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#751 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Le cercle des géomètres disparus ... » 20-09-2012 16:26:27
Bonjour,
Le cercle C" se construit géométriquement avec les notions du niveau Lycée (celles apprises y a 60 ans :-)), en utilisant règle et compas.
Il y a en fait 4 cercles possibles (et seulement 4) tangents à C, C' et à la droite (PS) si on accepte de prolonger le coté [PS] du coté opposé à S par rapport à P.
2 de ces cercles répondent à la question posée, mais pas le plus petit ni le plus grand.
Pour les 2 moyens : Démontrer géométriquement leur égalité donne une démonstration géométrique.
@jpp : Résultats OK. Les calculez-vous en supposant (PR) perpendiculaire à (MN) ou sans cette hypothèse ?
Cordialement
#752 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Le cercle des géomètres disparus ... » 19-09-2012 17:33:29
Bonsoir,
Cordialement
#753 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Le cercle des géomètres disparus ... » 19-09-2012 11:11:28
Bonjour,
Joli problème
Cordialement
#754 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Un solitaire à deux ! ... » 14-09-2012 11:29:15
Bonjour,
N=40 (grille 5x8) n'a que 2 nombres premiers tels que N/4 < p < N/3
Mais on peut utiliser un carré C tel que C > N/2
Exemple de stratégie gagnante :
[tex]22 \Rightarrow 2 \Rightarrow 26 \Rightarrow 13 \Rightarrow 39 \Rightarrow 3 \Rightarrow 21 \Rightarrow 7 \Rightarrow 35 \Rightarrow 5 \Rightarrow 25 \Rightarrow 1 \Rightarrow 37[/tex]
ou
[tex]22 \Rightarrow 11 \Rightarrow 33 \Rightarrow 3 \Rightarrow 21 \Rightarrow 7 \Rightarrow 35 \Rightarrow 5 \Rightarrow 25 \Rightarrow 1 \Rightarrow 37[/tex]
En fait il y a pléthore de tactiques gagnantes pour N, différentes suivant N …..
#755 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Un solitaire à deux ! ... » 05-09-2012 00:46:54
Bonjour,
solution remarquable et subtile : Bravo freddy
Que se passe-t-il si la grille est plus petite, 10x10 ou 11x11 ? Il ne semble plus possible d'appliquer cette stratégie gagnante.
Stratégie gagnante possible encore pour une grille 8x14=112 ou même pour les nombres de 1 à 111 (grille 3x37)
Cordialement
#756 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Sauter pour revenir, ou continuer... » 20-08-2012 11:06:38
Bonjour,
La conjecture est facile à faire : Tour entier N peut être dans une de 7 familles d'entier.
conjecture quelque peu étonnante et inattendue !
Oui, il y a souvent plusieurs chemins et on peut aussi trouver une conjecture sur le nombre de chemins fonction de N dans chaque famille. Il suffit, dans le programme Python proposé, de mémoriser l'antécédent de chaque position avec la position atteinte, ce qui permet de reconstituer, in fine, chacun des chemins possibles (ne pas faire tourner avec N trop grand !)
Pour chacune des 7 familles on peut choisir un algorithme qui recrée un chemin pour des N assez petits, puis "démontrer" que l'algorithme est pertinent pour tout N de la famille!
C'est long, ardu, mais faisable (cela a été fait)....Bon courage ?
Cordialement
#757 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Sauter pour revenir, ou continuer... » 18-08-2012 16:10:29
Bonjour,
Je cherche à mettre en évidence la logique qui lie ces égalités.
Auriez-vous une idée pour avancer (un peu plus)?
