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#826 Re : Café mathématique » Vieux français » 03-04-2012 11:01:50
Bonjour,
"orchèmes" pourrait venir de Athamas dit, en moderne, : d'Orchomène ; et aurait été à l'époque du texte utilisé pour décrire des comportements de "brouillage" analogues à ceux d'une part pour cacher à Héra Dionysos enfant , et d'autre part infligés par Héra à Athamas lorsqu'elle eut découvert où était caché Dionysos....
C'est une interprétation libre à partir de la source : "Le dictionnaire des mythes" par Nadia Julien
Cordialement
#827 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » un vrai casse tête ! » 03-04-2012 10:39:00
Bonjour,
Merci à jpp d'avoir fort bien mis en valeur les résultats publiés par freddy
A voir cette "mise en valeur" on regrette de ne pas avoir eu l'intuition d'un même rapport r entre les joueurs 2 et 3, 3 et 4, 4 et 5, puisqu'en se suivant dans leur première entrée en jeu, ils sont soumis au même rapport avec leur prédécesseur.
Quelle est l'expression de la probabilité de gagner de chacun des joueurs pour chacune des durées du jeu (nombre de lancers avant gain d'un joueur) ?
D'où r = 16/17, ou r est-il obtenu plus simplement ?
Cordialement
#828 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » A faire perdre la boule à totomn !!! » 03-04-2012 10:13:11
Bonjour,
En renumérotant correctement les boules, on sait qu'on a obtenu l'ordre suivant 2 < 5 < 8 < 11 < 14 et donc le classement partiel suivant : 1 < 2 < 5 < 8 < 11 < 14 < 15.
??? si les boules pèsent de 1g à 15g (pour différencier des positions de 1 à 15), la boule en 1 n'a pas changé de position et pouvait être 13g. en partant avec cet ordre : 13g, 14g, 15g, 1g,..., 12g.
il faudrait 2 pesées supplémentaires entre les plus légères de chacun des triplets précédents
pour être certain que la boule en 1 est plus légère que la plus légère de médianes
Pour avoir le classement partiel suivant : 1 < 2 < 5 < 8 < 11 < 14 < 15. il faudrait donc 5+4+2+2 = 13 pesées ?
Comment se fait alors le reste du classement ?
Cordialement
#829 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » un vrai casse tête ! » 26-03-2012 15:01:13
Bonjour,
@ freddy :Merci pour ces résultats
Je les vois alors que je revenais dire que mes"calculs" étaient erronés (post #38).
J'ai trouvé pourquoi et je sais comment les corriger !
Mes simulations étaient justes ( publiées post #30) et, pour cette fois, j'ai eu tort de ne pas me fier au verdict de l'ordinateur qui n'était pas d'accord avec le raisonnement : c'est bien ce dernier qui n'était pas assez élaboré !
Le chemin des probabilités est vraiment hasardeux...
A+ Cordialement
#830 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » un vrai casse tête ! » 25-03-2012 18:02:05
Bonsoir,
Réponse à la question 2 :
quelle est la probabilité de gagner de chaque joueur ?
