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#6776 Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Retour à la source ... » 03-09-2009 18:52:43
- freddy
- Réponses : 4
Hello,
en me baladant sur la toile, j'ai découvert une petite pépite que je vous livre sans plus attendre.
Deux amis, statisticiens émérites, jouaient une partie d'un jeu qu'ils avaient mis au point pour échapper à la répression des fraudes.
Il s'agit de lancer un dé. Si un nombre pair sort, le premier A1 marque un point. sinon c'est A2. Le premier qui a atteint un total de point égal à T remporte les mises de départ. L'astuce consiste à transformer la valeur des mises en unités de valeur dont l'équivalence en dollar australien n'est connue que d'eux.
Le pot était composé ce jour là de 102.40 unités de valeur. Après 16 lancers, ils durent cesser de jouer. ls se répartirent le pot de telle sorte que A1 récupéra 72,65 unités de valeur. Il faut dire que ce dernier avait deux points d'avance sur son ami.
Quel principe ont ils utilisé et quelle était la valeur de T ?
Bon courage !
#6777 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Comment survivre à des cannibales ? » 03-09-2009 18:37:19
Salut,
la proposition "chacun dit le contraire de ce qu'il voit" ne donne que 75 % de chance de survie au binôme de matheux. Il faut passer à 100 %.
Donc c'est faux cher ami, désolé !
(...)
#6778 Re : Café mathématique » Tirage aléatoire au moyen d'une table » 03-09-2009 14:49:31
Salut,
a priori, ça ressemble à une roulette de casino, sauf qu'il faudrait en savoir plus sur la façon dont la balle est propulsée.
Pour s'assurer du caractère aléatoire du procédé, il y a des tests simples et intuitifs à mettre en oeuvre.
Le tout premier est de vérifier, en procédant par échantillonnage assez long, que les n° ont la même fréquence d'apparition ; le second test naturel est de soumettre les fréquences observées au test du CHI-2 ; le troisème est de calculer l'espérance mathématique et la moyenne des tirages.
Il y a des mètres linéaires de littérature sur ces questions, je recommande de faire simple au départ.
(...)
#6779 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Devinettes de retour de vacances » 03-09-2009 13:36:26
Salut,
je comprends mieux pourquoi tu n'as pas besoin de café !!! :-)
Le second pb est ab.cde - f.ghi = 33.333, soit une soustraction élémentaire.
Bb
#6780 Re : Entraide (supérieur) » equation différentielle y''+(1+q)y=0 Mines 2002 [Résolu] » 03-09-2009 10:57:47
Bonjour,
je vais la faire autrement.
Pour tout x tel que y = f(x) est non nul, on a (équation à variables séparées) :
[tex]\frac{y"}{y} = -(1+ q)[/tex]
Sur la base des hypothèses sur f et f', on déduit que f"/f = - 1, donc ...
S'il y a mieux, je suis preneur, bien entendu.
Bb
#6781 Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Devinettes de retour de vacances » 03-09-2009 09:43:05
- freddy
- Réponses : 10
Bonjour,
Au cours de la pause déjeuner lors du retour des vacances de mes enfants des Côtes d'Armor, mon plus jeune fils me soumit deux sujets amusants (à faire avant la fin du repas et à la main seulement !).
Le premier consistait à résoudre l'équation suivante :
[tex](\, \_ - \_ \div \_\,) \times \_ = 10[/tex]
Les espaces sont à remplir avec 4 entiers distincts égaux à 3, 4, 7 et 8.
Le second consistait à résoudre l'équation suivante :
.. ... - . ... = 33 333
avec les 9 entiers distincts compris entre 1 et 9, sans omission ni répétition !
Je n'eus pas besoin de plus de deux cafés. Et vous ?
(...)
#6782 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Comment survivre à des cannibales ? » 03-09-2009 09:09:07
Salut,
une seule bonne réponse suffit. Donc oui aux deux questions, cher yoshi ! Donc je te laisserais le soin de donner la réponse si personne d'autres n'y arrive d'ici quelques jours (je pense en particulier au camarade nerosson, qui adore les nombres premiers et les calculateurs programmables ...).
