'exprimer le nombre "k parmis n", en fonction des nombres de Fibonnaci ? Désolé si c'est un peu bêta mais je suis un peu perdu.

Salut !
ça fait 5, les termes de ta somme sont indépendants de la variable n.

Ni l'une ni l'autre ! As-tu essayé d'écrire [tex]V_3[/tex] et [tex]V_4[/tex] en remplaçant [tex]U_1,U_2,U_3 [/tex](et [tex]U_4[/tex]) par leurs expressions ? Qu'obtiens-tu ?

Oui c'est bien ça :).

Attention, si le résultat est positif alors Un est plus grand que [tex]\frac{1}{2\sqrt{n+1}}[/tex] et inversement si le résultat est négatif.

Oui ça pourrait marcher, mais je crois que d'une façon ou d'une autre tu es embêtée par la présence des racines au numérateur. Autant les enlever dès le départ, l'étude devient plus simple.

Ah mince, ton énoncé n'est pas  de montrer que : [tex]\frac{1}{2\sqrt{n+1}} \leq u_n \frac{1}{2\sqrt{n}} [/tex] ? Ce n'est pas ce que tu as voulu écrire ? Peut être [tex]\frac{1}{2\sqrt{n+1}} \leq u_n \leq \frac{1}{2\sqrt{n}} [/tex] ?

C'est plus logique comme ça je suis désolé... Si c'est bien la dernière expression que tu dois montrer, alors il faut que tu multiplies [tex]u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}[/tex] en haut et en bas par [tex]\sqrt{n+1}+\sqrt{n}[/tex]. Ensuite tu remarques que [tex]2\sqrt{n+1}\geq \sqrt{n+1} + \sqrt{n}[/tex] tu peux en déduire l'une des deux inégalités. Pour la seconde tu procèdes de manière analogue :).

Bonsoir !

J'adore ce sujet ! Je débute en mathématiques et comme vous je suis vraiment intéressé / frustré / fasciné par tous ce qui tourne autour des nombres premiers...

Je rebondis dessus, [tex]\frac{1}{n^2}[/tex] a bien pour graphe une branche d'hyperbole qui n'est tangente qu'à l'infini avec l'axe des abscisses, pourtant, si on somme tous les [tex]\frac{1}{n^2}[/tex], ça tend, de manière surprenante, vers [tex]\frac{\pi^2}{6}[/tex] comme l'avait montré Euler. De la même manière pour le nombre de nombre jumeaux : si le nombre de nombre jumeaux décroît à chaque (ou presque!) tranche comme une hyperbole (comme [tex]\frac{1}{n^2}[/tex] par exemple) ça n'implique a priori pas que la somme sur toutes ces tranches, c'est à dire le nombre total de nombre jumeaux, tend vers l'infini.

Comme je ne connais malheureusement rien sur le sujet, je suis allez fouiner sur Wikipedia qui a  quelques infos bien sympa sur le sujet :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombres_premiers_jumeaux. Et notamment en bas de la page on voit . La fonction qui à un x donné, compte le nombre de nombre premiers jumeaux inférieurs à x se comporte pour x infiniment grand comme l'expression de droite, or l'expression de droite tend vers l'infini quand x tend vers l'infini, ce qui montre que le nombre de nombre premiers jumeaux est infini. Mais cette expression n'est pas encore démontré d'après wiki.

Toutefois on trouve sur cette même page :
"En 1966, Chen Jingrun a démontré l'existence d'une infinité de nombres premiers p tels que p + 2 soit le produit d'au plus deux facteurs premiers (un tel nombre, produit d'au plus deux facteurs premiers, est dit 2-presque-premier).
Son approche fut celle de la théorie du crible, qu'il utilisa pour traiter de façon similaire la conjecture des nombres premiers jumeaux et la conjecture de Goldbach."

C'est pas tout à fait ça mais on dirait qu'on s'en rapproche... Après pour enlever le "presque"...
De même on voit grâce à vos données que le nombre de nombre premiers jumeaux est "presque" décroissant. J'aimerai bien pouvoir enlever le presque et déterminer à coup sur les variations de ces nombres ! :)

Personnellement, je ne sais rien dessus et ça me donne bien envie de me renseigner. Malheureusement, ça devra attendre un peu (comme beaucoup de choses !!) : je suis en pleine période de partiels...

Bonne soirée,
Choukos

Salut !

Déjà dans R, tu sais sûrement que [tex] ]a,b[ [/tex] est ouvert, [tex] [a,b] [/tex] est fermé et [tex] ]a,b] [/tex] n'est ni ouvert ni fermé.
Toutefois être fermé dans R c'est plus général qu'être de la forme [tex] [a,b] [/tex], par exemple une union finie de fermé reste fermé (si tu considères "pleins" d'intervalles de la forme [tex] [a,b], [c,d], ... [/tex] leur union reste fermé).

