Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Comparer v_n+1 à 3 revient à comparer [tex]v_n+\frac{9}{v_n}[/tex] à 6
comme [tex]v_n[/tex] est toujours >0, cela revient à comparer [tex]v_n^2-6v_n+9 = (v_n-3)^2 [/tex] à 0

et comme un carré est toujours >0 on a bien toujours [tex]v_{n+1} >3[/tex]

Peut-on être plus convaincant ?

Bonjour,

@jpp : Démonstration excellente, surtout l'utilisation du cercle circonscrit au triangle ADE

Cordialement

Bonjour,

Peut-être la démonstration n'est-elle pas donnée parce qu'elle figure dans le livre est qu'elle est trop simple ?

La théorie des coniques dit que le rayon de courbure à l'extrémité du grand axe est
[tex]r = \frac{b^2}{a}[/tex] (1)     a et b étant les longueurs des demi-axes

Prenant pour axe horizontal des abscisses la diagonale du carré, il faut ici : [tex]a=b+2r[/tex]  (2)
éliminant r entre (1) et (2) il vient : [tex] \frac{a}{b} = 2 \ soit \ a=4r [/tex]  (3)

Inscrire les ellipses dans un carré dont une diagonale est sur l'axe des abscisses revient à inscrire un cercle de rayon a dans un losange dont
la demi-diagonale sur l'axe des abscisses a pour longueur [tex] c\sqrt{2}[/tex] et
la demi-diagonale sur l'axe des ordonnées [tex] c\sqrt{2}\frac{a}{b} [/tex]

le coté du losange a alors pour longueur [tex] c\sqrt{10} [/tex]
l'aire d'un quadrant du losange donne : hauteur x hypoténuse = produit des 2 cotés de l'angle droit
soit [tex] ac\sqrt{10}=2c^2\frac{a}{b}=4c^2 \ \ soit\ \  r\sqrt{10} = c[/tex] d'après (3)

Cordialement

Bonsoir,

Si personne ne se décide, il faut bien un peu de courage... :

Soir a la longueur de BC et b la longueur AC
On admet connues les formules
[tex] r=\frac{ab}{a+b+c}\ \ (1)\ \ \ \ et\ \ r=\frac{a+b-c}{2}\ \ (2) [/tex]

IA² = (b-r)² + r² =b² - 2br + 2r²   ; utilisant (2) on a :
IA²= b² -b(a+b-c) +[(a+b-c)²]/2
développant et simplifiant :
IA² = c²-ac = c(c-a)  de même IB² = c(c-b)

IA².IB² =c²(c-a)(c-b) = c²( c² -ca -cb +ab)
on a : c² -ca -cb = -c(a+b-c) = -2cr d'après (2)
ab étant le double de l'aire on a : ab=r(a+b+c) ; c'est la formule (1)
on arrive à :
IA².IB² = c²[-2cr +r(a+b+c)]  = c²r(a+b-c) ;  à nouveau (a+b-c) = 2r d'après (2) donc
IA².IB² = 2c²r²   C.Q.F.D.

On arrive de la même façon à une autre formule surprenante :
Si H est le point de contact du cercle de centre I avec [AB] : 2.HA.HB = ab, donc HA.HB est l'aire du rectangle

Cordialement

Bonjour,

A la manière de nerosson : "Surement Monsieur A n'aime pas sa cravate..." :-)

Edit : 2 cravates mais un seul t (j'en avais mis 2)

bonjour,

bientôt plus de temps pour les occupations habituelles....
Ce problème est exactement traité par jpp dans le post #38 du "cercle des géomètres disparus" !!!

Cordialement

Bonjour,

Que m'inspire votre rédaction ?
Franchement je vois peu à en retirer dans la mesure où l’élève doit montrer qu'il a raisonné correctement et en fonction du respect des principes que vous rappelez.

Je trouve cependant le texte un peu trop prolixe et personnellement par exemple j'aurais directement écrit en réponse à 2) : "Par construction le triangle ADE est rectangle en E donc le sommet E est sur le cercle de diamètre [AD]
Un élève qui raisonne ainsi prouve qu'il applique le cours ?

de même, j'aurais directement utilisé : la droite (BH) est la hauteur du triangle ABC passant par B et est parallèle à la droite DC elle aussi perpendiculaire à [AC] d'après 1)

Mais c'est trop facile de le dire aujourd'hui. je me rappelle m'être épanoui en géométrie  en 2nde..., En 4ème ce fut l'algèbre.

La concision ne peut-elle aider à garder une vue globale du problème posé ?

Cordialement

Bonjour,

@ yoshi : Tout à fait d'accord sur les principes.
j'ai regardé avec intérêt votre rédaction car j'avais traité facilement le problème sans le rédiger.
Eh bien j'ai décroché sur la rédaction de la question 4 et j'ai cherché un moment pourquoi.

Ne le prenez pas pour une critique mais plutôt pour un questionnement :
il ne fallait pas que je me focalise sur le rappel
[tex]\begin{cases}(EH) \perp (BC)\\(EH) \perp (DC)\end{cases}[/tex]
avec la ligne suivante qui ne collait pas dans mon esprit (par réflexe automatique ?)
"Les 2 droites (BC) et (DE), toutes deux perpendiculaires à (HE), sont donc parallèles "

car il faut lire
[tex]\begin{cases}(EH) \perp (BC)\\(EH) \perp (DE)\end{cases}[/tex]
et je me disais que vous ne pouviez pas avoir fait d'erreur...

Cordialement

Bonjour,

@ amatheur : Un peu d'humour ne nuit pas...
Si vous pensez qu'écrire "Soit R le point d'intersection des deux droites (D) et (OT)" ou
"Soit R le point d'intersection de la droite (D) et de la droite (OT)" vous mènera mieux vers la solution, je suis prêt à modifier.

Cordialement

Bonjour,

Un vrai plaisir à lire, ce post #8
Ce n'est qu'une remarque joyeuse ! Merci nerosson, même si Fred ne vous pardonne pas !

Bonjour,

Toujours PAS la bonne formule qui est :   [tex]6^2 \times (\frac{\pi - arcos(\frac{6.6}{13})}{2}) [/tex]

Cordialement