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Je garde cette fonction en mémoire !

Je me suis en effet maintes fois rendu compte que les élèves savent calculer l'image d'une valeur (f(0), f(-3), f(5), etc.), mais ne savent pas calculer l'image d'une fonction, y compris en Terminale, tout simplement parce qu'ils n'ont pas compris que la définition d'une fonction décrit sa logique de calcul, et que dans $f(x)$, la variable $x$ peut représenter n'importe quoi.

Bonjour Alberth,

Ce qu'il faut bien comprendre, c'est que la négation du ET n'est pas "ni, ni" :
Par exemple, la négation de « catholique ET Français » est « non catholique » (il y a le choix) OU « non Français » (il y a encore plus de choix).
(J'ai eu un prof de maths qui donnait malicieusement comme exemple de négation « catholique et Breton » ... C'est pour cela que j'ai mémorisé cet exemple. :-)

Par contre, la négation du OU est bien "ni, ni" :
La négation de « catholique OU Français » est « non catholique » ET « non Français ».
Exemple : « bouddhiste et Italien »

Ces raisonnements s'appliquent quel que soit le nombre de termes. Exemples :

Condition 1, et condition 2, et condition 3, ... , et condition $n$
« Dans le cas contraire » signifie « Au moins une des conditions n'est pas vérifiée. »

Condition 1, ou condition 2, ou condition 3, ... , ou condition $n$
« Dans le cas contraire » signifie « Aucune condition n'est vérifiée. »

Je cite ces deux exemples car les juristes maîtrisent souvent insuffisamment ces notions, et rédigent des contrats qui aboutissent parfois à des discussions sans fin au tribunal (d'autant plus que les juges maîtrisent eux aussi insuffisamment ces notions).

Bonjour,

Les deux règles énoncées par Michel me sont précieuses.
Merci, Michel ! (Chacune de tes réponses me fait avancer dans mes connaissances et compréhensions, que je peux ensuite transmettre, en mentionnant à chaque fois le site bibmath.net, et en accentuant ce que mes échanges sur les forums m'apportent, et apportent sans doute à ceux qui suivent nos discussions.)

L'application de ces deux règles aux polynômes de degré 1, 2, 3 et 4 permet la généralisation suivante, pédagogiquement très plaisante :

• le graphe de tout polynôme de degré 1, $ax + b$, possède un centre de symétrie, d'abscisse $- \dfrac b {1a}$, et le polynôme peut être retranscrit sous sa forme canonique $a(x - \alpha)^1 + \beta$, avec $\alpha = - \dfrac b {1a}$ , et $\beta = 0$ ;

  
  

  (A ce propos, on présente toujours la droite $y = ax + b$ comme étant la translation verticale de $b$ de la droite $y = ax$ ; on voit ici que la droite peut être aussi présentée comme une translation horizontale de $- \dfrac b a$ de cette droite $y = ax$.)

• le graphe de tout polynôme de degré 2, $ax^2 + bx + c$, possède un axe de symétrie vertical d'abscisse $- \dfrac b {2a}$, et le polynôme peut être retranscrit sous sa forme canonique $a(x - \alpha)^2 + \beta$ , avec $\alpha = - \dfrac b {2a}$ , et  $\beta = c - \dfrac {b^2} {4a}$ ;

• le graphe de tout polynôme de degré 3, $ax^3 + bx^2 + cx + d$, possède un centre de symétrie d'abscisse $- \dfrac b {3a}$ , et le polynôme peut être retranscrit sous sa forme canonique $a(x - \alpha)^3 + \beta(x - \alpha) + \gamma$ , avec  $\alpha = - \dfrac b {3a}$ , $\beta = c - 3a\alpha^2$ , $\gamma = d + a\alpha^3 + \beta\alpha$ ;

• le graphe de tout polynôme de degré 4, $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$, dont les coefficients vérifient l'égalité $b^3 - 4abc + 8a^2d = 0$, possède un axe de symétrie vertical d'abscisse $- \dfrac b {4a}$ , et le polynôme peut être retranscrit sous sa forme canonique $a(x - \alpha)^4 + \beta(x - \alpha)^2 + \gamma$ , avec $\alpha = - \dfrac b {4a}$ , les expressions de $\beta$ et de $\gamma$ ne présentant pas d'intérêt car déjà trop complexes ;

• plus généralement, le graphe de tout polynôme de degré $n$ dont les coefficients vérifient certaines conditions (qu'il devient rapidement très fastidieux d'établir à la main) possède un centre de symétrie (si le degré $n$ est impair) ou une axe de symétrie vertical (si $n$ est pair), d'abscisse $\alpha = - \dfrac b {na}$, et le polynôme peut être retranscrit sous sa forme canonique qui est un polynôme en $(x - \alpha)$, dont tous les termes sont de puissances impaires de $(x - \alpha)$ si $n$ est impair, ou de puissances paires si $n$ est pair.