Donné par totomm post 30
0,214 ; 0,215 ; 0,202 ; 0,190 ; 0,179Données par jpp post #31
0.2255 - 0.2255 - 0.19817 - 0.18125 & 0.1695
dernier résultat "calculé exactement"
0,23306375 0,23306375 0,18997745 0,17817843 0,16571654
Pour chaque joueur : C'est la somme, pour tous les lancers, des produits
de la probabilité d'être lanceur du dé pour le n-ième lancer et
de la probabilité que le jeu dure (n+2) lancers
Cordialement
[edit]
Le calcul précédent repose sur un tableau 5x5 d'évolution des probabilités
Les sommes des colonnes sont toutes égales à 1 : Il y a 1 joueur dans chaque position
Les sommes des lignes sont toutes égales à 1 : Un joueur passe par chacune des positions
EXEMPLE :
Prob totale de gagner au lancer 10 = 0,54736328125
*******************************************************
Lancer 11
Au lancer 13 prob arret =0,036376953125
Joueur 1 0,2354 0,1953 0,1289 0,2051 0,2354 Prob de gagner : 0,00856137
Joueur 2 0,2354 0,1953 0,1289 0,2051 0,2354 Prob de gagner : 0,00856137
Joueur 3 0,2051 0,2656 0,1953 0,1289 0,2051 Prob de gagner : 0,00746012
Joueur 4 0,1289 0,2813 0,2656 0,1953 0,1289 Prob de gagner : 0,00468922
Joueur 5 0,1953 0,0625 0,2813 0,2656 0,1953 Prob de gagner : 0,00710487
Prob totale de gagner = 0,583740234375 [/edit]
#831 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » un vrai casse tête ! » 24-03-2012 16:41:29
Bonjour,
il faudrait être courageux pour trouver les réponses calculées, plutôt que simulées pour les questions 2 et 3
Je me suis contenté de simulations en utilisant les chiffres de PI, en décimal et en binaire :
Résultats très voisins de ceux de karlun (post #32 précédent) en ramenant au même nombre de jeux !
j'ai utilisé cette technique de simulation : les joueurs sont mis en liste 1,2,3,4,5.
si le tirage est impair, les 2 premiers de la liste sont permutés et le gagnant est alors en tête
ensuite permutation circulaire des 4 suivants en mettant le second en queue
celui qui reste en tête pour 4 tirages gagne le pot. C'est le plus simple que j'aie trouvé...
Les 2 premiers joueurs ont des destins semblables, puisqu'ils ont la même probabilité initiale de se retrouver en tête ou en queue !
cordialement
#832 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » un vrai casse tête ! » 23-03-2012 22:49:38
Bonsoir,
Question 2 - quelle est la probabilité de gagner de chaque joueur ?
Pour les 5 joueurs repérés de 1 à 5, 1 commençant toujours, voici leur probabilité de gagner le pot :
1 0,214
2 0,215
3 0,202
4 0,190
5 0,179
probabilités obtenues par simulation et à confirmer...
@jpp : à moins que freddy n'invalide le calcul que j'ai présenté, il y a des "durées de jeu" avant de pouvoir gagner le pot qui dépassent largement la moyenne = 15 lancers.
Voici le calcul programmé en Python: en effet le calcul "à la main" entraine vers une suite 3-bonacci (comme Fibonacci avec 3 termes)
#Jeu tournant Pair-Impair_2
s,t,u,v=1,1,1,8
longueur,PT,M=4,0,0
while longueur<201:
prob=(1-PT)*s/v
PT+=prob
M+=longueur*prob
s,t,u,v=u,u+s,u+t,2*(v-s)
longueur+=1
print("longueur",longueur-1," Moyenne =",M," Prob totale =",PT)
print("******************************************")
Cordialement
#833 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » un vrai casse tête ! » 22-03-2012 17:58:32
Bonjour,
Après quelque réflexion, voici une solution calculée (et non simulée) :
Soient les suites [tex]s_n,\ t_n,\ u_n,\ v_n[/tex], initialisées respectivement pour n=4 à 1,1,1,8
Soit [tex]s_n=u_{n-1}, t_n=u_{n-1}+s_{n-1}, u_n=u_{n-1}+t_{n-1}[/tex]
Soit [tex]v_n=2\times{(v_{n-1}-s_{n-1})} [/tex]
La probabilité d'un arrêt sur la longueur n est [tex]P(n)=\left(1- \sum_{i=4}^{n-1}P(i)\right) \times\frac{s_n}{v_n}[/tex]
La longueur moyenne [tex]\sum_{i=4}^{n} i\times P(i)[/tex] tend vers 15.0 exactement quand n croit
Avant d'entreprendre les questions 2 et 3 : quand le joueur j a gagné le pot, c'est bien lui qui continue à lancer le dé ? mais les blocages partie p->p+4 sont-ils levés ?
