Forum de mathématiques - Bibm@th.net

salut.

  au poste #2  j'avais proposé un paralélépipède rectangle de volume 0.7484 litre.

j'ai un autre patron d'une pièce pour fabriquer une brique de volume légèrement inférieur 0.734 litre.

sa base est carrée    et ses arètes mesurent  67.7 mm  x  67.7 mm x 160 mm.

                                                                                         à plus.

salut.

nérosson récupère encore les miettes , oui !

salut.

  par application des formules d'Euler  tu as ceci: 

[tex]\cos^4x = \frac1{2^4}\times\left(e^{4ix}+4.e^{3ix}.e^{-ix}+6.e^{2ix}.e^{-2ix}+4.e^{ix}.e^{-3ix}+e^{-4ix}\right)[/tex]

puis tu regroupes les termes symétriques pour linéariser. en sachant par exemple que :

[tex]\cos{4x} =\frac{e^{4ix}+e^{-4ix}}2 [/tex]

pour le terme central c'est plus simple encore ( somme d'exposant) . je te laisse terminer.

                                                                                                           à plus.

salut.

  @amatheur.   j'ai donné une méthode avec un exemple . 

il y a surement pire et surement mieux aussi

je vais faire un peu plus simple en amenant les 2 memes boules  v  &  z dans les 2 groupes 1,2,3,4,5 & a,b,c,d,e

je rappelle que , au départ il y a 15! permutations possibles.

a chaque pesée , je dois diviser par 3! = 6 ce nombre de permutations pour avoir , au final [tex]6^p>15![/tex]

p  étant le nombre minimum de pesées nécessaire  dans les pires conditions .

si je compare 3 boules dont 2 sont déjà ordonnées , alors ma pesée ne me permettra de diviser mon nombre de permutations que par 3  , puisque ma 3^ème boule peut se situer ou à gauche , ou au centre , ou à droite de mes 2 boules déjà ordonnées.

c'est pour ça que je dois , le plus longtemps possible comparer des boules de façon à ce que 2 boules ne soient jamais testees 2 fois.

1) je prend 3 boules de mon premier groupe de 5 et je les compare.
2)  je compare les 2 dernières avec la boule centrale de ma première pesée.
3) je compare la boule légère de ma première pesée , la boule légère de la seconde pesée  et une boule prise au hazard dans le groupe 2 (1,2,3,4,5) , cette boule c'est la boule rouge

4) je compare la boule lourde de ma première pesée , la boule lourde de la seconde pesée et une autre boule prise au hazard dans le groupe 2   1,2,3,4,5 , cette boule est la boule bleue.

    j'obtiens par exemple v , w ,B, x , y , B , z

remarque:  v , w , B  & y , B , z sont parfaitement ordonnés  . par contre  B , x , B ne le sont pas encore.

lorsque je vais tester le groupe 2 dans lequel se trouvent les 2 boules rouge & bleue , j'aurai un couple ordonné B , B par exemple .

5) je prend 3 boules du groupe 2  et je les compare.
6) je prend la boule centrale et je la compare avec les 2 dernières du groupe.

7) je compare la boule légère de ma première pesée , la boule légère de la seconde pesée  et  la boule la plus légère du groupe 1 : v
8) je compare la boule lourde de ma première pesée , la boule lourde de la seconde pesée et la boule la plus lourdedu groupe 1 : z.

j'ai ainsi pu déterminé mes boules de couleur et les nommer dans le groupe 2  --> 1 , v , 2 , 3 ,  4 , 5 , z par exemple.

remarque.  ci dessus 1 , v , 2 , 3 , 4 , 5 , z   sont parfaitement ordonnés . dans cet exemple là

je prend le troisième groupe.  (a , b , c , d , e )

9)  je compare les 3 premières boules.
10) je prend la boule centrale et je la compare avec les 2 dernières du groupe.

11) je compare la boule légère de ma première pesée , la boule légère de la seconde pesée  et  la boule la plus légère du groupe 1 : v
12) je compare la boule lourde de ma première pesée , la boule lourde de la seconde pesée et la boule la plus lourde du groupe 1 : z.

j'obtiens par exemple  a , b , v , c , d , z , e    ou    a , b , c , d , z , e   ainsi que a , b , v sont parfaitement ordonnés.  car  v  peut encore passer à droite de c et meme à droite de d

je ferais remarquer qu'après mes 12 tests , j'ai optimisé parce que j'ai divisé par [tex]6^{12}[/tex] mes 15! permutations .
                        il me reste donc[tex]\frac{15!}{6^{12}} \approx 600[/tex] permutations possibles.

et si je compare maintenant à chaque fois 3 boules dont 2 sont déjà ordonnées , alors il devrait me rester:

                 [tex]\frac{\ln{600}}{\ln3}< 6[/tex] tests à réaliser puisque , dans ce cas à chaque comparaison de 3 boules dont 2 se trouvant etre déjà ordonnées.

par contre , si je compare 3 boules provenant de 3 groupes différents , alors là , je divise encore par 6 mes permutations ; et c'est plus intéressant pour l'optimisation.

je récacacapitule les résultats obtenus dans cette exemple là :

                          v , w , 2 , x , y , 5 , z

                      1 , v ,      2 , 3 , 4 , 5, z   

             a , b ,     v , c , d  ,               z , e

dans cet exemple on voit de suite le treizième test:  3 boules a , b , 1 dont 2 sont ordonnées a & b

13) donne par exemple a , 1 , b

                                v , w , 2 , x , y , 5 , z

                           1 , v ,      2 , 3 , 4 , 5,  z   

             a , 1 , b ,     v , c , d  ,                z , e

plus que 200 permutations maximum

entre w & z , sur les trois lignes il va falloir ordonner  2 , x , y , 3 , 4 , 5 , c & d

14) l'idéal est de comparer 3 boules jamais testées auparavant.  ex: 3 , x , c -->  3 , c , x

  donne un classement provisoir dans ce groupe:  w , 2 , 3 , 4 , c  , x , y, 5

15 l'idéal est de comparer 3 boules jamais testées auparavant.  ex: 4 , y , d -->  y , 4 , d

16) je teste c , d , 5  --> c , 5 , d

donc au final  a , 1 , b , v , w , 2 , 3 , c , x , y , 4 , 5 , d , z , e  si je n'ai rien oublié. ce n'est pas une formule

c'est juste une méthode et l'idéal serait d'avoir une bonne vision du jeu au fur et à mesure de l'avancement des choses d'optimiser les expériences afin de s'approcher de

                          [tex]\frac{\ln{15!}}{\ln{3!}} < 16[/tex] pesées

                                                                                     à plus .

salut .

  j'ai une méthode que je vais expliquer, et vous l'essaierez avec des papiers.

d'abord , pour ordonner 5 boules il faut au pire 4 tests  . mes ces 4 tests doivent apporter d'autres informations , car c'est le but recherché.

pour cela je divise mes boules en 3 lots de 5  que j'appellerai par la suite 1,2,3,4,5   ; a,b,c,d,e   &  v,w,x,y,z .

pour l'instant je commence par le lot v,w,x,y,z 

1) je test  les 3 première boules   .
2) je garde la boule centrale et je la compare avec  les 2 restantes . au pire , la boule centrale reste au centre.
     Il me reste  à ordonner  les 2 boules  plus légères et les  2 boules plus lourdes .
3)  je prelève une boule dans le lot  1,2,3,4,5   que je n'ai pas encore marqué  et je vais l'appeler boule rouge.
     je la compare avec les 2 plus légères .
4)  je prélève , toujours dans le lot  1,2,3,4,5   une boule que je n'ai pas marquée et que j'appellerai pour l'instant
    boule blanche. je la compare avec les 2 plus lourdes.
    j'obtiens par exemple   --->     rouge  ,  v , w , x , blanche , y , z  .  je marque mes 5 boules. v,w,x,y,z
    ou la blanche et la boule x (centrale) ne sont pas encore ordonnées

maintenant je prend le lot  1,2,3,4,5   parmi lequel figurent mes 2 boules rouge et blanche  .

5) je teste par exemple les  3 boules ni rouge ni blanche   .
6) je garde la boule centrale et je la compare avec les boules marquées de couleur . dans le pire des cas , la boule
     rouge se trouve etre plus légère que la centrale et la blanche plus lourde.
7) je compare donc les 2 plus légères avec la plus légère du groupe 3     v , w , x , y , z   c.a.d   v
8) je compare de meme les 2 plus lourdes avec la plus lourde du groupe 3  , qui se trouve etre z

      je peux maintenant marquer mes 5 boules  1,2,3,4,5 ordonnées parmi lesquelles se trouvaient les boules
    de couleur . j'enleve les couleurs car je n'en ai plus besoin . les boules de couleur se trouvaient etre par exemple
    4 & 5. j'obtiens par exemple  1 , 2 , 3 , 4 , v , 5 , z

  mon tout premier test  rouge , v , w , x , blanche , y , z devient    4 , v , w , x  , 5 , y , z

je prend le second lota , b , c , d , e

9) je prend 3 boules au hazard dans ce lot et je les compare.
10) idem que précédemment , je prend les 2 autres et je les compare à la boule centrale. dans le pire des cas , les boules sont de part et d'autre de la centrale .