Bienvenue camarade Othman ! Il suffit qu'un des deux donne sa bonne couleur, mais s'ils sont deux c'est un +, bien sûr !
Bon courage.
#6783 Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Comment survivre à des cannibales ? » 02-09-2009 19:01:16
- freddy
- Réponses : 15
Bonsoir,
un copain (toujours le même) vient de me soumettre un sujet amusant.
Il s'agit de deux matheux en vadrouille dans la jungle amazonienne qui viennent d'être capturés par la dernière tribu cannibale du continent.
Leur chef, qui avait fait l'ENS d'Ulm lors de son passage à Paris, après le MIT de Boston et avant le Polytechnicum de Lausanne, leur donna une chance de survie de la manière suivante.
Demain matin, à 8 heures locales, ils seront coiffés d'une calotte qui peut être noire ou blanche.
Au moment où le chef leur fait signe de parler, ils doivent simultanément donner la couleur de la calotte qui couvre leur chef. Il suffit qu'au moins un des deux matheux trouve la couleur de sa calotte pour qu'ils soient tous les deux grâciés. Sinon, ils sont le prochain déjeuner de la tribu.
Précisions :
Entre le moment où on les couvre et celui où ils déclinent la couleur de leur calotte, interdiction sous peine de mort subite de communiquer entre eux de quelque manière que ce soit.
Bien entendu, chacun peut voir la couleur de la calotte de l'autre.
Durant la nuit, les deux matheux mirent au point un stratégie qui leur donnait 100 % de chance de survie.
Trouveriez vous laquelle ?
PS : interdiction de répondre si énigme déjà connue, ça gâcherait le plaisir de trouver pour les autres. Merci pour eux.
(...)
#6784 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Aimez vous les financiers ? » 02-09-2009 18:34:35
Hi,
il suffit de remarquer que la dérivée seconde de [tex](1+r)^{-k}[/tex] par rapport à r est égale à [tex]\frac{k(k+1)}{(1+r)^{k+2}}[/tex] pour arriver au résultat suivant, sauf erreur :
[tex]K = 10\times \frac{(1+r)^2 (1-r)(2+r)}{r^3}[/tex]
Bis bald
#6785 Re : Entraide (supérieur) » Intersection d'ensembles [Résolu] » 02-09-2009 16:00:34
Salut,
l'inclusion (large) se voit immédiatement en reprenant les définitions des ensembles images :
[tex]f(A \cap B) = \{f(x) \,/ \, x \in A \cap B \}[/tex]
[tex]f(A) \cap f(B) = \{f(x) \,/\, x \in A \} \cap \{ f(x) \,/\, x \in B \}[/tex].
C'est plus clair comme cela ?
#6786 Re : Entraide (supérieur) » equation différentielle y''+(1+q)y=0 Mines 2002 [Résolu] » 30-08-2009 18:53:16
Re,
et que vaut Theta ?
L'exo dit "Montrer qu'il existe Rho et Theta telles que" ... il ne demande pas de formuler des hypothèses supplémentaires sur la fonction q, dont la continuité et l'intégrabilité assure une certaine régularité pour ne pas rendre l'équation différentielle erronée, ni, non plus, sur f(0) et f'(0) (mais je sais que Maple en a besoin, lui).
La nullité de q est la conséquence des hypothèses relatives à f et f' (f étant une solution de l'eq. diff.)
Et je ne suis pas certain que tu aies droit à Maple à l'oral d'un concours ... qui ne prend pas beaucoup de temps.
(...)
#6787 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Aimez vous les financiers ? » 30-08-2009 11:19:32
Salut !