Cordialement
#834 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » un vrai casse tête ! » 21-03-2012 19:47:25
bonsoir,
@ karlun : au post @19 le joueur J0 perd contre J2 au 2ème lancer de dé, il ne devrait donc pas pouvoir être adversaire de J4 au 5ème lancer de dé ? (il ne peut rejouer avant le 2+4=6ème lancer ! )
Après qu'un joueur a gagné le pot, il continue à jouer, mais s'il sort encore 3 nombres pairs successifs, il lui en faut un 4ème pour gagner le pot tout de suite. Comment traitez-vous ce cas du début de séquence ?
Cordialement
#835 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » un vrai casse tête ! » 21-03-2012 10:14:51
Bonjour,
Soit la suite des pairs et des impairs 0,1,0,0,0,0,0,… Pierre commence contre Paul , puis contre Jacques qui continue contre chacun des autres :
Il y a 2 façons de noter les résultats :
A) : Premier lancer par Pierre qui gagne contre Paul,
Second lancer par Pierre qui perd contre Jacques
Troisième lancer par Jacques qui gagne…
B) : Premier lancer par Pierre qui gagne contre Paul,
Second lancer par Pierre contre Jacques qui gagne
Troisième lancer par Jacques qui gagne…
Pierre et Paul commencent la partie.
Gagne la partie celui qui obtient un numéro pair sur la face qui fait face au ciel.
Qui conforte l'interprétation A) pour laquelle il faut 4 lancers pairs successifs à Jacques pour remporter le pot.
Mais l'interprétation B) ne demande que 3 lancers pairs successifs à Jacques pour remporter le pot.
tibo post #15 vient de donner un résultat suivant A),
Mais sans doute freddy pensait que l'on devait interpréter B) en répondant
@totomn, non, deux fois trop long !
Cordialement
#836 Re : Entraide (collège-lycée) » jeu » 20-03-2012 10:15:38
Bonjour,
@ Cédric :
Le symbole & se trouve en minuscule sous la touche 1. il effectue la concaténation des chaines de caractères
Pourquoi mettre ="<=" & CTXT(B2;0) dans le tableur en ligne 2 (et Bn en ligne n) ?
Si on vient de tirer 15 en B2 on obtient la chaine de caractères <=15 en C2 pour traiter la non remise des numéros triés.
En effet : Si l'on tire des numéros sur une liste dans laquelle les numéros 1 à 49 figurent en position 1 à 49 et que l'on a tiré par exemple les positions 9 (parmi 49) puis 21 (parmi 48), alors les numéros 10 à 49 se sont trouvés en positions 9 à 48 puis les numéros 22 à 49 se trouvent en positions 20 à 47, puisque l'on retire les numéros tirés de la liste. On a tiré en fait les numéros 9 et 22.
Puisque le tirage équiprobable se fait sur le nombre de positions restantes, le numéro tiré correspond bien à la position majorée des décalages effectués jusqu'à la position tirée.
si maintenant l'on tire la position 15 (parmi 47), le numéro est bien 15+1=16 ou si l'on tire à nouveau la position 21, le numéro est bien 21+2=23
@ tous : Est-on certain qu'un algorithme séquentiel correct sera correctement exécuté sur le tableur ?
Réponse : NON en général, car dans un tableur l'ordre dans lequel les formules dans les cellules sont exécutées résulte de la "dépendance" des cellules entre elles. Ici le séquentiel sera OK entre lignes de la même colonne
Cordialement
#837 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » un vrai casse tête ! » 18-03-2012 12:02:05
Bonjour,
il faut bien voir que celui qui perd au cours du jeu devra attendre 4 parties avant de pouvoir à nouveau jouer. L'ordre de passage n'est donc pas immuable.
Pour la question 1, seule importe la suite des pair-impair (0 ou 1) des lancers du dé, indépendamment de qui lance le dé.