Si N est le saut de début, le petit programme python du post #7 met en évidence une régularité dont on peut tirer une conjecture pour tout N. Reste ensuite à démontrer cette conjecture (C'est faisable, en trouvant les bons algorithmes....) :
Saut début = 9 : 6 sauts pour revenir à 0
Saut début = 10 : 6 sauts pour être comme après le 1er saut
Saut début = 11 : 6 sauts pour revenir à 0
Saut début = 12 : 6 sauts pour être comme après le 1er saut
Saut début = 13 : 6 sauts pour revenir à 0
Saut début = 14 : 6 sauts pour être comme après le 1er saut
Saut début = 15 : 6 sauts pour revenir à 0
Saut début = 16 : 8 sauts pour revenir à 0
Saut début = 17 : 8 sauts pour être comme après le 1er saut
Saut début = 18 : 8 sauts pour revenir à 0
Saut début = 19 : 8 sauts pour être comme après le 1er saut
Saut début = 20 : 8 sauts pour revenir à 0
Saut début = 21 : 8 sauts pour être comme après le 1er saut
Saut début = 22 : 8 sauts pour revenir à 0
Saut début = 23 : 10 sauts pour revenir à 0
Saut début = 24 : 10 sauts pour être comme après le 1er saut
Saut début = 25 : 10 sauts pour revenir à 0
Saut début = 26 : 10 sauts pour être comme après le 1er saut
Saut début = 27 : 10 sauts pour revenir à 0
Saut début = 28 : 10 sauts pour être comme après le 1er saut
Saut début = 29 : 10 sauts pour revenir à 0
Saut début = 30 : 12 sauts pour revenir à 0
Saut début = 31 : 12 sauts pour être comme après le 1er saut
Saut début = 32 : 12 sauts pour revenir à 0
Saut début = 33 : 12 sauts pour être comme après le 1er saut
Saut début = 34 : 12 sauts pour revenir à 0
Saut début = 35 : 12 sauts pour être comme après le 1er saut
Saut début = 36 : 12 sauts pour revenir à 0
Saut début = 37 : 14 sauts pour revenir à 0
Saut début = 38 : 14 sauts pour être comme après le 1er saut
Saut début = 39 : 14 sauts pour revenir à 0
Saut début = 40 : 14 sauts pour être comme après le 1er saut
Saut début = 41 : 14 sauts pour revenir à 0
Saut début = 42 : 14 sauts pour être comme après le 1er saut
Saut début = 43 : 14 sauts pour revenir à 0
Saut début = 44 : 16 sauts pour revenir à 0
Cordialement
#758 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Sauter pour revenir, ou continuer... » 15-08-2012 09:23:57
Bonjour,
@karlun : la première approche est bien d'observer ce qui se passe pour des petites valeurs de N
Il y a mieux que le tableur pour cela, car, pour N donné, il faut trouver la "profondeur" minimale dans "l'arbre" des sauts. Une liste des valeurs atteintes à chaque profondeur est donc le bon moyen. Ci-dessous un outil simple programmé sous PYTHON.
On constate alors une certaine régularité (très surprenante) dans les minima obtenus pour des valeurs successives de N : On démontre ensuite que cette régularité est valable pour tout N...
Cordialement
#Python 3.2
#Sauts avec force diminuant de 1 à chaque saut
def sauter(nb,force,liste,N):
newliste=[]
for i in liste:
if i==force:
print("Saut début =",N, " :",nb, " sauts pour revenir à 0")
return 0
elif i==force+1 and nb>1:
print("Saut début =",N, " :",nb, " sauts pour être comme après le 1er saut")
return 0
else:
if i>force:
if not i-force in liste:newliste.append(i-force)
if i+force<=3*N:
if not i+force in liste:newliste.append(i+force)
sauter(nb+1,force-1,newliste,N)
for s in range(9,45):
L=[s]
sauter(1,s-1,L,s)
#759 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » jamais 203 ... » 14-08-2012 17:35:46
Bonjour,
On montre même que l'aire du triangle CDE est inférieure à 1,5...
comment trouver caché "un nombre aux harmonieuses proportions ..." ?
Cordialement
#760 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Sauter pour revenir, ou continuer... » 14-08-2012 16:50:44
Bonsoir,
@freddy :
Voilà un problème dont la solution, difficile elle aussi, mérite certainement d'être aussi recherchée…
Cordialement
#761 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Sauter pour revenir, ou continuer... » 14-08-2012 11:56:30
Bonjour,
Il n'est pas si facile de trouver un bon mode de raisonnement pour un problème de minimum.