1) le montant K que doit placer Grand'Pa vérifie l'équation suivante avec r >0 :
[tex] K= \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1.000}{(1+r)^k} [/tex]
[tex] K=\frac{1.000}{1+r} \times \lim_{n\to \infty} (1+ \cdots +\frac{1}{(1+r)^{n-1}}) [/tex]
[tex] K= \frac{1.000}{r}[/tex]
2)
[tex] K= \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k\times 50}{(1+r)^k} [/tex]
[tex] K=50 \times(1+r) \times \lim_{n\to \infty} (\frac{1}{(1+r)^2}+ \cdots +\frac{n}{(1+r)^{n+1}}) [/tex]
[tex] K=-50 \times(1+r) \times \lim_{n\to \infty} (\frac{1}{(1+r)}+ \cdots +\frac{1}{(1+r)^n})' [/tex]
[tex] K=-50 \times(1+r) \times (\lim_{n\to \infty} (\frac{1}{(1+r)}+ \cdots +\frac{1}{(1+r)^n}))' [/tex]
[tex] K= 50 \times\frac{1+r}{r^2} [/tex]
3) p taux d'inflation quelconque mais constant qui vérifie [tex] r > p [/tex]
[tex] K= \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1.000\times (1+p)^{k-1}}{(1+r)^k} [/tex]
[tex] K= \frac{1.000}{1+p}\times \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n (\frac{1+p}{1+r})^k [/tex]
[tex] K= \frac{1.000}{(1+p)\times j} [/tex]
avec [tex] 1+j = \frac{1+r}{1+p} [/tex]
soit finalement :
[tex] K= \frac{1.000}{(r-p)} [/tex]
Fort de ces résultats, qui trouverait la réponse à la dernière question ? :-)
#6788 Re : Entraide (supérieur) » equation différentielle y''+(1+q)y=0 Mines 2002 [Résolu] » 29-08-2009 16:28:25
Hello,
voici comment on procède.
pour tout x >= 0, l'hypothèse sur f conduit à avoir :
[tex] f(x)=\rho(x)\cos(\theta(x)) [/tex] et :
[tex] f'(x)=\rho'(x)\cos(\theta(x))-\rho(x)\theta'(x)\sin(\theta(x)) [/tex]
On en déduit que :
[tex] \rho(x)= C > 0[/tex]
[tex] \theta(x) = -x[/tex]
Et puisque f est solution de l'équation différentielle, on montre que q(x) = 0 pour tout x >= 0 (car f"=-f)
On a donc bien montré l'existence des deux fonctions réelles permettant de construire f solution de l'équation différentielle (en vérifiant domaine de définition et ensemble image)
(...)
#6789 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Zoologie de Pi » 27-08-2009 17:24:02
Hello tutti !
Bien, il y a peu de volontaires ! Êtes vous si jeunes, tous ? Et toi, ami nerosson qui sait tout, tu sèches ??? :-)
Bon, voici la devinette.
Tout d'abord, on sait qu'un oiseau est une bête à ailes, donc on écrit : [tex] OISEAU= \beta L [/tex]
et l'équation devient : [tex] \frac{CHEVAL}{OISEAU} = \frac{CHEVAL}{\beta L} [/tex]
On simplifie haut et bas par L et il reste CHEVA au numérateur.
CHEVA est le verlan de VACHE qui est, comme tout le monde le sait, une bête à pis.
On a donc :[tex] \frac{CHEVAL}{\beta L} = \frac{CHEVA}{\beta} =\frac{\beta \pi}{\beta }= \pi [/tex]
QED
Bis bald
#6790 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » L'horloge "enchantée". » 27-08-2009 11:51:11
Salut Yoshi,
tu t'en sors bien, camarade ...
#6791 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » L'horloge "enchantée". » 26-08-2009 18:02:42
Objection, votre Honneur !
Découvrir après seulement une heure de temps qu'il y a une nouille dans le potage, je n'achète pas, et encore moins si j'étais en Suisse.
Je pense que la solution de Néron (qui était aussi la mienne, a priori) est plus confirme au sens de l'énoncé.
Sinon, il eût fallu écrire qu'on s'en aperçut très vite, rappela l'horloger derechef qui, lui, tomba sur l'heure exacte !
