Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,laura-karine
dis-toi que tu y arriveras et ce sera chose faite.
Comme on l'a dit plus haut,  [tex]g'\left(x\right)={\left(\frac{2x}{e}\right)}^{'}-{\left(1\right)}^{'}-{\left(\ln \left(x\right)\right)}^{'}[/tex].
rappelle-toi que la dérivée d'une constante est nulle, 1 ,0 [tex]\pi[/tex] et e sont tous des constantes. Tu as alors: 
[tex]{\left(\frac{2x}{e}\right)}^{'}=\frac{{\left(2x\right)}^{'}\times \,e\,-\,{\left(e\right)}^{'}\times \,2x}{{\left(e\right)}^{2}}\,[/tex] [tex]=\frac{2\times e-0\times 2x}{e^2}=\frac{2\times e-0}{e^2}=\frac{2\times e}{e\times e}[/tex]  et en simplifiant par e on obtient [tex]{\left(\frac{2x}{e}\right)}^{'}[/tex] [tex]=\frac{2}{e}[/tex]
[tex]{\left(1\right)}^{'}=0[/tex]
et  [tex]{\left(\ln x\right)}^{'}=\frac{1}{x}[/tex]
Puis en remplaçant dans l'expression de g d'en haut ça te donne:  [tex]g'\left(x\right)=\frac{2}{e}-0-\frac{1}{x}[/tex] [tex]\Rightarrow g'\left(x\right)=\frac{2}{e}-\frac{1}{x}=\frac{2\times x}{e\times x}-\frac{1\times e}{x\times e}[/tex]
d'où [tex]g'\left(x\right)=\frac{2\;x-e}{x.e}[/tex]
Alors ça marche? Cependant il faut toujours simplifier une fraction qui peut l'être simplifiée.
Passe une bonne soirée!!!

Salut,
merci je jette pas l'éponge je vais essayer de mettre tout ça dans l'ordre.  Je suis bien d'accord avec vous.
a+

Bonjour à tous,
après toutes vos contributions voici ce que j'ai retenu:
1°) on voit que [tex]f(x)\;est\;tel\;que[/tex] [tex]\begin{cases}f(1) &= 1\\f(x)&=\begin{cases} x\;si\; x\in]-\infty,1[\\-x+2\;si\,\,x \in]1,+\infty[\end{cases}\end{cases}[/tex]       [tex]et[/tex]       [tex]g\left(x\right)[/tex]=[tex]\begin{cases}{-x-2 \;si x\in]-\infty,1[\\\\\ x+1\;si x \in[1,+\infty[\end{cases}[/tex]

(Pour le point x=1 on a prolongé la fonction f par continuité car à première vu je l'ai pas définie en 1 et j'ai fait [tex]\lim_{x \to 1^-}f(x)=\lim_{x \to 1^+}f(x)=1.)[/tex]
Est-il possible de le faire ?

* Vérifions si f et g sont des applications de [tex]\;\mathbb{R}\to \mathbb{R}[/tex] :
- On a [tex]\forall \,x\,\in\mathbb{R}\,;f\left(x\right)\in\,]-\infty,1][/tex] :f n’est donc pas une application de [tex]\mathbb{R}\to \mathbb{R}[/tex]  mais plutôt une application de [tex]\mathbb{R}\to ]-\infty,1[[/tex].
- On a également On a [tex]\forall\,x\,\in\mathbb{R}\,;g\left(x\right)\in\,]-\infty,-3][/tex]: g n’est donc pas une application de [tex]\mathbb{R}\to \mathbb{R}[/tex]  mais plutôt une application de [tex]\;\mathbb{R}\to ]-\infty,-3][/tex].

* Vérifions si f et g sont surjectives :
-Par définition f est surjective si [tex]\forall y\,\in\,]-\infty,1] ;\,\exists\,x\,\in\mathbb{R}\,/\, f\left(x\right)=y [/tex]. Or f est une application de [tex]\mathbb{R}\to ]-\infty,1][/tex] donc si [tex]y\in\,]-\infty,1[[/tex] alors [tex]y[/tex] a nécessairement un antécédent par f . f est alors surjective.
-g est une application de [tex]\mathbb{R}\to ]-3,+\infty][/tex] donc si [tex]y\in\,]-\infty,1[[/tex] alors [tex]y[/tex] a nécessairement un antécédent par g . g est alors surjective.