L'idée de cet insecte sauteur dont les forces déclinent est tirée d'un problème déjà posé différemment sur ce forum
Un exemple pour N=18 au premier saut, la force restante est 17 (soit N-1)
ensuite les sauts sont : -17, +16, +15, +14, -13, -12, -11, -10 Soit 8 sauts après le premier saut pour revenir à son point de départ X=0.
Autre exemple pour N=19 au premier saut, la force restante est 18 (soit N-1)
ensuite les sauts sont : +18, -17, +16, +15, -14, -13, -12 soit 7 sauts pour arriver en X=12 avec une force restante de 11 (soit X-1)
Cordialement
#762 Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Sauter pour revenir, ou continuer... » 08-08-2012 08:56:24
- totomm
- Réponses : 10
Bonjour,
Voici un insecte sauteur au pied d'un mur vertical. Pour son premier saut, dans une direction perpendiculaire au mur, il a la force de parcourir une distance horizontale de N unités (N entier et supérieur à 8).
Sa force décline à chacun des sauts, toujours effectués perpendiculairement au mur, de sorte que chaque distance parcourue diminue d'une unité par rapport à la distance parcourue par le saut juste précédent.
S'il se rapproche du mur de départ, il ne peut s'y cogner pendant le saut, sous peine de se détruire.
S'il s'éloigne du mur de départ, il doit rester à une distance inférieure à 3xN du mur de départ, sous peine de ne plus distinguer son point de départ et d'errer indéfiniment...
Quel est le minimum de sauts qu'il doit faire, fonction de N entier supérieur à 8, soit pour revenir à son point de départ, soit pour se retrouver, avec une force amoindrie, comme lors de son premier saut, c'est-à-dire à une distance X du mur de départ avec une force de X-1 pour le saut suivant.
#763 Re : Café mathématique » Loto et tiroirs. » 01-08-2012 09:34:16
Bonjour,
Dans le même ordre d'idée, combien faut il fabriquer de grille de 5 numéros parmi 12 pour retrouver toutes les combinaisons de 3 numéros parmi 12.
Toujours par application du principe des tiroirs, il semblerait que [tex]\frac{220}{10}=22[/tex] suffisent.
Mais ça ne dit pas comment on les fabrique.
L'invocation du principe des tiroirs est inappropriée puisqu'une "combinaison de 3 numéros parmi 12" peut se retrouver dans plusieurs des "combinaisons de 5 numéros parmi 12" qu'il faut choisir pour retrouver toutes les "combinaisons de 3 numéros parmi 12"
(Si E et F sont deux ensembles finis,il faut une une application de E dans F pour appliquer le principe des tiroirs)
En l'occurrence le meilleur minimum fabriqué et "montré" est 32, sans qu'aucune démonstration n'ait pu être présentée...
Pour le loto en question, prenez un très gros ordinateur si vous voulez utiliser la même procédure...
Cordialement.
#764 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » jamais 203 ... » 29-07-2012 17:00:43
Bonjour,
Depuis un WIFI occasionnel, voici une démo qu'il faudrait sans doute "étoffer" :
Si l'enveloppe convexe des 5 points non alignés comporte seulement 3 ou 4 de ces points, la preuve est immédiate car au moins 2 triangles, inclus dans un même triangle, ont des aires disjointes.
Soit donc un pentagone convexe ABCDE avec A de coordonnées (0;0) et B de coordonnées (a;0) et C, D, E d'ordonnées positives.
Hypothèse : Supposons que chaque triangle, d'aire supérieure à 2, a une aire inférieure à 3 :
Les points C, D et E doivent se trouver dans la bande des ordonnées comprises entre 4/a et 6/a pour que les aires des triangles CAB, DAB, EAB soient comprises entre 2 et 3.
Une bande analogue créée à partir du coté BC impose la position de E dans un parallélogramme et limite la taille du segment CE.
Alors, dans le quadrilatère ABCE, les 4 triangles ont une aire supérieure à 2 et inférieure à 3.
