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#651 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Un "classique" de la langue française ... » 10-01-2013 10:20:17
Bonjour,
@jazz24, en réponse aussi au sympathique mail que j'ai reçu :
Mon étonnement venait essentiellement de la différence du niveau de pratique nécessaire pour résoudre une simple mise en équations (j'ai n fois l'age que vous aviez....) et une intégrale. Et aussi parce que l'énoncé donné en post #1 était incomplet et semblait juste du niveau collégien ! Je me souviens l'avoir résolu en 3ème et pour moi, retraité agé, c'est encore vivace.
Moins vivaces sont mes pratiques de l'enseignement supérieur, d'une part parce que les matières y sont maintenant très différemment enseignées d'il y a 50 ans, d'autre part parce que la vie professionnelle en exige peu un usage continu. Donc pour moi les méthodes les plus simples à comprendre et les plus éprouvées sont les meilleures (et aussi autant élégantes).
Le suivi de ce Forum m'est d'un grand soutien pour conserver le plus possible une activité cérébrale cohérente. Je vous souhaite d'y trouver un plaisir aussi grand que le mien.
Cordialement.
#652 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Le gateau d'anniversaire. » 09-01-2013 12:27:52
Bonjour,
@jpp : Il y a bien plus d'une méthode pour couper ce gâteau suivant vos contraintes
La proposition esquissée post #5, contestée par ymagnyma post #6 puis acceptée par amatheur post #15
permet des parts coupées de façon bien plus sympathiques quand AB est petit devant BC...
Exemple, cette vue de dessus suivant méthode jpp :
On ne peut pas, évidemment, couper "N=7 parts avec un bout de ficelle de cuisine" sans partager une part en 2 morceaux...
Cordialement
#653 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Un "classique" de la langue française ... » 08-01-2013 14:52:48
Bonjour,
@jazz24 : C'est vraiment vous qui avez traité de :
établir un équivalent à l'infini de [tex]\frac{(2n)!}{n!^2}[/tex] à partir de la suite[tex]\int_{0}^\frac{\pi}{2}\,(cost)^n\ dt\,[/tex] , sans difficulté particulière. On obtient...
Etonnant le traitement que vous faites du problème posé par yoshi... !
Cordialement
#654 Re : Programmation » scilab erreur » 07-01-2013 15:28:37
Bonjour,
En SciLab le for est défini : for variable = début : pas : fin, …, end
Il faut donc sans doute écrire :
for x=x0:h:x4-h; plutôt que for x=x0:h:x4; pour n'avoir que n évaluation des trapèzes
(le premier de x0 à x0+h et le nième de (x0+(n-1)h = x4-h) à (x0+nh) = x4
En programmation de la méthode des trapèzes mieux vaut évaluer la demi-somme de la fonction pour x_début et x_fin plus la somme pour les x entre x_début et x_fin
Il faut aussi se méfier des pas exprimés en float ou double : exprimer les pas par des entiers, en ayant une variable x qui s'incrémente en float ou double...
pour comparaison voici mon estimation de votre intégrale telle que reprise en post #1 par yoshi
pour différentes valeurs de p et n=100
p = 0.5 : S = 3.12326
p = 1 : S = 2.44392
p = 2 : S = 1.88608
p = 5 : S = 1.31754
Cordialement
#655 Re : Entraide (supérieur) » f rond f =exp » 05-01-2013 22:29:14
Bonsoir,
Pour qui voudrait tester en Python plutôt qu'en ThinkPascal
(il y a une erreur dans le code de l'article cité Post #12 lire "begin fn := 0.5 + t end;" en 3ème ligne)
#Fonction fof=exp
from math import *
def f(x):
if x<0.0:
return log(f(exp(x)))
else: #x>=0
if x<=0.5:
return 0.5+x
else: #x>0.5
if x<=1.0:
return exp(x-0.5)
else:
return exp(f(log(x)))
Cordialement
#656 Re : Entraide (collège-lycée) » Dérivabilité de la fonction x racine carrée de x en 0 » 01-01-2013 10:32:00
Bonjour,
Meilleurs vœux à toutes et tous pour cette nouvelle année 2013
@paco74 : qui ne semble toujours pas satisfait...
personne ne semble vraiment expliquer la démarche pour prouver que la fonction est dérivable à droite en 0.
