Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Re, je brûle de donner la réponse là aussi, mais je vais me retenir ;) du coup. à +

Salut,
ben c'est bon vous l'avez la solution ! À condition de remarquer que la suite [tex]A_n = U_n-2[/tex] joue un rôle bien particulier.
Elle vérifie en particulier la relation [tex]A_{n+1} = A_n(A_n+1)[/tex] (*).

Le calcul des permiers [tex]A_n[/tex] donne : [tex]A_1=1, A_2=2, A_3 = 6, A_4 = 42, A_5 = 1806[/tex]
Le simple calcul des premières valeurs de [tex]V_n[/tex] permet alors de très bien deviner ce qui se passe, [tex]V_n = \frac{A_{n+1}-1}{A_{n+1}}[/tex].
(pas besoin de passer par [tex]W_n[/tex] pour calculer les premières valeurs de [tex]V_n[/tex] yoshi)

Montrons le proprement maintenant :
* cas de base : n=1.
[tex]V_1 = \frac{1}{U_1-1} = \frac{1}{3-1} = \frac{1}{2} = \frac{2-1}{2} = \frac{A_2-1}{A_2}[/tex]

* étape de récurence :
[tex]V_{n+1} = V_n + \frac{1}{U_{n+1}-1}[/tex]
        [tex] = V_n + \frac{1}{A_{n+1}+1}[/tex]
        [tex] = \frac{A_{n+1}-1}{A_{n+1}} + \frac{1}{A_{n+1}+1} [/tex] (étape de récurence)
        [tex] = \frac{(A_{n+1}-1)(A_{n+1}+1) + A_{n+1}}{A_{n+1}(A_{n+1}+1)} [/tex]
        [tex] = \frac{(A_{n+1})(A_{n+1}+1) - (A_{n+1}+1) + A_{n+1}}{A_{n+1}(A_{n+1}+1)} [/tex]
        [tex] = \frac{A_{n+2} - (A_{n+1}+1) + A_{n+1}}{A_{n+2}} [/tex]  (relation (*) 2 fois)
        [tex] = \frac{A_{n+2} - 1}{A_{n+2}} [/tex]
CQFD

++

PS : pardon j'oubliais de conclure :
Ainsi [tex]V_n = 1 - \frac{1}{A_{n+1}}[/tex].
Or [tex]A_n = U_n - 2 \geq n+1[/tex] (pour tout n)
Donc [tex]\left|V_n - 1\right| \leq \frac{1}{n+2} \underset{n \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0[/tex]

D'où  [tex]V_n \underset{n \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 1[/tex]
Qed.

Hello,

Méthode longue mais sans pré-requis.
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supposons qu'il existe une configuration telle qu'à chaque moment aucun trou ne soit vide (H0)

I/ Montrons que pour tout trou A, il existe exactement un trou B tel que la distance AB soit minimale.
Supposons le contraire, il existe donc un trou A, tel qu'il y ait au moins deux trous à distance minimale. (H1)
Comme la configuration est telle qu'après le zenith, aucun trou soit vide (par H0), cela signifie qu'il y aura exactement une araignée par trou. L'araignée située dans le trou A ira donc dans un trou, noté B, et y sera seule. Par hypothèse H1, il existe C tel que AB = AC. L'araignée originellement logée dans A pourrait très bien aller dans C, ce qui laisserait le trou B vide. Contradiction : cette configuration n'est pas valide.

Rq : on utilisera désormais I/ implicitement dans la suite, chaque fois qu'on dira que X est le point le plus proche de Y.

II/ Montrons que: pour tout trou A, si B est le trou le plus proche de A, alors A est le trou le plus proche de B.
Par l'absurde, supposons qu'il existe A et B tel que :
* (H2) B est le trou le plus proche de A,
* (H2') A n'est pas le trou le plus proche de B.
Il existe donc, par (H2')  un trou C, tel que BC < AB (noté (I1))

L'araignée dans A ira dans B, celle dans B ira dans C.
Comme la configuration est correcte, il existe un trou X, tel que l'araignée dans X ira dans A, ie tel que :
(H2'') A est le trou le plus proche de X.

