Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

J'ai un exercice à faire dont voici l'énoncé : https://www.cjoint.com/c/LDhp2mPZF0A

Voici ce que j'ai fait :

https://www.cjoint.com/c/LDhpZAlw7mA
https://www.cjoint.com/c/LDhp0VAqdSA

J'ai l'impression que ma réponse pour la 3 n'est pas correcte puisqu'elle n'utilise pas du tout l'indication donnée mais honnêtement je ne vois pas comment m'en servir. Qu'y a-t-il de faux dans ce que j'ai fait ?

Qu'en pensez-vous ?
Pourriez-vous m'éclairer ?

Merci d'avance,
Bonne soirée

Bonsoir,

J'ai un exercice à faire dont voici l'énoncé (en 2 parties car long) : https://www.cjoint.com/c/LCArWADFQVA https://www.cjoint.com/c/LCArWWFDAPA

Voici ce que j'ai fait (les questions sur lesquelles je bloque complètement je les laisse vides pour le moment et essaierai de compléter/ poser des questions précises plus tard) :

1. (a) J'ai pensé à utiliser Burnside : |E/G| =  [tex]\frac{1}{pⁱ}[/tex] |E^G|
                                              <=> |E^G| = |E/G| pⁱ
                                              <=> |E^G| = |E/G| mod p

Mais pour que cela fonctionne il faudrait montrer que |E/G| = |E| et c'est là dessus que je bloque...

1. (b) |E^G| = |E| mod p
On applique : On sait que 5³ = 125 donc p = 5
|E^G| = 1004 mod 5
a est congru à b modulo p si p | a-b
ie. 5 | |E^G| - 1004 ie. |E^G| = 4 minimum

Il y a donc minimum 4 points fixes.

2. (a)  Montrons que N_G(H) est un sous groupe de G. (Je noterai N à la place de N_G(H)).

_1 appartient à N car 1.H.1^-1 = H
_Si g, h appartiennent à N, on a ghH(gh)^-1
                                           = g(hHh^-1)g^-1
donc gh appartient à N.
_ Si g appartient à N, montrons que g^-1 appartient à N.
Par hypothèse, on a gHg^-1 = H.
D'où g^-1(ghg^-1)g = g^-1Hg, ie. H = g^-1H(g^-1)^-1

Donc N est bien un sous groupe de G.

Si h appartient à H, on a :  hHh^-1 = Hh^-1 = H
Donc h appartient à N d'où H inclus dans N. 

2. (b) Tout sous groupe d'un p-groupe est un p-groupe car H est inclus dans G et donc par définition de G tous les éléments de H ont pour ordre une puissance de p et donc H p-groupe puisque H est stable pour la loi de G, l'ensemble des xⁱ (le sous-groupe engendré par x) est dans H.
donc |H| est de la forme p^s et |N| est de la forme p^t.
Comme ce sont des sous-groupes de g on a p^s =< p^t =< p^r
                                                        donc s =< t =< r avec s < r car H est un sous groupe propre de G.

2. (c) Supposons que H est distingué dans G ie. ∀ y ∈ G, y^-1Hy = H. Montrons que H est un sous groupe de N.

_1 ∈ H car 1^-1.H.1 = H
_Si x, y appartiennent à H, on a (xy)^-1Hxy = y^-1(x^-1Hx)y donc xy ∈ H.
_Si x ∈ H, montrons que x^-1 ∈ H. Par hypothèse, on a x^-1Hx = H.
D'où : x(x^-1Hx)x^-1 = xHx^-1, ie. H = (x^-1)^-1Hx^-1.

Donc H est bien un sous-groupe de N.
Pour montrer que H est un sous-groupe propre de N, il faut montrer que H est différent de N ie. il existe un élément de N qui n'est pas dans H. Mais là je dois avouer que je bloque...

2. (d) (i)

2. (d) (ii) Montrons que l'application [tex][\phi[/tex] définit une action de G sur E. (On note * la loi)
_∀ g,h ∈ G, ∀ K ∈ E, g*(h*K) = g * hKh^-1 = ghKh^-1g^-1 donc la première propriété est vérifiée.*
_∀ K ∈ E, montrons que e * K = K : 1 * K = 1K1^-1 = K donc la seconde propriété est vérifiée.

On a donc bien [tex][\phi[/tex] action de groupe.

2. (d) (iii) G  opère transitivement sur E si ∀ K, K' ∈ E, [tex]\exists[/tex] g ∈ G, g*K = K' [tex]\Longleftrightarrow[/tex] gKg^-1 = K' et là je bloque, je ne vois pas trop quoi faire car je ne sais pas si rajouter [tex]\Longleftrightarrow[/tex] K = g^-1Kg montrerait quoi que ce soit...?

2. (d) (iv) L'action de conjugaison fait agir G sur lui-même. Ainsi E est un sous-groupe de G et nous avons vu que tout sous groupe d'un p-groupe est un p-groupe. D'où : |E| = p_i avec i entier.
2. (d) (v)
2. (d) (vi)
2. (e) (i)
2. (e) (ii) ∀ a ∈ H, g^-1ag ∈

2. (e) (iii)
3. (a)
3.(b)

Qu'en pensez-vous ?
Pourriez-vous m'éclairer ?

Merci d'avance,
Bonne soirée

Bonjour,

J'ai un exercice à faire dont voici l'énoncé : G différent de {1}) n’admettant aucun sous-groupe non trivial,
c’est-à-dire tel que si K est un sous-groupe de G alors K = {1} ou K = G. On se propose
de montrer que G est fini et que son cardinal est un nombre premier.
Soit g un élément de G \ {1}.

(1) Montrer que g engendre G.
(2) Montrer que g est d’ordre fini. [On pourra considérer le sous-groupe engendré par g²]
(3) Montrer que g est d’ordre premier. [On pourra raisonner par l’absurde]
(4) Conclure.

1. <g> est un sous groupe de G or G n'a que 2 sous groupes possibles : K = {1} ou K = G et g est un élément de G \ {1}. Donc <g> = G.

2. Je voulais monter qu'il existe n tel que gⁿ = 1 mais je ne vois pas le rapport avec <g²>...

3. Supposons que g est d'ordre p non premier. D'après le théorème de Lagrange, 1 divise le cardinal de G et p divise le cardinal de G. Or p n'est divisible que par 1 ou lui-même. On a donc p premier.

Le soucis ici c'est que je ne vois pas la contradiction qu'on cherche avec une démonstration par l'absurde.

4. g est d'ordre premier, fini et g engendre G donc G est d'ordre fini, de cardinal premier.

Qu'en pensez-vous ?
Pourriez-vous m'éclairer ?

Merci d'avance,
Bonne journée