Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Pour s'affranchir des appellations "abscisses" et "ordonnées", on peut effectivement simplement utiliser les expressions "axe portant la variable" et "axe portant le résultat".

Bonjour Bernard, bonjour à toutes et à tous,

Effectivement, le claquement provient du fait que le bout franchit le mur du son (343 m/s à 20°C) et peut même dépasser Mach 2.

Voici les explications que ChatGPT m'a aimablement fournies :

Moi : A quoi est dû le claquement d'un fouet ? Il semble que le claquement est dû au fait que le bout du fouet atteint une vitesse proche du mur du son ?

Chat : Oui, exactement !
Le claquement d’un fouet est un phénomène physique très étudié, et vous avez bien identifié le point central : l’extrémité du fouet (la lanière, ou “mèche”) dépasse la vitesse du son.

Voici le déroulement :

1. Mouvement initial : quand on lance un fouet, on imprime une accélération à sa base (le manche).
2. Propagation de l’onde : cette accélération se propage le long de la lanière, qui est effilée : son épaisseur et sa masse diminuent vers l’extrémité.
3. Conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement : à mesure que l’onde avance vers des parties plus légères, la vitesse augmente, un peu comme quand on fait tourner une corde en la tenant d’un côté : l’extrémité bouge beaucoup plus vite que la main.
4. Vitesse supersonique : les mesures à haute vitesse ont montré que l’extrémité atteint environ Mach 2 (deux fois la vitesse du son).
5. Bang miniature : quand elle franchit la vitesse du son, l’air est comprimé brutalement → on entend un petit bang sonique, ce fameux claquement.

Donc : ce n’est pas la lanière qui frappe sur elle-même ou contre le manche, mais bien une onde de choc supersonique produite par la pointe du fouet.

Anecdote : c’est sans doute le premier “objet fabriqué par l’homme” à avoir dépassé la vitesse du son (bien avant les avions).
______________________

J'ai demandé ensuite quelles doivent être les caractéristiques du fouet pour que sa pointe atteigne Mach 2.
Je vous épargne sa réponse, trop technique.

______________________

Je reviens à ma petite lubie : comment enrichir la fonction initiale $0,8x$ et $\sin x - 0,2x$ pour que sa représentation graphique donne l'impression d'un vrai fouet, avec donc des oscillations amorties ?

Bonjour bridgslam, bonjour tout le monde,

Justement, je me suis plusieurs fois dit que la courbe ne ressemble pas à un vrai fouet dans la mesure où l'amplitude des oscillations est constante. Comment introduire, sans doute en utilisant une fonction exponentielle judicieusement élaborée, une diminution des oscillations, et donc des courbures ??

Ce serait assez fantastique de pouvoir présenter une telle courbe !!

Question: Une fonction continue en valeurs est dite de classe $C^0$ ; une fonction continue en valeurs et en pentes est dite de classe $C^1$ ; une fonction continue en valeurs, en pentes et en courbures est dite de classe $C^2$.

Y a-t-il une désignation de même ordre pour une fonction présentant une ou plusieurs discontinuités, par exemple pour $f(x) = 0,05x^2$ pour $x \le 6$ et $f(x) = 0,05x^2 + 1$ pour $x>6$ ?

Bonjour à toutes et à tous,

La fonction proposée par jelobreuil en #10 est particulièrement intéressante — merci encore, Jean-Louis !! — car il faut regarder vraiment attentivement le point de jonction pour déceler qu'il ne correspond pas à une portion rectiligne, et qu'il n'y a donc pas continuité de courbure.

Contrairement aux apparences, Il ne s'agit pas d'un VRAI point d'inflexion !

Je peux donc montrer un exemple de fonction par morceaux dont la courbe ne présente pas de continuité de courbure, mais de façon quasi imperceptible, et une autre fonction par morceaux présentant, elle, une discontinuité de courbure très marquée.

(Imaginez que vous conduisez une voiture ou, pire, une moto, que vous prenez le confortable virage à droite à bonne allure, et qu'en sortie de celui-ci vous découvrez brusquement le virage à gauche... :-)

Bon week-end ensoleillé !

