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Oups c'est dim(ker J)=n-1

Bonjour,

voici mes calculs :

A= aI +b[tex]\begin{pmatrix} 0 &1&........&1\\1&0&........&1\\1&........\\1&........&0&1\\1&.......&1&0\end{pmatrix}[/tex]

soit A = aI -bI +b [tex]\begin{pmatrix} 1 &1&........&1\\1&1&........&1\\1&........\\1&........&1&1\\1&.......&1&1\end{pmatrix}[/tex]

j'appelle J=[tex]\begin{pmatrix} 1 &1&........&1\\1&1&........&1\\1&........\\1&........&1&1\\1&.......&1&1\end{pmatrix}[/tex]
remarque [tex]J^2[/tex]=nJ  et J est de rand 1

J est une matrice symétrique réelle, donc diagonalisable. J a donc n valeurs propres (distinctes ou avec multiplicités)

on applique le  théorème du rang (rg(f)+dim(kerf)=dim E) donc rg(J)+dim (ker J)=n donc dim (ker(J)=0 et donc
0 est une valeur propre de J de multiplicité n-1

ensuite :
1)le déterminant de j = le produit des valeurs propres (c'est un résultat de cour) : det(J)=0
2)la trace de j ( sommes des éléments de la diagonale) est la somme des valeurs propres (c'est un résultat de cour): nx1=[tex]0*n +\lambda[/tex] donc l'autre valeur propre est [tex]\lambda = n[/tex]

l'ensemble des valeurs propres de U est le specte de U SP={0,n}

pour trouver le s.e.v associé à KerU on résoud UX= 0 avec X=[tex]\begin{pmatrix} x_1 &\\x_2\\.\\.\\x_n\end{pmatrix}[/tex]

on trouve donc [tex]x_1+x_2+........+x_n = 0[/tex]

pour trouver le s.e.v associé à ImU on résoud UX= nX , on trouve [tex]x_1=x_2=........=x_n = 0[/tex] dont la base le vecteur [tex]\begin{pmatrix} 1 &\\1\\.\\.\\1\end{pmatrix}[/tex]

J est diagonalisable donc il existe une matrice de passage P telle que J=P^-1D P avec D matrice diagonale.
On a également I=P^-1I P

donc A = (a-b)P^-1I P +bP^-1D P = P^-1 ((a-b)I  +bD) P
(a-b)I  +bD est une matrice diagonale, donc A est diagonalisable,ses valeurs propres sont sur la diagonale D_A avec

D_A=(a-b)I  +bD =b[tex]\begin{pmatrix} a-b &0&........&0\\0&a-b&........&0\\0&........\\0&........&a-b&0\\0&.......&0&a-b+nb\end{pmatrix}[/tex]

non, dans f(x,y) x et y ne sont pas dépendant l'un de l'autre.

en regardant ce que vous avez écrit :  5x = 2 (mod22) je pense que vous ne pouvez mettre mod 22 vous devez laisser mod 66

Bonjour,

il me semble que 15x=-60 [66] donc x=-4[66]

Bonjour,

R correspond-il au reste de Lagrange ou au reste Young?

bonjour,

J'ai peut-être une piste :

au rang n-2  Un -Un-2 = $\dfrac{1}{n-2}$ soit Un = $\dfrac{1}{n-2}$ + Un-2
au rang n-1 on a  Un+1 -Un-1 = $\dfrac{1}{n-1}$ soit Un+1 = $\dfrac{1}{n-1}$ + Un-1

$\dfrac{1}{n }$ -Un -Un+1 = $\dfrac{1}{n }$ -($\dfrac{1}{n-2}$ + Un-2)-($\dfrac{1}{n-1}$ + Un-1)

en remontant dans les indices, on peut trouver une formule

Bonjour,

Pour passer de la ligne 2 à 3 il faut vous souvenir de la définition de $\overline{z+z'}=\bar z + \bar z'$ de l'appliquer et faire le calcul.

Bonjour,

Autre manière de dire pour la question (1) vous avez y (t) =1/(x(t)) donc x(t) =1/(y(t)), vous pouvez calculer x(t)' et vous remplacer dans l'équation (A).

Bonjour,

Comme la fonction est 2-$\pi$ périodique, on peut calculer l'intégrale sur n'importe quel intervalle de longueur $2\pi$, ici il faut calculer $a_0$ entre $-\pi$ et $\pi$ au lieu de 0 et $2\pi$

Bonjour,

En calculant b_n vous devez trouver quelque chose avec du $(-1)^n)$ , pour n pair cela vaut 0 et n impair donc du type 2n+1 c'est non nul.

Bonjour,

Il faut bien faire un DL de Fourier.
Voici quelques indications  sur une manière.

La fonction f(x)=x([tex]\pi[/tex]-x) est continue par morceaux sur R et 2π-périodique. On peut donc calculer ses coefficients de FOURIER.

f(x) =[tex]\dfrac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n cos(nx) + b_n sin(nx))[/tex] (1)

Comme f est impair les coefficients a_n sont nuls quelque soit n [tex]\in N^*[/tex]. il reste à calculer  les b_n.

[tex]b_n=\dfrac{2}{\pi} \int_0^{\pi}f(x) sin(nx)dx=\dfrac{2}{\pi} \int_0^{\pi}x(\pi -x) sin(nx)dx[/tex]

Comme est continue par morceaux sur R et 2π-périodique et de classe C¹ par morceaux sur R, vous pouvez appliquer le théorème de DIRICHLET qui dit que la série de FOURIER de f converge vers f sur R. Donc pour tout x [tex]\in R[/tex] on peut calculer (1).

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