Un bon argument est : La dérivée en [tex]x=0\ de\ f(x)=x\sqrt{x}[/tex], définie seulement si x positif ou nul,
est la limite de [tex]f^{'}(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x}[/tex] quand x tend vers 0 par valeurs positives.
Question : Avez-vous appris comment dériver simplement [tex]f(x)=\sqrt{x}[/tex] ?
Cordialement
#657 Re : Café mathématique » mathématique non euclidienne » 31-12-2012 21:42:15
Bonsoir,
Voir "Géométries non euclidiennes" dans wikipédia. Bibliographie en fin d'article dont
une excellente référence, mais en anglais, approche très méthodique et progressive des postulats des géométries.
Je vous recommande ce livre si l'anglais ne vous rebute pas :
Euclidean and non-euclidean Geometries de Marvin Jay Greenberg 3rd edition Editeur Freeman
Aussi ce fichier téléchargeable : www.univ-irem.fr/reperes/articles/1_article_4.pdf
Format de fichier: PDF/Adobe Acrobat - Afficher
I - La Préhistoire des Géométries non euclidiennes. Cette préhistoire commence ....
Cordialement
#658 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Avant la fin de l'année.... » 27-12-2012 11:34:12
Bonjour,
@vénérable nerosson : qui va être sans doute très déçu de voir sa Nième conjecture infirmée...Mais il y aura peut-être une (N+1)ième...
Prenons la suite des nombres [tex]u_n=10\times{u_{n-1}}+4,\ n\ entier \ >0,\ u_1=4[/tex]
La division entière des [tex]u_n[/tex] par 8 laisse toujours un reste = 4
La division entière des [tex]u_n[/tex] par 24 laisse laisse des restes égaux à 4, 20, 12, 4, 20, 12,....répétitivement
Voilà 2 nombres au moins (en base 10) qui n'auront jamais de multiple formé d'une suite de chiffres 4.
Par contre, si vous aviez écrit :
je vous demande de me fournir un nombre de longueur quelconque, ne se terminant pas par zéro ou cinq, NI MULTIPLE DE 8,....
Cordialement
#659 Re : Entraide (collège-lycée) » Sujet type bac » 25-12-2012 10:51:05
Bonjour, et bon Noël à tous,
J'abandonne un instant mes cadeaux de Noël pour dire : en 6. la rotation non indiquée doit être de centre W et d'angle[tex]\frac{\pi}{2}[/tex]
Cordialement
#660 Re : Café mathématique » Carré rectangulaire ? » 25-12-2012 09:00:55
Bonjour,
et Bon Noël à tous,
La discussion "drapeau rectangulaire -carré" date de 2002 lors de l'admission de la Suisse à l'ONU.
Le drapeau Suisse pouvait-il rester en retrait ou déborder des autres ? Le compromis diplomatique fut "même surface"
La question posée lors du jeu de TF1 était bien une question "de société" et non "mathématique"...
Cordialement
#661 Re : Café mathématique » Carré rectangulaire ? » 24-12-2012 17:50:24
Bonsoir,
Ne faut-il pas tenir compte du contexte dans lequel la question a été posée ?
Si le prof (CE2, CM1, CM2) dessine au tableau un rectangle et un carré, et demande quelle est cette figure, il est douteux qu'il accepte qu'un élève soutienne seulement que c'est "un rectangle" en montrant le carré…
Si vous parlez d'un objet, vous dires d'emblée qu'il est rond , ou carré, ou rectangulaire, en faisant la différence (même si vous savez que c'est un parallélépipède rectangle)
Par définition vous avez tous deux raison, mais les règles des jeux n'est-elle pas d'avoir des questions pièges…?
