Forum de mathématiques - Bibm@th.net

« On ne sait donc pas, à quelques (rares ?) exceptions près, placer la tangente, à plus forte raison la cotangente (et encore plus à forte raison, la sécante et la cosécante) »

Je m'amuse parfois à faire calculer, par simple utilisation du théorème de Thalès, à des élèves de Troisième les quatre autres segments sur le cercle trigonométrique (que j'appelle "patate trigonométrique" car j'arrive rarement à dessiner un beau cercle. :-)

Bonjour,

Je comprends mieux l'exercice maintenant (et la question) :

La suite $(u_n)$ est définie par $u_n = \sqrt[n]{\binom{2n}{n}}$.

$ln{(u_n)} = \frac{1}{n}ln{\binom{2n}{n}} = \frac{1}{n}ln{\frac{(2n)!}{n!n!}} $  ce qui aboutit à l'expression demandée, avec effectivement $k$ au dénominateur.

Ensuite il faut calculer la limite de l'expression de $ln{(u_n)}$ pour déterminer la limite de $u_n$ par exponentiation.

et $(n + 1)(n + 2)...(2n) = \frac{(2n)!}{n!}$  ...

Merci, Fred, pour cette explication qui manquait à ma culture et compréhension mathématiques !

Je mentionne souvent l'ancienne notation et ne savais pas expliquer la raison d'être de la notation actuelle.
Maintenant, je sais, et me coucherai ce soir un peu moins ignorant que je l'étais ce matin.  :-)

Bonjour,

J'ai programmé les suites sous Excel avec p = 2, p = 3, p = 4 et p = 5.
Voilà ce que cela donne:

Pour p = 2 : 
0,1,2,2,4,5,6,6,8,9,10,10,12,13,14,14,16,17,18,18,20,21,22,22,24,25,26,26,28,29,30,30,32...

pour p =3 :
0,1,2,3,3,3,6,7,8,9,9,9,12,13,14,15,15,15,18,19,20,21,21,21,24,25,26,27,27,27,30...

pour p=4 :
0,1,2,3,4,4,4,4,8,9,10,11,12,12,12,12,16,17,18,19,20,20,20,20,24,25,26,27,28,28,28,28,32...

pour p =5 :
0,1,2,3,4,5,5,5,5,5,10,11,12,13,14,15,15,15,15,15,20,21,22,23,24,25,25,25,25,25,30...

Bonne journée, et bonne et fructueuse semaine

Je n'avais pas enregistré l'indication de LionAuthentique : "fonction indicatrice".
Effectivement j'en connaissais le principe.

Merci Alain de cette explication ! (Comme j'avais principalement vu vos messages signés A. et une fois Alain, j'ai préféré, dans le doute, écrire "merci, A." :-)

La logique sur laquelle je ferai plancher certains élèves (que je sentirai capables d'encaisser le coup) sera donc
$u_n = n \times k + p \times E(n/p) \times k'$
avec $k$ est égal à 1 si la partie entière de $\frac{n}{p}$ est paire, et égal à 0 dans le cas contraire ;
et avec $k'$ est égal à 1 si la partie entière de $\frac{n}{p}$ est impaire, et égal à 0 dans le cas contraire.

Je demanderai d'étudier d'abord le cas où $p=1$ : ce cas présente-t-il un intérêt ?
Puis pour $p = 2$, $p = 3$.

(Je crois que je m'amuserai à programmer cette suite.  :-)

Merci encore.
Boris

PS : Comment est désignée cette fonction ?

Whouf ! J'essaie dans un premier temps de comprendre visuellement dans GeoGebra en faisant varier le curseur $m$.

En tout cas, je retiens le procédé pour expliquer la signification graphique de translation horizontale d'une fonction de structure $f(x -\alpha)$.

Bonjour LionAuthentique,

Merci de ta réponse.

Justement, je me disais que les suites jusqu'ici proposées n'évoluent que par paliers.
Ce que j'aimerais, c'est trouver une suite qui, par sa définition, présente une alternance entre termes croissants et termes constants.