* Vérifions si f et g sont injectives :
-Par définition f est injective si [tex]\forall (x,x')\in\mathbb{R}\;,\;x\neq x'\Rightarrow f(x)\neq f(x')[/tex].
Or [tex]si\;x\in]-\infty,1[,\;f\nearrow\;de\;-\infty\;à\;1[/tex] puis [tex]si\;x\in]1,+\infty[,\;f\searrow \;de\;1\;à\;-\infty[/tex] et on a [tex]f(0)=f(2)=0.[/tex] f n'est donc pas injective.
-Si [tex]si\;x\in]-\infty,1[,\;g\searrow\;de\;-\infty\;à\;1[/tex] puis [tex]si\;x\in]1,+\infty[,\;g\nearrow \;de\;2\;à\;+\infty[/tex] et on a [tex]f(2)=f(-5)=3.[/tex] g n'est donc pas non plus injective. 

2°) *[tex]Si\;x\;\in]-\infty,1[,\;(f+g)(x)=x-x-2=-2[/tex]
     *[tex]Si\;x\;\in[1,+\infty[,\;(f+g)(x)=-x+2+x+1=3.[/tex] Ce qui donne [tex](f+g)(x)\;=[/tex][tex]\;\begin{cases}{-2 \;si\;x\in]-\infty,1[\\\\\ 3\;si\;x\;\in[1,+\infty[\end{cases}[/tex]
     *[tex]Si\;x\;\in]-\infty,1[,\;(f\times g)(x)=x\times (-x-2)=-x^2-2x[/tex]
     *[tex]Si\;x\;\in[1,+\infty[,\;(f\times g)(x)=(-x+2)\times (x+1)=-x^2+x+2.[/tex]

Ce qui donne [tex](f\times g)(x)[/tex][tex]=\begin{cases}{-x^2-2x \;si\;x\in]-\infty,1[\\\\\ -x^2+x+2\;si\;x\;\in[1,+\infty[\end{cases}[/tex]

Ouff!!! Et j'attends votre avis par rapport au prolongement par continuité de f(x).

Merci à tous, votre aide à été décisive.

Merci, je vois que si x devient la variable ça ne change rien à l'exercice.
C'est clair je vais poster ma rédaction, après avoir lu la page que tu me proposes pour écrire en LaTeX.
a+

Bonsoir à tous,
en utilisant l'éditeur de courbe paramétrée en coordonnées cartésiennes, comme a dit Freddy, ça marche comme sur des roulettes et on obtient la courbe de la réciproque en un clin œil.
Dans les coulisses, il m'a dit de faire "t varie de 0 à 2; que
[tex]x\left(t\right)=t[/tex] et  [tex]y\left(t\right)={t}^{2}{e}^{-t}[/tex]
puis tu traces une seconde courbe paramétrée de la manière suivante : t varie toujours de 0 à 2, y(t)=t et  [tex]x\left(t\right)={t}^{2}{e}^{-t}[/tex]". J'obtiens alors sans me fatiguer la courbe ci dessous:

Merci à tous.
Je rappelle que ma fonction est définie par [tex]f(x)=\left\lbrace \begin{array}{ll}
x+ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)\;si \;x\;\in]-\infty,-1[ \\x{e}^{-x}\;si\; x\; \in[0,+\infty[
\end{array}\right.[/tex].

Bonsoir,
merci beaucoup tu me sauve la vie!!!

Bonjour,
Je crois avoir compris. Je vais essayer de passer à la pratique et encore une fois merci pour tout.

Bonsoir.
Si je comprends bien ta base compte n vecteurs.
Si dimA+dimB = n alors, à mon avis, A et B seraient deux sous-espaces vectoriels
supplémentaires car on a  [tex]E\,=\,A\oplus B[/tex].
Merci a bientôt.