@nerosson : Vous campez sur vos positions ! Toutes carrées ou rectangulaires ?
Cordialement
#662 Re : Entraide (supérieur) » Calculer la transformee de laplace d'une fonction » 24-12-2012 15:31:35
Bonjour,
quelque chose comme [tex]\frac{\Gamma(a)}{z^a}[/tex].
Il suffit de prendre la peine de chercher sur internet quand freddy a ouvert tout grand vers la solution !
#663 Re : Entraide (collège-lycée) » Sujet type bac » 24-12-2012 15:16:14
Bonjour,
quelques remarques :
en 4. c'est [tex]w=\overrightarrow{OB}[/tex] plutôt que [tex]w=\overrightarrow{BO}[/tex]
en 5. utiliser le centre W serait une bonne idée, exemple [tex]\overrightarrow{MO}=\overrightarrow{MW}+\overrightarrow{WO}[/tex]
et comme la sommes des 4 vecteurs issus de W est ... reste ...
en 6. Tout vecteur [tex]\overrightarrow{ON}[/tex] dont l'extrémité est sur (BC) peut s'exprimer par [tex]\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OB}+(k\times\overrightarrow{BC})[/tex] k réel positif ,nul ou négatif.
Reste à identifier...
Cordialement
#664 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Dans un triangle rectangle... » 22-12-2012 17:36:46
Bonsoir,
Voici un petit problème de géométrie que je soumets à votre sagacité.
Soit ABC un triangle rectangle en C. Soit D le pied de la hauteur issue de C.
Soit E un point du segment [CD]. Soit F le point de [AE] tel que BF=BC.
De même, soit G le point de [BE] tel que AG=AC.
On considère finalement M le point d'intersection des droites (AG) et (BF).
C'est un très beau problème, En reprenant la figure de jpp au post #5
Sauriez-vous caractériser le lieu de M quand E varie sur [CD] ?
(C'est maintenant assez facile, sachant que MF=MG)
Sauriez-vous montrer que l'intersection de (FG) et de (AB) est un point fixe X sur (AB) quand E varie sur [CD] ?
(C'est plus difficile)
Cordialement
#665 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Le banni, l'urne et les jetons » 22-12-2012 12:24:47
Bonjour,
Pour agrémenter la discussion :
Probabilités quand au moins UN jeton blanc dans l'urne 1 et au moins UN noir dans l'urne 2
A(1 ; 0 ; 0,7474...) B(1 ; 49 ; 0,5) C(50 ; 0 ; 0,5) D(50 ; 49 ; 0,2525...)
Cordialement
#666 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Le banni, l'urne et les jetons » 20-12-2012 11:05:40
Bonjour
Si je choisis l'urne 2, j'ai quand même 49 chances sur 100 de rester sur le forum
petit lapsus : 49 chances sur 99 et non sur 100
Cordialement
#667 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Les bébés » 19-12-2012 15:08:30
Bonjour,
#668 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Dans un triangle rectangle... » 18-12-2012 14:55:27
Bonjour,
#sotsirave : Bien sûr c'est bon dès que vous dites que E est orthocentre du triangle AQB par 2 hauteurs, donc ...
Vous auriez pu expliciter votre remarque du 2) en disant : La polaire de Q (sur CD) par rapport à C2 passe par A qui est le pôle de CD par rapport à C2 (théorème des polaires réciproques) et par F....
Cordialement
#669 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Dans un triangle rectangle... » 17-12-2012 16:03:03
Bonjour,
jpp a montré sur la figure du post #4 les éléments intervenant dans la démonstration que MF = MG :
Le point d'intersection de la tangente en G au cercle de centre A et de rayon AG avec la tangente en F au cercle de centre B et de rayon BF est montré sur la droite (CD)
Une démonstration en est cependant nécessaire :
Soit C1 le cercle de centre A et de rayon AC
Soit C2 le cercle de centre B et de rayon BC
(CD) est la polaire de B par rapport au cercle C1 si et seulement si le triangle ACB est rectangle en C.