Par (H2'') et (H2') on sait que X n'est pas B.
Par (H2) on sait alors que AB<AX (noté (I2))

Il y a deux cas:
* Soit X=C, par (H2'') on sait que AX<XB (noté I3) et alors AB<AC (I2), AC<CB (I3) et  BC<AB (I1)
   ==> contradiction
* Soit X!=C, par (H2'') on sait que AX<XC (noté (I3')) et alors AB<AX (I2), AX<XC (I3'), et BC<AB (I1)
  ce qui donne : BC<XC, autrement dit l'araignée qui part de C n'ira pas dans X. Celle de A et B non plus. Il existe donc D, tel que l'araignée dans D aille dans X, et la seule possibilité pour que D ne se retrouve pas vide est que celle de C aille dans D. Les araignées suivent donc le circuit A -> B -> C -> D -> X -> A.
Cela signifie que AX<XD<DC<CB<AB, donc AX<AB, contradiction avec (I2)

III/
1/ Prenons un trou quelconque, notons le A et notons B le trou le plus proche de A. Par II/ A est aussi le plus proche de B.
2/ Soit C un trou distinct de A et B, et D le trou le plus proche de C, D est donc distinct de C. Par II/ C est le trou le plus proche de D, donc D n'est ni A ni B. Donc D est distinct de A B et C.
3/ On a un dernier trou E, soit X le trou le plus proche de E. Comme il n'y a que 5 trous, X est forcement A, B, C ou D. Mais par II/ le trou le plus proche de X est E. Or le trou le plus proche de A, B C ou D n'est jamais E.
=> Contradiction.

Conclusion : il n'y a pas de configuration qui convienne.
====================

On peut raccourcir beaucoup le raisonnement en utilisant ses connaissances sur les permutations :
Il suffit de remarquer que I/ rend unique le déplacement des araignées pour une configuration donnée. De plus le fait que la configuration soit correcte fait que ce déplacement est une permutation. On connait le théorème de décomposition des permutations en cycles. Il n'y a pas de 1-cycles car une araignée doit se déplacer. Et il suffit de montrer que lorsqu'on a un k-cycle avec k>2, on a une incohérence (facile : on a une suite d'inégalités strictes). Ainsi cette permutation ne peut être constituée que de 2-cycles, ce qui n'est pas possible pour [tex]\mathfrak{S}_5[/tex]

Cette dernière méthode est d'ailleurs généralisable au cas de  [tex]\mathfrak{S}_{n}[/tex] et permet de montrer que si n impair, on n'a pas de solution, et d'exhiber une solution dans le cas où n est pair.

Bon allez, je retourne bosser.

++

Salut,
malheureusement, le coffre de freddy contient un détecteur de contenu, et en plaçant un autre contenu dans le premier tiroir, tu bloques l'ouverture du second ... dommage.
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Bravo ! On peut faire légèrement mieux et ne tirer que 6 grenades...

Salut,
Puisque freddy à l'air fada d'énigmes tordues, je vais le laisser regarder, sachant que vous étiez quand même à deux doigts de la réponse...

Quant aux poids ou masses, sur terre, à un coefficient 9,81m/s² près, quelle différence ? De plus, si on connaît les poids (resp. masses.) étalon, on connaîtra le poids (resp. la masse) de l'objet.

Bon je vais poster une petite énigme qu'un ami m'a posé il y a peu.
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Salut,
ça y est j'y suis :
On numérote les géants de  1 à 3.

I/ On pose à 1 la question suivante:
- "Est-ce que da est la réponse à la question : que répondrais-tu si on te demandais si 3 répond aléatoirement ?"

Si la réponse est da, on pose X=2 et Y=3, sinon on pose X=3 et Y=2.
À ce point là, soit 1 est aléatoire, soit c'est Y qui l'est, on vient donc de déterminer que X ne l'était pas.

II/ On pose donc la question suivante à X :
- "Est-ce que da est la réponse à la question : que répondrais-tu si on te demandais si Y répond aléatoirement ?"

Si la réponse est da, on sait alors que Y répond aléatoirement, on pose alors A=X, B=1, et C=Y
Sinon, on sait que c'est 1 qui répond aléatoirement, on pose donc A=X, B=Y et C=1

À ce point là A et B répondent en disant soit tout le temps la vérité, soit en mentant tout le temps.
Et C répond toujours aléatoirement.

III/ Enfin, on pose la question suivante à A(=X) :
- "Est-ce que da est la réponse à la question : que répondrais-tu si on te demandais si tu dis la vérité ?"