Si l'on découpe cette suite (illimitée) après chaque groupe de n zéros consécutifs, la longueur moyenne des morceaux obtenus
(ici appelée "durée moyenne du jeu") est exactement [tex]2^{n+1}-2[/tex] donc ici, pour n=4 (5 joueurs) de 30 exactement.
Bien sûr, pour les questions 2 et 3, le résultat est contingent, dépendant de la réalisation de la suite des pairs-impairs.
Pour ramasser le pot, il faut battre les 4 adversaires successivement.
D'une manière générale, celui qui perd la partie numéro p pourra à nouveau rentrer en lice lors de la partie numéro p+4, et pas avant.
Je n'ai pas tenu compte du fait suivant : Si j gagne contre j+1, mais perd contre J+2 ou J+3 ou J=4, il est hors jeu pour un tour.
Et si J+2 gagne contre J+3 et perd contre J+4 la situation devient complexe et gagner contre les 4 adversaires successivement mérite d'être bien défini. Cela ne peut qu'augmenter la "durée moyenne du jeu" !!
Merci à freddy pour cette occasion de faire travailler nos neurones...
Cordialement
#838 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » un vrai casse tête ! » 17-03-2012 23:16:41
Bonsoir,
Cordialement
#839 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » un vrai casse tête ! » 17-03-2012 16:52:16
Bonjour,
1 - quelle est la durée moyenne (exprimée en nombre de partie, et donc de lancer de dé) du jeu ?
Cordialement
#840 Re : Entraide (collège-lycée) » jeu » 17-03-2012 10:55:47
Bonjour,
Le critère dans NB.SI est une chaine de caractères figés. C'est à dire que les caractères y sont interprétés littéralement sans reconnaitre une référence à une case du tableau en colonne B de la même ligne
Si on veut que le critère dépende de la valeur calculée en colonne B, il convient donc de formater la "valeur" du critère, en tant que chaine de caractère, en dehors de la fonction NB.SI
Ce que l'on peut faire sur un tableur est tout autant compréhensible et didactique que la même chose sous ALGOBOX qui est trop verbeux sous prétexte de clarté. Des instructions concises dans un langage concis permettent bien mieux de suivre et comprendre un algorithme...L'important étant de bien suivre un déroulement d'instructions
Cordialement
#841 Re : Entraide (collège-lycée) » jeu » 15-03-2012 17:33:53
Bonjour,
Il est possible de simuler le tirage du loto sur un tableur ( OpenOffice.calc)
En utilisant simplement les formules disponibles ( et non pas le langage de programmation sous jacent)
Par exemple tirage (sans remise) de 7 boules distinctes parmi 49
Remplir A1:A7 des valeurs 49, 48,….,43 (Utiliser Edition/Remplir/Série)
En B1 insérer la formule : =ENT((ALEA()*A1)+1) et recopier (glisser) jusqu'en B7
En C1 mettre 0
En C2 insérer la formule : ="<=" & CTXT(B2;0) et recopier (glisser) jusqu'en C7
Dans cette colonne C se trouve le critère qui assure la non-remise des tirages
En D1 mettre 0
En D2 insérer la formule : =NB.SI(B$1:B1;C2) et recopier (glisser) jusqu'en D7
Enfin en E1 insérer la formule : =B1+D1 et recopier (glisser) jusqu'en E7
Les 7 tirages sans remise sont en colonne E
ALGOBOX me laisse perplexe. Quand on dispose de PYTHON...
Mais je ne me risquerai pas à discuter de la pédagogie dans l'initiation à l'algorithmique...
Cordialement
#842 Re : Entraide (collège-lycée) » comment on calcul aire d'un octogone et dire s'il est regulier ou pas » 14-03-2012 18:47:45
Bonsoir,
Souvent pour un énoncé qui parait compliqué, il y a des choses simples
L'aire d'un carré moins les aires de 4 petits triangles par exemple...Qu'en pensez-vous ?