Et pour un horloger suisse, il n'y a pas pire enfer que d'avoir construit un mouvement d'horlogerie inexact.
J'en ai connu un, Parrain de guerre de Madame ma mère, vivant à Neuchâtel, qui a cherché très longtemps, dans les années 50, le mouvement à mettre au point, pour une horloge domestique, la règle des 400 ans.
(...)
#6792 Re : Entraide (supérieur) » equation différentielle y''+(1+q)y=0 Mines 2002 [Résolu] » 26-08-2009 16:38:56
'lut
non, me semble complet, le sujet ...
(...)
#6793 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » L'horloge de la Gare » 26-08-2009 16:37:23
je dis que cela me dérange pas trop !
De toute façon, je reconnaitrais Yoshi les yeux fermés, et Nerosson, la bouche cousue.
Ainsi que Barbichu, parfaitement reconnaissable à sa parfaite concision, genre :
"Salut,
non !
++
Barbichu"
Bis bald
#6794 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Pelote de laine » 26-08-2009 16:34:10
Salut,
justement, en parlant de PI, c'est que que vous trouvez la solution à mon petit sujet amusant (cf zoologie de PI) !
(...)
#6795 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » L'horloge de la Gare » 25-08-2009 19:11:43
OK, j'ai mieux.
Soit X le délai en minutes écoulé. X doit vérifier (9*60-X)/12 = X
On trouve X = 9*60/13 . Ce qui signifie que l'aiguille des heures est positionnée à 41 min et 32 sec et que celle des minutes est symétriquement à 30 - (9*60/13-30) = 18 min et 28 sec.
Là, je pense que c'est bon !
#6796 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » L'horloge de la Gare » 25-08-2009 18:08:08
'lut,
je reprends : si x donne les minutes, h = 8 + x/60 donne les heures.
On résoud x = 8 + x/60 et on trouve x = 12*8/11 soit 8h 43 min et 38 sec
Pa rapport à la demi-heure, j'ai 13 min et 38 secondes en excès.
Par symétrie, l'aiguille des des minutes est à 30*60 - (13*60+38) sec, soit 16 min et 22 sec.
Donc proche de 8 h et 17 min.
C'est mieux ?
#6797 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » L'horloge de la Gare » 25-08-2009 17:38:17
8 h 16 min et 22 sec !
#6798 Re : Entraide (supérieur) » equation différentielle y''+(1+q)y=0 Mines 2002 [Résolu] » 25-08-2009 17:35:53
De rien, ce fut un plaisir car en effet, ce texte se lisait assez bien.
Bb
#6799 Re : Entraide (supérieur) » equation différentielle y''+(1+q)y=0 Mines 2002 [Résolu] » 25-08-2009 17:22:08
Bonjour,
pourrais-je avoir une solution ou une indication pour l'exercice (Oral Mines 2002):Soit q une fonction de [tex]\mathbb{R}^+[/tex] vers [tex]\mathbb{R}[/tex] continue et intégrable.
Soit f une solution non nulle de l'équation différentielle :
y''+(1+q)y=0
Montrer qu'il existe [tex]\rho : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^{*+}[/tex] et [tex]\theta : \mathbb{R}^+ \to\mathbb{R}[/tex] telles que
[tex]f=\rho \cos \theta[/tex] et [tex]f'=\rho \sin \theta[/tex]
merci
#6800 Re : Entraide (supérieur) » Intersection d'ensembles [Résolu] » 25-08-2009 10:59:46
Re
suite et fin (mon dernier message dhier aurait disparu ?).
Le résultat ci dessus est vrai pour tout f(x) élément de [tex]f(A \cap B)[/tex].
Ce qui établit que [tex]f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)[/tex]
Remarque l'inclusion au sens large !
Et comme tu n'en sais pas plus sur la fonction f, tu ne peux pas en dire plus.
QED
Autre résultat classique à établir :
montrer que [tex]f^{-1}(f(A)) \supseteq A[/tex]
(...)