Bonjour Sherlock,

Déjà, il est important de comprendre qu'un polynôme n'est pas nécessairement défini en [tex]x[/tex].

Par exemple, [tex]5\cos^2{x} - 2\cos{x} -3[/tex] est un polynôme du second degré en [tex]cos{x}[/tex] qui se factorise en [tex](\cos{x} - 1)(5\cos{x} + 3)[/tex]

Bonjour par rapport à ce sujet,

En étudiant les quatre configurations : fonction positive et croissante, fonction positive et décroissante, fonction négative et croissante, fonction négative et décroissante —, et en utilisant les rapports entre deux triangles semblables (plus confortables ici que le théorème de Thalès), je me suis rendu compte que

1) la longueur du segment sous-tangent selon l'axe des ordonnées (que je noterai ici [tex]ST_y[/tex]) est toujours égale à [tex]|x_0f'(x_0)|[/tex] puisque cette longueur est égale à la valeur absolue de la différence entre [tex]f(x_0)[/tex] et l'ordonnée à l'origine [tex]f(x_0) - x_0f'(x_0)[/tex] de la tangente en [tex]x_0[/tex] ;

2) la longueur du segment sous-tangent selon l'axe des abscisses (que je noterai ici [tex]ST_x[/tex]) est toujours égale à [tex]\left|\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\right|[/tex].

A partir de là, on peut aisément calculer les longueurs des segments sous-tangents, en commençant par [tex]e^x[/tex] puisque c'était l'origine de mon étonnement :
[tex]f(x_0) = e^{x_0}[/tex] ; [tex]f'(x_0) = e^{x_0}[/tex]
D'où, [tex]ST_y = x_0e^{x_0}[/tex] et [tex]ST_x = = \frac{e^{x_0}}{e^{x_0}} = 1[/tex].
Il n'y a plus d'étonnement !

En généralisant à [tex]Ce^{kx}[/tex], [tex]f(x_0) = Ce^{kx_0}[/tex] et [tex]f'(x_0) = Cke^{kx_0}[/tex].
D'où [tex]ST_y = x_0Cke^{kx_0}[/tex] et [tex]ST_x = \frac{Ce^{kx_0}}{Cke^{kx_0}} = \frac{1}{k}[/tex]

Pour [tex]f(x) = lnx[/tex], [tex]ST_y = 1[/tex] et [tex]ST_x = x_0ln{x_0}[/tex]

Pour [tex]f(x) = ax^2[/tex], [tex]f(x_0) = ax_0^2[/tex] et [tex]f'(x_0) = 2ax_0[/tex]
D'où [tex]ST_y = 2ax_0^2[/tex], ce qui signifie que le sommet de la parabole est le milieu du segment sous-tangent en [tex]y[/tex],
et [tex]ST_x = \frac{ax_0^2}{2ax_0} = \frac{1}{2}x_0[/tex]

Pour [tex]f(x) = ax^3[/tex],  [tex]f(x_0) = ax_0^3[/tex] et [tex]f'(x_0) = 3ax_0^2[/tex]
D'où [tex]ST_y = 3ax_0^3[/tex], ce qui signifie que le point d'inflexion est au tiers du segment sous-tangent en [tex]y[/tex] en partant de l'ordonnée [tex]ax_0^3[/tex],
et [tex]ST_x = \frac{ax_0^3}{3ax_0^2} = \frac{1}{3}x_0[/tex]

En généralisant à [tex]f(x) = ax^n[/tex], on obtient
[tex]ST_y = anx_0^n[/tex], ce qui signifie que le sommet ou le point d'inflexion, suivant  la parité de [tex]n[/tex], est au 1 nième de l'ordonnée [tex]ax_0^n[/tex],
et [tex]ST_x = \frac{1}{n}x_0[/tex]

Comme je dis souvent à mes élèves, « L'incompréhension, à condition qu'elle génère un inconfort, est la clé de la compréhension. »
(Elle n'apporte rien s'il n'y pas d'inconfort.)

Merci, Roro, de m'avoir mis sur la voie !

"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

Notre lycée avait une fois invité Pierre Dac. Un petit c.. lui avait demandé s'il n'était pas gêné par ses initiales.