Si A répond da, alors A dit la vérité, B ment et C répond aléatoirement
Sinon, A ment, B dit la vérité et C répond aléatoirement.

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Salut,

Connaissant S et P, les deux nombres à retrouver se calculent facilement comme solutions de l'équation x²-Sx+P = 0

Mais là n'est pas le problème (mis à part qu'à S et P fixé, on sait que la solution est unique à permutation près), car nous ne connaissons ni P ni S...
Le problème est de se rendre compte que chacune de leur phrase communique en fait une information sur l'unicité du problème qu'ils rencontrent :

* Lorsque Patricia dit qu'elle ne peut pas répondre, il faut comprendre qu'en connaissant son propre nombre P (le produit), elle n'a pas de solution unique, il existe donc plusieurs couples (x,y) différents (à permutation près) tels que P=x*y. (Rq : c'est plus fort que juste "ne pas être le produit de deux nombres premiers" : par exemple, P=2*3*99 ne mène qu'à une solution qui est (6,99))

De plus, Sophie aurait pu le parier, ce qui veut dire que, quelque soit la façon de décomposer la somme S=x+y en a+b, on ne peut pas retrouver de manière unique a et b à partir de a*b.
On ne garde donc que l'ensemble E1 des couples (x,y) (x<=y), tels que pour tout a et b tels que a+b=x+y et a<=b, il existe (c,d) avec c<=d tel que a*b = c*d sans que a=c et b=d.

* Puisque Sophie ne peut pas trouver, on ne garde que l'ensemble E2 des couples (x,y) de E1, tels qu'il existe (z,t) dans E1 tel que (z,t) != (x,y) et z+t=x+y.

* Lorsque Patricia anonce qu'elle a trouvé, cela signifie qu'il existe un unique élément (x,y) de E2 tel que P=x*y. Soit E3 l'ensemble des éléments (x,y) de E2 verifiant la propriété : pour tout (z,t) dans E2, si z*t=x*y alors (x,y) = (z,t)

* Lorsqie Sophie annonce qu'elle a trouvé,  cela signifie qu'il existe un unique élément (x,y) de E3 tel que S=x+y. Soit F l'ensemble des éléments (x,y) de F verifiant la propriété : pour tout (z,t) dans F, si z+t=x+y alors (x,y) = (z,t)

Miracle, F ne contient que le couple (4,13), la solution existe et est unique.

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Vérifions à la main que c'est bien une solution :
Patricia a 52 et Sophie 17.

Patricia hésite entre {2,26} et {4,13} => Elle ne sait pas

Sophia hésite entre {2,15} {3,14} {4,13} {5,12} {6,11} {7,10} {8,9}
Donc elle sait que Patricia a 30 ou 42 ou 52 ou 66 ou 70 ou 72.
Et elle voit alors que Patricia ne peut pas déterminer.
(30 = 2*15 ou 6*5, 42 = 3*14 ou 6*7, etc ...)
De plus elle non plus ne peut pas le déterminer

Patricia voir que si c'était {2,26} la solution, Sophia aurait 28, et envisagerait {5,23} comme solution, or P=5*23 mènerait directement à {5,23} comme solution et donc Sophia n'aurait jamais pu parier qu'elle ne pourrait pas trouver.
Donc Patricia sait que la solution est {4,13}, et répond qu'elle peut déterminer

Enfin, Sophia envisage toutes les solutions possibles :
* Patricia a 30 => elle ne peut pas deviner une valeur que Sophia sait correcte.
* Patricia a 42 => elle ne peut pas deviner ...
* Patricia a 52 => elle peut trouver que c'est {4,13} !!!!!
* Patricia a 66 => elle ne peut pas deviner ...
* Patricia a 70 => elle ne peut pas deviner ...
* Patricia a 72 => elle ne peut pas deviner ...

Et elle aboutit au fait que 52 est la seule valeur à partir de laquelle Patricia aurait pu trouver.
Donc {4,13} est la seule solution pour Patricia et Sophia

(Quand à nous, nous avions déjà constaté que c'était vrai, et aussi que c'était la seule paire qui convenait !)
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Problème très amusant. Et ça marche effectivement pour 400 au lieu de 100.

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Salut,
je n'ai vraiment pas le temps de m'attarder, mais voila de quoi alimenter votre débat :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme … iplication
Paragraphe : "Multiplication rapide"
enjoy

++

Salut sinuspax,

Je vais prendre ton message en partant de la fin.