Je dis souvent à mes élèves que les formules dont on les charge — je compare ce flot de formules à une benne déversant son contenu sur les pauvres élèves — ne sont, le plus souvent, qu'un cas particulier d'une logique générale, qui, elle, n'a pas véritablement besoin de formule.
En voici un bon exemple !

Merci de votre attention !

Si la courbe du polynôme admet un axe de symétrie, je pense que la "forme canonique" devra plutôt s'écrire sous la forme $a(x - \alpha)^4 + \gamma(x - \alpha)^2 + \epsilon$ de façon à reproduire la courbe $y = ax^4 +\gamma x^2 + \epsilon$, centrée sur l'axe des ordonnées.

Bonjour Eust_4che

Oh là, je ne vais pas si loin (ce que tu écris dépasse mes faibles connaissances :-) !!

Comme on explique aux lycéens que tout polynôme du second degré se met sous sa "forme canonique" $a(x - \alpha)^2 + \beta$ (sans préciser ce que signifie "canonique" ; je ne le sais pas moi-même), ce qui, graphiquement, se traduit par une translation de la courbe $y = ax^2$, horizontalement de $\alpha$ (vers la droite si $\alpha > 0$ , vers la gauche si $\alpha < 0$), et verticalement de $\beta$ (vers le haut si $\beta > 0$ et vers le bas si $\beta < 0$), j'ai voulu reproduire la même logique avec un polynôme du 3ème degré :
translation horizontale (par $\alpha$) et translation verticale (par $\gamma$) de la courbe $y = ax^3 + \beta x$ centrée sur l'origine.
(Si $a$ et $\beta$ sont de même signe, la courbe est strictement monotone ; si $a$ et $\beta$ sont de signes contraires, la courbe présente deux extrema.)

Bonjour Michel,

Tout à fait !  :-)

Mais je pense que cela doit quelque peu exciter la curiosité des lycéens qui d'aventure lisent nos échanges, et leur montrer qu'on peut aller plus loin que le bout du nez des formules simplistes dont on les gave.

Pour ce qui est de " l'ixolâtrie ", je fais apprendre la tableau des dérivées non pas par rapport à $x$, mais par rapport à "variable", ou "quelque chose", en expliquant que la variable (ou "quelque chose") peut être n'importe quoi, une variable "classique" comme $x$, ou une expression plus ou moins compliquée.

Cette façon de procéder permet ensuite aux élèves de dériver, avec une facilité qui les étonne, des fonctions délirantes à six ou sept niveaux d'imbrication, très loin des timides fonctions composées à deux niveaux données dans les exercices, dont le niveau interne est le plus souvent une simple fonction affine.

Effectivement, bien que rigolote, mon interprétation était quelque peu erronée.  :-)

Ô combien !! Par exemple, l'équation d'un cercle de centre $O$ et de rayon 2 en coordonnées polaires est tout simplement $\rho = 2$. C'est autrement plus simple que $x^2 + y^2 = 4$ !

J'écrivais dans un de mes posts que mes élèves de Terminale sont incapables de convertir une droite $y = ax + b$ en représentation paramétrique parce qu'ils ne comprennent pas la relation entre le (mal nommé) coefficient directeur et le vecteur directeur. (Le seul moment où on voit les représentations paramétriques est la Terminale options maths, et encore limitées à la seule droite dans l'espace.)
Pas plus qu'ils ne sont capables d'écrire la représentation paramétrique d'un cercle de centre $C(x_c, y_c)$ et de rayon $R$.

Je donne parfois comme exercice de trigo à des élèves de Première et de Terminale une représentation paramétrique d'une courbe de Lissajous et leur demande de déterminer où elle commence, dans quel sens elle tourne, et de repérer des points caractéristiques pour les valeurs classiques du paramètre ($\frac {\pi}{6}$, $\frac {\pi}{4}$, $\frac {\pi}{3}$, etc.). C'est un excellent exercice pour bien assimiler les fonctions sinus et cosinus.

Tu touches à un point fondamental : cette véritable religion des coordonnées cartésiennes — je propose "cartésiennolâtrie" —, en réalité, oui, très limitative, et générant une "complexité ahurissante" dès qu'on sort un tant soit peu des gentils cas standard.