On montre alors (analytiquement) que l'aire du triangle CDE reste inférieure à 2, (car hauteur sur base sont limitées) ce qui contredit l'hypothèse.
Il existe vraisemblablement une meilleure solution, mais en regardant géométriquement peut-être un peu vite, cette approche parait viable.
Cordialement
#765 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Aire minimale dans un carré » 06-07-2012 21:09:16
Bonsoir,
Profitant d'un WIFI de passage :
Soit G un point intérieur au rectangle EFCD, intersection d'une droite D1 issue de A qui coupe le segment CD en N et d'une droite D2 issue de B qui coupe le segment CD en M.
Soient I et J les intersections des droite D1 et D2 avec le segment EF.
Soit h la distance du point G au segment EF.
Pour tout point G ainsi construit, les points de l'ensemble [tex]\mathcal{E}[/tex] couvrent les triangles GIJ et GMN dont la somme S des aires ne dépend que de h.
[tex]S = \frac{2h^2-2h+1}{1+h}[/tex] dont le minimum vaut [tex]2\sqrt{10}-6[/tex] pour [tex] h = \frac{\sqrt{10}-2}{2}[/tex]
Cordialement
#766 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Aire minimale dans un carré » 28-06-2012 21:04:36
Bonsoir,
Regardez avec un point d'intersection G de droites à l'intérieur de EFCD : cela conduit au minimum....les aires ne dépendant plus que de la position verticale de G ( suivant la direction AD )
cordialement (Sans internet pendant quelque temps à venir)
#767 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Aire minimale dans un carré » 27-06-2012 19:39:31
Bonsoir,
@ jpp : Sur la bonne voie, comme toujours....
mais l'intersection de 2 droites qui coupent les segments AB et CD n'est pas forcément sur le segment CD (C'est votre point M...)
#768 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Dans une ferme du Poitou, un coq aimait une pendule ... » 26-06-2012 16:40:33
Bonsoir,
Avec la définition du retard explicité par freddy, et sans vouloir griller sa réponse :
Si le retard entre 2 sonneries de l'heure sur la franc-comtoise (grande aiguille sur XII) est de 11 minutes TU,
la grande aiguille fait 1 tour de cadran en 71 minutes TU et 267 tours exactement en 267 * 71 =18957 minutes TU
I minute sur le cadran de la franc-comtoise dure 71 / 60 minutes TU.
Voir le post #6
Cordialement
#769 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Aire minimale dans un carré » 24-06-2012 09:19:34
Bonjour les amis,
Cet énoncé est recopié d'un ouvrage de la librairie Vuibert que j'ai déjà cité.
problème G14 ! Catégorie "Problèmes divers" accolés à ceux posés dans les "Olympiades internationales"
et de la même veine : Réfléchissez ! mais problème pas trop difficile
MAIS yoshi A RAISON : j'ai omis 4 fois le mot segment rajouté ci-dessous :
Soient un carré ABCD de 2 cm de coté, E le milieu du segment AD et F celui du segment BC
Soit l'ensemble [tex]\mathcal{L}[/tex] des droites qui coupent les segments AB et CD
Soit l'ensemble [tex]\mathcal{E}[/tex] des points du rectangle CDEF situés sur au moins une des droites de [tex]\mathcal{L}[/tex].
Si P et Q sont 2 points de [tex]\mathcal{E}[/tex] et si PQ est parallèle à AB, alors tous les points du segment PQ appartiennent aussi à [tex]\mathcal{E}[/tex].
Question subsidiaire : Où situez-vous cette aire minimale ?
Je n'ai pas modifié autrement les notations ! J'ai cependant ajouté la question subsidiaire pour agrémenter...
Je trouvé si étonnant qu'il puisse avoir une solution que j'ai cru qu'il intéresserait les fidèles de Bibmath
Cordialement
#770 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Dans une ferme du Poitou, un coq aimait une pendule ... » 20-06-2012 17:48:27
Bonjour,
On peut aussi se pencher sur la façon de mesurer le retard de la pendule !
La pendule retarde de 7 minutes par heure . sa grande aiguille balaie donc 53 mn par heure.