Supposons que l'angle ACB ne soit pas droit, alors le pôle de (CD) est un point B' différent de B sur la droite (AB) (car [CD] est perpendiculaire à [AB])
E étant choisi sur [CD], Soit Q le pôle de la droite (BE) par rapport au cercle C1, alors (QA) est perpendiculaire à (BE) et (QG) est la tangente en G au cercle C1
Par "polaires réciproques" E est le pôle de (QB') et donc la droite (AE) est perpendiculaire à (QB')
Amenons maintenant le point C sur le cercle de diamètre [AB] pour que le triangle ACB soit rectangle en C :
B' vient en B et (QB) est perpendiculaire à (AE) comme (QA) est perpendiculaire à (BE).
E étant à l'intersection de 2 hauteurs du tringle AQB, (ED) est la 3ème hauteur et Q est sur (CD).
En intervertissant A et B dans le raisonnement ci-dessus, le point Q est tangent au cercle C2 en F
et [tex]QG^2 = QC\times{QR} = QF^2[/tex] tient comme dit par jpp.
Cordialement
#670 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Le gateau d'anniversaire. » 16-12-2012 10:57:07
Bonjour,
Puisque amatheur appelle au secours :
Cordialement
#671 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Dans un triangle rectangle... » 14-12-2012 09:50:53
Bonjour,
Oui, bravo jpp : je me suis laissé prendre par le belle figure de jpp, mais le raisonnement ne tient que si le point Q, intersection des tangentes en F et G est sur l'axe radical, ce qui n'est pas démontré !
Ce n'est vrai que parce que le triangle ABC est rectangle en C...
Cordialement
#672 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Avant la fin de l'année.... » 13-12-2012 19:36:13
Bonsoir,
Resterait à en trouver une preuve par le raisonnement et non informatique.
Le "raisonnement" suivant est-il acceptable et suffisant ?
:
2012 = 4 x 503 et 503 est premier.
On recherche donc un multiple de 503 composé uniquement du chiffre 1 écrit consécutivement moins de 502 fois.
S'il y en avait un plus petit, il aurait un nombre de chiffres 1 qui diviserait 502
or 2 et 251 sont les 2 seuls facteurs premiers qui composent 502...
Cordialement
#673 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Avant la fin de l'année.... » 13-12-2012 12:33:34
Bonjour,
Après avoir pensé à Fermat, je me suis fié d'emblée au générateur congruentiel linéaire [tex]X_{n+1}=(10\times{X_n}+1)\ mod\ 503[/tex] dont j'ai supposé la période égale à 503, il a en fait 2 périodes, une de 502 et une de 1 pour la valeur 447 mais le nombre formé de 447 chiffres 1 consécutifs n'est pas divisible par 503
Plus probant est l'algorithme suivant qui stoppe pour i=502:
m=4
for i in range(2,1000):
m=10*m+4
if m%2012==0:
print(i,m)
break
Meilleure preuve que cette "Pythonnerie" ?
Cordialement
#674 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Avant la fin de l'année.... » 12-12-2012 21:45:47
Bonsoir,
2012 = 4 x 503, 503 est premier
D'après le petit théorème de Fermat [tex] 10^{502}-1 [/tex] est multiple de 503
donc le nombre formé uniquement de 1 : [tex] 10^{501}+10^{500}+...+10+1 [/tex] est multiple de 503
il comprend 502 fois le chiffre 1 et ce doit être le plus petit multiple de 503 composé uniquement de 1
idem pour 2012 avec le chiffre 4
Cordialement
#675 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Produit et somme » 12-12-2012 15:59:35
Bonjour,
La solution freddy est vraiment parfaite.
Existe-t-il une solution aussi bonne pour l'énoncé suivant :
On considère trois entiers m < n < p dans {2,…,64},
Le produit mnp est égal à la somme des 60 nombres restants. Que valent m, n et p ?
Cordialement