Cordialement
#843 Re : Entraide (supérieur) » tangente » 11-03-2012 21:20:28
Bonsoir,
@ abdoullah : Avez-vous calculé les composantes du vecteur tangente ?
Je l'ai fait et tracé aussi courbe et tangentes avec un logiciel graphique..... la tangente en 0 est bien suivant l'axe Ox...
Peut-être quelqu'un saura vérifier ma réponse du post #2 ?
Cordialement
#844 Re : Entraide (supérieur) » tangente » 11-03-2012 20:51:45
bonsoir,
la tangente en t = 0 est bien portée par [tex]\vec{i}[/tex]
Il vaut mieux étudier la courbe sous la forme [tex]\rho(t)=\frac{1-cos({\frac{t}{3}})}{2}[/tex]
L'angle formé par la tangente en M avec le vecteur [tex]\vec{OM} \ est\ égal \ à\ \arctan({\frac{t}{2}}) [/tex] donc tend vers 0 avec t
Cordialement
#845 Re : Entraide (collège-lycée) » Equation complexe. » 11-03-2012 13:00:42
Bonjour,
@yoshi : De telles fâcheries sont quelque peu puériles
"mes gros sabots" sont des ouvertures sur de bonnes méthodes apprises à force de travail en sup et spé....
et qui ne diminuent en rien vos propres mérites pédagogiques !
Toute personne demanderesse sur ce forum à le droit d'être renseignée sur les meilleures façons d'aller vers une solution.
Et même ne pas signaler une bonne façon d'arriver à un résultat, c'est priver cette personne d'un atout certain
Pas de vielles rancunes s'il vous plait
Cordialement
#846 Re : Entraide (supérieur) » Calcul de coefficients de Fourier » 10-03-2012 11:47:13
Bonjour,
Peut-être directement pour comparer :
[tex]\sin^4(t)=(1-cos^2(t))^2=\left( 1-\frac{1+cos(2t)}{2}\right) ^2=\frac{3}{8}-\frac{1}{2}cos(2t)+\frac{1}{8}cos(4t)[/tex]
Cordialement
#847 Re : Entraide (collège-lycée) » Equation complexe. » 10-03-2012 10:51:57
Bonjour,
[tex]\Longleftrightarrow{e^{x}cosy=\sqrt{3} \ et \ e^{x}siny=3}[/tex].
Après avoir élevé au carré ,j'ai déterminé ...
Juste une remarque de méthode pour alain01 : on accède directement à[tex]\tan{y}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}[/tex] plutôt que d'élever au carré, ce qui parfois oblige à interpréter ultérieurement entre les + et les -.
ici on pourrait donc avoir [tex]y=\frac{\pi}{3}+k\pi[/tex], mais comme ex est toujours positif, k ne peut être impair.
Cordialement.
#848 Re : Entraide (supérieur) » géométrie! » 29-02-2012 21:20:56
Bonsoir
une autre question il faut une transformation pour C ou non?
O, centre commun à C1 et C2 est sur la médiatrice de AD quand D est sur C1,
savez-vous alors dire simplement si C est bien sur C2 en regardant le carré ABCD, A et D sur C1 et B sur C2 ?
Cordialement
#849 Re : Entraide (supérieur) » géométrie! » 29-02-2012 13:10:49
Bonjour,
Grillé par Fred au moment de poster...
reste juste à montrer que C est bien sur C2 quand D est sur C1....
#850 Re : Entraide (supérieur) » Exercices corrigés de models de calcul » 27-02-2012 17:31:33
Bonjour,
La fonction d'ackermann en Python, appelée pour m=2,n=2
#Fonction d'Ackermann
def A(m,n):
print("A(",m,n,")") #imprimer chacun des appels récursifs
if m==0:
return n+1
else:
if n==0:
return A(m-1,1)
else:
X=A(m,n-1)
return A(m-1,X)
m,n=2,2
print("A(",m,n,") =",A(m,n)) #Imprimer le résultat A(2,2) = 7
Cordialement