C'est pour cela qu'il existe une représentation des mathématiques dans laquelle tout ce que l'on peut écrire est vrai. L'étude de ce phénomène est un des buts de la logique mathématique, qui s'efforce de formaliser les mathématiques et en tire des propriétés sur la structure des représentation, mais aussi sur leur interprétation.
C'est à partir d'une formalisation à l'extrême que l'on construit la théorie des ensembles moderne (ZF). Et dans cette théorie, la notion d'infini apparaît comme une définition d'un phénomène (le fait de ne pas être équipotent à un ordinal fini).

Oui, il est "valide", ou plutôt défini très formellement par une construction bien connue et sûre. Pas besoin de se poser de questions sur l'infini pour vérifier une telle définition, il suffit d'appliquer des définitions et propriétés qui remontent toutes aux axiomes de la théorie des ensembles.

La fonction successeur est un symbole de l'arithmétique de Peano.
En théorie des ensembles elle [la fonction successeur] est définie pour avoir un sens pour les ordinaux (/!\ ce n'est pas un symbole, mais une construction).
Et par contre cette fonction n'a absolument aucun sens pour les réel.

Autrement dit : la fonction successeur connue pour l'arithmétique ne s'applique pas aux les réels.

Par définition : Aleph0 = omega = N = ensemble de tous les ordinaux finis (rien à voir avec "1000...") = ensemble de tous les entiers naturels
Par définition : Card E = unique cardinal équipotent à E (pas seulement entier donc !)
Application : Card N = unique cardinal équipotent à N = N = Aleph0
"Entier infini" n'a aucun sens, on dit "ordinal transfini", le mot "entier" (ou plutôt "entier naturel") est réservé à un "ordinal fini".
Par définition : dénombrable = équipotent à N

On en déduit que si E dénombrable, alors il est équipotent à N, donc son cardinal est celui de N, c'est à dire Aleph0.

C'est bon ?

++

Salut,

Euh, on demande d'un concept qu'il soit parfaitement défini, avant de commencer à l'exploiter sérieusement.
Et si on ne sais pas, ou si on ne veut pas le faire, on dit au moins quelles propriétés vont être utilisées.

Ce que tu dis est un sophisme. Prouver que la preuve d'une proposition A est fausse ne permet pas de prouver que A est fausse !!!!

C'est marrant, cette preuve n'a rien à voir avec celle que je connais...
Il n'est pas question d'aléatoire normalement ....

Celle dont j'ai donné une preuve du contraire dans mon message #31 ??

Ces articles ne sont pas des articles de math, mais des articles sur l'histoire de maths, ce qui est fondamentalement différent. Et ils ne corroborent aucune de tes théories.

NB pour sinuspax :
Je suis en accord avec la réponse de Regala : à partir du moment où tu peux construire R, tu obtiens la preuve qu'il existe des ensembles indénombrables.

++

Salut,
je relève de nombreuses contradictions dans ton discours.
Je ne sais pas exactement ce que tu entends par ton rituel "on ne peut pas atteindre l'inifini".
Je vais cependant l'interpréter dans la suite.

"diviser sans fin ?" => impossible "on ne peut pas atteindre l'inifini"

L'argument ne me convainc pas.

Comment peux-tu exhiber une infinité d'intervalles alors que tu ne te permets pas d'"atteindre l'inifini".

Mais ???? Comment peux-tu dire qu'il y en a un nombre entier, alors tu viens d'en "compter" une infinité ... (tu es bien allé jusqu'à i[tex]\infty[/tex] que je sache)

Bon supposons quand même (pour finir la critique de ton message) qu'il y en ait un nombre entier et tout et tout ...

Cf ma dernière ligne

QUOI ? im < 0 implique que 1/im est réel, un point c'est tout ...
Rien d'infini (que tu ne peux pas atteeindre d'ailleurs)

NON, p est le nombre d'extrémités de tes intervalles (dont tu dis qu'ils sont finis), tu n'as jamais dit que tu considérais les intervalles entre TOUS les points de [0,1].
Et si c'est ce que tu voulais dire, comment peux-tu affirmer qu'il y en a un nombre fini sans le démontrer !!! Et comment le définis-tu (car ça pose un VRAI problème)

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