Mais casser, ne serait-ce qu'un peu, cette cartésiennolâtrie, et expliquer que la notion de fonction ne se traduit pas systématiquement en coordonnées cartésiennes, c'est s'attaquer aux fondements mêmes, et aux certitudes, de la quasi totalité de l'enseignement des maths du secondaire.

Vaste ambition...

Voilà, je reviens.

Tout d'abord, rassure-toi, j'ai interprété ta "complexité ahurissante" comme étant une certaine expression qu'on pourrait poliment paraphraser en « Vous passez votre temps à avoir des mœurs contre-nature avec une certaine catégorie d'insectes ! ». C'est cela ?  :-)
Mais ces "mœurs contre nature" ont quand même permis de découvrir avec un sublime étonnement ce qu'explique Michel...

Pour en revenir au fond de ton intervention, le problème est que l'enseignement au secondaire ne transmet QUE l'aspect "fonction puissance" $f(x) = x^n$, avec, dans la très grande majorité des cas, $n$ entier — je ne vois jamais, par exemple, expliquer la double interprétation possible de $x^{\frac 3 2}$, cube de la racine carrée ou racine carrée du cube —, les coniques n'étant qu'effleurées en Terminale par quelques rares profs, et encore de façon très succincte et très vague. (Je suis toujours profondément étonné des infinies précautions de l'enseignement à cacher aux élèves "comment on fait les bébés". :-)

Donc, oui, on passe de la parabole à l'hyperbole en prenant $n = 2$ dans le premier cas, et $n = -1$ dans le second, la "transition" avec $n = 0$ n'ayant aucun intérêt. Après tout, il ne s'agit que de fonctions puissance !

Et on n'explique jamais ce qu'est une parabole (et en quoi les antennes paraboliques sont incontournables), ni ce qu'est une hyperbole ! (Je n'ai vu qu'une seule fois dans les notes de cours et polycopiés — intuitivement, je dois avoisiner les dix mille heures de cours, peut-être plus — la mention de foyer et de directrice, mais sans expliquer pourquoi, précisément, la courbe $y = x^2$ est une parabole.)
Présenter la parabole comme étant la "frontière" — je préfère "frontière" à "asymptote" — entre l'ellipse et l'hyperbole (en considérant le cercle comme une ellipse particulière) relève d'une totale incongruité !

Tout rebelle et tout "traceur d'autres voies" que je sois, j'ai moi-même été pédagogiquement formaté dans ce sens à travers tous les manuels scolaires sur lesquels j'ai travaillé. (J'achète quasi systématiquement les manuels de mes élèves, ce qui, à la longue, représente une petite fortune.)

Donc, oui, indéniablement, « dans l'esprit des pédagogues il y a eu un souci de simplification dans les explications » — je dirais plutôt "simplisme".
Chaque simplisme a un coût ; ce simplisme pédagogique a quant à lui a un coût incommensurable, car ne comprenant pas la logique de fond de ce qu'on leur enseigne, les élèves se sentent rapidement dépassés par les très nombreuses formules dont on les gave ad nauseam.

Je teste systématiquement mes compréhensions et mes voies nouvelles sur mes élèves, même les plus jeunes (voir la discussion portant sur une somme de cinq termes élevée à la puissance 4 expliquée à un élève de 5ème ; autre exemple, j'ai expliqué l'année dernière à une élève de 4ème le principe du calcul d'une aire ou d'un volume par le procédé d'intégration simple, double ou triple).

Je testerai donc cette idée de continuité entre le cercle devenant ellipse, l'ellipse devenant parabole, la parabole devenant hyperbole, en expliquant qu'en dehors des cas simples systématiquement enseignés, les équations peuvent paraître un peu compliquées. (Les élèves admettent parfaitement que le détail de notions puisse ne pas encore être à leur portée à partir du moment où ils en comprennent la logique générale.)

Merci donc, Ernst, de me faire évoluer dans mes approches pédagogiques sur ce point !

Bien cordialement,
B.

Bonjour Bernard,

Merci pour l'envoi !
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Peux-tu m'indiquer comment tu as procédé dans GeoGebra ?

J'avais oublié de préciser : toute parabole à axe vertical d'équation $y = ax^2 + bx + c$ est le résultat d'une translation horizontale et d'une translation verticale de la parabole $y = ax^2$. Tu verras cela en Première, lorsque vous étudierez la forme dite canonique du polynôme de second degré.