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Pour la cas général, supposons que la variable $X \in A=\{a_1,\cdots,a_{12}\}$ où les $a_i$ sont des éléments quelconques. Supposons de manières similaire que $Y_1 \in B=\{b_1,\cdots,b_6\}$ et $Y_2 \in C=\{c_1,\cdots,c_6\}$.
Supposons donnée une fonction de gain $g:\ A \times B \times C \mapsto \{-1,0,1\}$ qui permet d'attribuer, au vu d'une configuration donnée, le gain à l'un ou l'autre des joueur ou aux deux.

Je m'intéresse d'abord à la probabilité de gain : $P(g(X,Y_1,Y_2)=1)$
Par la loi des probabilités totales, on a $P(g(X,Y_1,Y_2)=1) = \sum_{k=1}^{12} P(g(X,Y_1,Y_2)=1\ |\ X=a_k)P(X=a_k) = \frac{1}{12}\sum_{k=1}^{12} P(g(a_k,Y_1,Y_2)=1)$

Et de manière similaire, $P(g(a_k,Y_1,Y_2)=1)=\sum_{1 \leq i,j \leq 6} P(g(a_k,Y_1,Y_2)=1\ |\ (Y_1 = b_i \wedge Y_2 = c_j))P(Y_1 = b_i \wedge Y_2 = c_j)$,
soit $P(g(a_k,Y_1,Y_2)=1)=\frac{1}{36} \sum_{1 \leq i,j \leq 6} 1_{\{g(a_k,b_i,c_j)=1\}}$.

On voit donc que la donnée de la fonction de gain $g$ permet de calculer la probabilité de gain.

Je propose la méthode "avec les mains".
Globalement, on a une variable $X$ discrète, uniformément distribuée sur l'ensemble $\{1,\cdots,12\}$ (c'est le dé à 12 faces) et on a deux variables discrètes $Y_1$ et $Y_2$ uniformément distribuée sur l'ensemble $\{1,\cdots,6\}$ (ce sont les deux dés à 6 faces) et on veut constituer la loi de la variable discrète $Y=Y_1+Y_2$ sur l'ensemble $\{1,\cdots,12\}$. En le faisant à la main, on trouve les probabilités :
$P(Y=1)=0$,
$P(Y=2)=\frac{1}{36}$, $P(Y=3)=\frac{2}{36}$, $P(Y=4)=\frac{3}{36}$
$P(Y=5)=\frac{4}{36}$, $P(Y=6)=\frac{5}{36}$, $P(Y=7)=\frac{6}{36}$
$P(Y=8)=\frac{5}{36}$, $P(Y=9)=\frac{4}{36}$, $P(Y=10)=\frac{3}{36}$
$P(Y=11)=\frac{2}{36}$, $P(Y=12)=\frac{1}{36}$

On cherche donc la probabilité de l'évènement $Y > X$.

On a alors $P(Y > X) = \sum_{k=1}^{12} P(Y > X | X=k)P(X=k) = \frac{1}{12}\sum_{k=1}^{12} P(Y > k) = 1-\frac{1}{12}\sum_{k=1}^{12} P(Y \leq k)$

On calcule ensuite $P(Y \leq k) = \sum_{i=1}^k P(Y = i)$.

Les autres calculs (égalité ou gain de l'autre) devrait se faire de manière similaire.

Je n'ai pas compris le point sur les dessins chinois.
Ici, on profite d'une notion qui est l'addition des entiers et de l'ordre naturel des entiers pour déterminer comment combiner les symboles affichés par les deux dés à 6 faces et comment ensuite comparer au symbole de l'autre dé pour décider qui a gagné. Si on met des idéogrammes chinois ou des lettres grecques, il faut définir cette loi de composition et une notion d'ordre. Ce qui revient peu ou prou à associer à nombre à chaque symbole (en supposant que la loi de composition marche "comme" l'addition, sinon, il faudra revoir les probabilité de la variable $Y$).