Ce retard est en minutes de la pendule : Prenons un retard de 6 minutes, c'est mieux parlant, donc la grande aiguille de la pendule ferait 9 tours de son cadran en 10 heures TU.
Mais si on mesure un retard de 6 minutes TU quand la pendule sonne ses propres heures : la grande aiguille de la pendule fait 10 tours de son cadran en 11 heures TU.
A chacun de choisir la bonne façon de traiter le retard de la pendule....
Cordialement
Edit : retard (pris pour exemple) de 6 minutes et non pas 10 !
#771 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Dans une ferme du Poitou, un coq aimait une pendule ... » 06-06-2012 09:23:38
Bonjour,
Mille excuses : Je me suis trompé sur le sens du changement d'heure et j'ai donc rectifié le post #6
Le passage à l'heure d'été fin mars fait avancer les montres qui indiqueront 3 heures(été) à 2 heures (hiver).
Si je garde un référentiel horaire sur l'heure d'hiver (les heures de février), le premier mai l'horloge qui retarde sonnera à 18 h 58 dans ce référentiel qui sera bien 19h58 en heure d'été, 2 minutes avant le début du journal de 20 heures
Cordialement
#772 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Dans une ferme du Poitou, un coq aimait une pendule ... » 05-06-2012 20:53:44
Bonsoir,
Tenant compte du passage en heure d'été fin mars, et en heure d'hiver pendant février,
Cordialement
EDIT : modifié car erreur sur le sens de l'heure d'été
#773 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Tous les polynômes sont constants » 05-06-2012 10:08:24
Bonjour,
Pour faire avancer un tantinet le truc :
Quand fred écrit "Supposons la propriété vraie pour n=0,1,...,k"
il adopte implicitement le fait que le domaine de définition de [tex]x[/tex] se réduit à une constante puisque [tex]x \mapsto x^1[/tex] figure dans cette hypothèse. Il n'y a pas alors d'erreur !
Bien sûr, si l'on pense que le domaine de définition de x est "habituellement" l'ensemble des réels, on ne peut que crier à l'erreur, Mais FRED ne le précise pas, et c'est donc à lui de le dire !
Inutile de placer avec grandiloquence "L' E.V. des polynômes plongés dans un bon corps"…
Cordialement
#774 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Tous les polynômes sont constants » 04-06-2012 12:04:19
Bonjour,
Supposons la propriété vraie pour n=0,1,...,k,
....
Alors, où est l'erreur?
Il n'y a pas d'erreur puisque d'après l'hypothèse la fonction [tex]x \mapsto x^1[/tex] est constante !
Donc [tex]\forall{n}, \ x \mapsto x^n \ est \ constante [/tex]
Cordialement
#775 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Au moins 6 ... » 03-06-2012 11:45:17
Bonjour,
J'aime aussi les démonstrations qui s'appliquent à des cas pouvant exister. Par exemple on peut trouver 4 points dans le plan situés à des distances entières les uns des autres, et dont une seule de ces 6 distances est divisible par 3.
Le triangle ABC dont AB=74, BC=76, CA=50 possède un point M sur le coté AC tel que MA=29, MB=71 et MC=21
Le triangle ABC dont AB=30, BC=31, CA=37 possède un point M intérieur tel que MA=26, MB=20 et MC=13
On a donc alors pu prouver de façon simple que, pour tout ensemble de 4 points du plan situés à des distances entières les uns des autres, au moins une de ces 6 distances est divisible par 3.
Prenons donc maintenant la " Généralisation à n > 3 points" du post #50 qui conduit a conclure :
Pour un ensemble de 9 points, il y a 36 distances possibles et donc au minimum 6 de longueur multiple de 3.
Il ne peut exister d'ensemble de 9 points (dans le plan situés à des distances entières les uns des autres) ayant 6, 7,...8 seulement de ces distances de longueur multiple de 3 :
Vous voyez pourquoi ?
L'opération [tex]\binom{n}{4}/\binom{n-2}{2}[/tex] a-t-elle un sens pour l'ensemble et les sous-ensembles considérés ?
Cordialement