PS : Ah, bon ?! On ne voit en Terminale que la continuité des valeurs ?! pas celle de la dérivée ?! a fortiori pas celle de la dérivée seconde ?!
Heureusement que je ne suis pas soumis à inspection !!  :-)

Bonjour Bernard,

Merci pour ta proposition qui ajoute un peu de fantaisie du fait de la sinusoïde "montante" :

Bonjour Jean-Louis,

Oh que la courbe est jolie !

Merciii Jean-Louis !

Ta fonction me fournit un exemple intermédiaire : une fonction qui n'est pas $C^2$ mais dont la jonction semble douce.

Certes. Mais je trouve intéressant de montrer une fonction qui présente un "décrochage de courbure", et donc une allure très inhabituelle.

Cela me permettra d'expliquer que la seule connaissance du signe de la dérivée seconde ne suffit pas : à signe égal, c'est aussi, et peut-être même davantage, la valeur absolue de la dérivée seconde qui importe.

Je montrerai donc les deux fonctions car, réunies dans un même exemple, elle présentent une certaine valeur pédagogique et amorcent la notion de courbure, pas du tout enseignée au lycée.

Merci bridgslam

Je me rends compte que j'avais oublié de préciser « ayant de plus le même nombre dérivé, non nul, de part et d'autre de cette valeur.

Et j'aimerais aussi des courbes de natures différentes, pas celle d'un polynôme juxtaposée à celle d'un autre polynôme.

Bonsoir (ou bonjour) Doc, bonsoir (ou bonjour) tout le monde,

Je n'ai pris connaissance de ton message que tout récemment. (J'ai été pas mal absent sur le forum ces jours-ci.)

Dont acte :
J'ai expliqué cette distinction à mon élève de quatrième fétiche, ainsi qu'à un élève de Terminale ce matin.
Tous deux ont trouvé que la distinction est très simple à comprendre.

J'ai aussi expliqué que si on demande à GeoGebra de tracer la courbe $y = \sqrt x$, comme il place par défaut le repère au centre de la fenêtre, on voit le tracé de la fonction définie par $f(x) = \sqrt x$.
Mais si ensuite on décale le repère vers la gauche de façon à ce que l'axe des ordonnées touche le bord gauche de la fenêtre, on voit le tracé de l'application $f(x) = \sqrt x$.

Bonjour ellv,

Je te conseille l'ouvrage intitulé "Histoires de calcul infinitésimal" sous la direction de Guillaume Moussard, aux éditions ellipses.

Pour l'accroche, les paradoxes de Zénon : Achille ne rattrapant jamais la tortue, la flèche n'atteignant jamais sa cible, semblent plus appropriés.

L'anecdote de la pomme est très probablement apocryphe, et Newton n'a jamais évoqué dans ses écrits le parallèle avec la pomme tombant de l'arbre, à plus forte raison lui tombant sur la tête (thème utilisé maintes et maintes fois fois par Gotlib dans ses Rubric-à-brac :-). Ce parallèle a été raconté après la mort de Newton par des personnes qui ont côtoyé ou rencontré Newton, dont Voltaire. (L'élaboration de la théorie de la gravitation s'est construite sur une longue période, et ne peut être due à seulement à une observation anecdotique. Il faut peut-être plutôt voir un symbole de connaissance faisant référence à l'épisode d'Adam et Eve.)

L'exponentielle, tout comme le logarithme ou toute autre fonction, est une nombre sans dimension.

Je vois donc l'expression $y = e^x$ comme étant $y = 1 \times e^x$, le coefficient $1$ ayant pour dimension une longueur, et $e^x$ signifiant "exponentielle  de la valeur $x$".

Si un repère est sans dimension, quel sens ont alors les exercices demandant de calculer une distance, une aire, ou un volume ? (Il y en a plein en Terminale.)

Je reviens à ma remarque initiale :  $x= \cos \alpha$ et $y = \sin \alpha$ signifient les coordonnées d'un point du cercle de rayon 1,  alors que $x= 2\cos \alpha$ et $y = 2\sin \alpha$ signifient les coordonnées d'un point du cercle de rayon 2.
Il ne me semble pas qu'un cercle soit une entité sans dimension.