A titre d'exemple tu as sûrement dans ton cours les démonstrations des propositions suivantes :
Une union finie de fermés est fermée.
Une union quelconque d'ouverts est ouverte.
Une intersection finie d'ouverts est ouverte.
Une intersection quelconque de fermés est fermés.

Elles se déduisent des définitions, ça peut te donner quelques méthodes pour les utiliser.

On peut se demander si une union quelconque de fermée est fermée et si une union quelconque d'ouverts est ouverte (i.e doit-on vraiment préciser finie ?)

Si on considère [tex] \cup_{n\geq 1}{[1/n,1]} [/tex], c'est une union infinie de fermés, mais comme [tex] 1/n \rightarrow 0 [/tex] et que [tex]1/n >0[/tex] on en déduit que [tex] \cup_{n\geq 1}{[1/n,1]}=]0,1] [/tex] n'est pas fermé ! (Mais ni ouvert).
Si on considère [tex] \cap_{n\geq 1}{]-1/n,1/n[} [/tex] est une intersection infinie d'ouverts, mais comme [tex] -1/n \rightarrow 0 [/tex], [tex] 1/n \rightarrow 0 [/tex] on en déduit que [tex] \cap_{n\geq 1}{]-1/n,1/n[}=\{0\} [/tex] qui est un singleton, donc un fermé (son complémentaire c'est [tex] ]-\infty,0[\cup]0,+\infty[ [/tex] qui est une union finie d'ouverts donc ouverte donc par définition d'un fermé, notre singleton est un fermé de R).

Mais c'est parfois assez dur de manipuler directement ces définitions et on préfère souvent en pratique utiliser des arguments "marteau" pour tuer le problème : pour ton exemple, tu as je pense dans ton cours la propriété suivante : l'image réciproque par une fonction continue d'un fermé est un fermé.
Soit la fonction [tex]f : R^2 \rightarrow R[/tex] qui à [tex](x,y)[/tex] associe [tex] 2x + y [/tex] est continue.
Or [tex]A=f^{-1}( \{1\} )[/tex] et [tex]{1}[/tex] est fermé.
Donc A est un fermé de [tex]R^2[/tex]

Si tu veux d'autres exemples, tu en as pas mal ici : http://www.bibmath.net/exercices/index. … oi=analyse, la feuille : Topologie des espaces vectoriels normés. Tu peux dans l'exercice 12 retourner aux définitions ou utiliser des arguments "marteau" comme celui que j'ai utilisé pour montrer que le A de ton exemple était fermé, essaye de faire un peu des deux !

Choukos

Salut à toi !
Qu'entends tu par t'aider "par des séries" ? Tu veux de l'aide sur le chapitre des séries numériques ? Des séries d'exercices ? Sur ce site il y a des feuilles d'exercices avec indication et corrigés si c'est ça que tu cherches ! :)

Choukos

Hello !

Si [tex]\sum{U_n}[/tex] converge alors [tex]U_n[/tex] converge vers 0 en l'infini ! Ainsi pour ton contre-exemple MathRack, il y a un problème, [tex]\sum{U_n}[/tex] doit converger par hypothèse mais ton terme général ne tend pas vers 0 : remplacer [tex]1/n[/tex] par [tex]1/n^2[/tex] n'y change rien, on ne fait que converger plus vite vers 1.

Pour étudier la série de terme général [tex]V_n=n(U_{n-1}-U_n)[/tex] on peut montrer que sa somme partielle est égale à [tex]\sum_{k=0}^{n-1}{U_k}-nU_n[/tex].

Or, pour tout n supérieur à 1 [tex]V_n[/tex] est positif car [tex](U_n)_{n\geq 0}[/tex] est décroissante, il suffit donc de montrer que [tex]\sum_{k=0}^{n-1}{U_k}-nU_n[/tex] est majorée pour tout n pour démontrer que [tex]\sum V_n[/tex] converge. Ce qui est le cas vu que [tex]\sum U_k[/tex] converge.

Donc [tex]\sum V_n[/tex] converge.

Enfin j'aimerais dire que : [tex]\sum V_n[/tex] converge implique que la série [tex]\sum nU_n[/tex] converge et donc que son terme général tend vers 0.

Mais, écrire la dernière ligne me gêne beaucoup... Mais ça me semble être ce que veux l'exercice.
En notant [tex]a_n[/tex] et [tex]b_n[/tex] les suites des sommes partielles respectives de [tex]nU_{n-1}[/tex] et [tex]nU_n[/tex] écrire [tex]\sum V_n[/tex] converge c'est équivalent à écrire que :
[tex]\lim(a_n-b_n)=l[/tex] avec [tex]a_n[/tex] et [tex]b_n[/tex] positives

Et pour moi ça n'empêche pas [tex]a_n[/tex] et [tex]b_n[/tex] de diverger ... Il faut surement faire autre chose de plus fin ou sinon j'ai pas compris quelque chose !

Choukos