Je ne suis pas sûr de pouvoir répondre.
Juste une précision : la forme hessienne (ou forme quadratique associée à la matrice hessienne) est une application linéaire de $\mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}$. Quand tu note $q(x)$, est ce que c'est la forme hessienne au point $x \in \mathbb{R}^n$ (auquel cas je ne comprends pas le sens de $q(x) \geq .$) ou alors c'est la forme hessienne en un point non précisé $a$, évaluée en $x$ ?

Dit autrement, pourrais-tu écrire cette condition dans le cas $n=1$ ?

Je vais faire une réponse très triviale : polynôme dégénéré = non (polynôme non dégénéré) !
Dans l'exemple donné par ton article, la fonction $V(x) = (1+x_1^2)*x_2^2$ ne rempli pas la condition demandée à savoir $V(x) \to +\infty$ quand $|x| \to +\infty$. En effet, si on est sur la ligne $x_2=0$, alors $V(x)=0$, bien que $|x| = \sqrt{x_1^2+x_2^2}$ puisse être aussi grand qu'on veut sur cette ligne.

Du coup, si ce n'est pas erroné, je demande encore un peu de temps de réflexion parce que j'avais uniquement regardé le cas avec 34 nombres. Si ce sont que 32 candidats, j'ai peut être une chance !

Non, $5\times 372 = 1.860$ et c'est en effet $=0$ mod $3$ ($5\times372 = 5 \times 0 = 0\ [3]$).
Mais je pense que je me suis planté dans mon raisonnement (je pensais avoir calculé la somme totale par un autre moyen !). Je regarde ça

Bonsoir Freddy,
Disons que je connais ce résultat sous sa forme générale : si $p$ est premier et qu'il ne divise pas $n$, alors il est premier avec $n$ (il faut d'ailleurs préciser $p$ distinct de 2,3 et 5 pour le cas 30).

Ci-après, une solution avec recours à Python !
Je n'ai pas trouvé de moyen "soft" de résoudre.
@jpp : ta solution est-elle purement "logique" ?

Pas de quoi. Ravi si j'ai pu t'aider.

J'avoue que je n'avais pas vu l'icône !
Néanmoins, il m'arrive régulièrement d'utiliser un éditeur LaTeX Wysiwyg (Type www.overleaf.com, gartuit). Après je voudrais copier/coller. Ici, je passe d'abord par la case éditeur de texte pour changer '$(\[^$]*)$' par '['tex']'\1'['/tex']' (expression régulière de mon éditeur de texte).

bonjour nicolasb,

Comme je l'ai indiqué avant, [tex]\pi[/tex] n'est pas une fonction de [tex]\mathbb{N} \to \mathbb{N}[/tex]. Je vais tenter ci-après une définition un peu plus rigoureuse.
On se donne donc un espace probabilisé [tex](\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})[/tex] et on considère une famille de variables aléatoires [tex]X_n : \Omega \to \mathbb{N}[/tex] vérifiant la propriété suivante [tex]\forall n, \forall i < n, \forall \omega \in \Omega, \ X_n(\omega) \neq X_i(\omega)[/tex] (il en existe au moins une : [tex]\forall \omega \in \Omega, \ X_n(\omega)=n[/tex]).
Alors, la fonction [tex]\pi[/tex] est définie comme [tex]\pi : \Omega \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}, \ \pi(\omega,n)=X_n(\omega)[/tex]

Maintenant, concernant la question de la surjectivité de [tex]\pi[/tex], il n'y a aucune raison pour que ce soit vérifiée. Considère par exemple un tirage aléatoire où on s'interdit de choisir des nombre pairs, on un autre où on s'astreint à ne tirer que des nombres premiers, etc.

Bonjour,
Demande de quelques précisions sur le pb :

Est-ce que les 30 nombres premiers sont distincts ?

Que veux précisément dire la demande "quelle pierre" ? j'imagine que ce n'est pas la réponse "c'est la pierre dont la masse est composée" que tu attends ;-) Est-ce qu'on demande déjà de déterminer la masse de la pierre à ce stade ?

S'agit-il ici de donner la liste des 30 nombres premiers ?