11) je prend les 2 plus légères et je les compare avec la seconde plus légère du groupe 3  : w
12)  je prend les 2 plus lourdes et je les compare avec la 4^ème du groupe 3 : y

    j'obtiens  par exemple a , w , b , c , y , d , e   ou  y    peut etre encore avant c & b

après 12 pesées je suis en possession de  3 classements parmi lesquels une paire de boules n'est pas encore
ordonnée.

                   4 , v , w , x , 5 , y , z   ;
  1 , 2  , 3 , 4  , v ,         5 ,     z   
                      a , w , b , c , y , d , e

a partir de là je pratique la dichotomie.  par exemple sur la troisième ligne , la boule a peut revenir devant la  boule 1 de la seconde ligne.

13)  je teste  a , 3 & 4  --->  j'obtiens au pire a , 3 , 4
14)  je teste a , 1 & 2 ---->  j'obtiens a , 1 , 2

temporairement j'obtiens  a , 1 , 2 , 3 , 4 , v , w , x , 5 , y , z
                                                                    w , b , c , y , d , e

15) je teste b , c & 5 --> j'obtiens  b , 5 , c
16) je teste b , 5 & x ---> j'obtiens x , b , 5

17) je teste z , d & e --> j'obtiens par exemple z , d , e

et le classement temporaire a , 1 , 2 , 3 , 4 , v , w , x , b , 5 , c , y , z , d , e

et ce n'ai pas tout à fait terminé
18) & 19)
la boule blanche devenue 5 n'a pas été testée avec les boules v , w , x il faut au pire 2 tests pour avoir
par exemple

         a , 1 , 2 , 3 , 4 , v , 5 , w , x , b ,   c , y , z , d , e

  20)je dois comparer aussi y , b & c en un seul test  ---> par exemple ça ne bouge pas.

  au final , je revérifierai demain :  a , 1 , 2 , 3 , 4 , v , 5 , w , x , b ,   c , y , z , d , e en   20   pesées.

(....)

Salut à tous.

je bloquais sur les nombres de la forme50Q + 49

  En fait , comme tous les nombres de la forme 10Q + 8  peuvent etre générer ( voir #9 ) , j'en conclus que les nombres de la forme générale 10Q + 9 sont automatiquement générés par les nombres  N = 20Q + 18 après application de la règle 1

  par exemple  49 , 99 , 149 ...  sont respectivement générés par les nombres  98 , 198 , 298 ...  via la règle (1)  n=n/2

en conclusion , tous les nombres entiers non nuls peuvent etre générés à partir de ces 3 règles , en partant de 4.

                                                                                                                 à plus.

salut nerosson.

je ne connais rien de rien à la crypto. 

mais dans les guillemets  je ne suis pas sur.  A proximité de Postdam.

                                                                    à plus.

salut nérosson.

je crois me souvenir que tous les nombres qui sont de la forme[tex]3n\pm1[/tex] ne sont pas forcément premiers, mais que tous les nombres premiers sont de la forme [tex]3n\pm1[/tex]. on peut donc dire que la demi somme de 2 premiers jumeaux qui s'avère etre le nombre pair qui les sépare s'écrit:

[tex]3n = \frac{3n-1+3n+1}2 [/tex]  . Mais comme ce nombre est aussi pair alors c'est aussi un multiple de 2x3=6

                                                                                      à plus.

bonsoir.

salut.

  avec la règle 1 , je peux fabriquer  2  puis 1   .  par conséquent avec la règle 2  , tous les nombres de la forme [tex]10^Q[/tex] &[tex]2\times10^Q[/tex] et avec les règles 2 & 3 à la fin, tous les nombres de la forme[tex]10^Q + 4[/tex] et [tex]2\times10^Q + 4[/tex] .

pour les autres qui sont de la forme générale 10Q+R , il y en a qui s'avèrent assez chaud à calculer

par exemple  29 en partant de 4 avec dans l'ordre les règles 1,1,3,3,1,1,1,3,1,1,3,1,1,1&1.

celà signifierait qu'à partir de 29 je peux ainsi continuer en appliquant une des 3 règles. je peux générer

des nombres comme , 290 , 294 ,145,1450,1454, 2900  , 2904 , 2944   etc...

et ça voudrait surtout dire que si on me soutenait que 2944 était impossible à fabriquer , alors294 par exemple le serait  aussi. Or il est généré à partir de 29avec la règle 3  ; donc je peux infirmer car 29 est constructible

je crois donc qu'il faut trouver le nombre  n = 10Q+R qui déroge à la règle ou alors prouver qu'il n'en est point.

en imaginant que ce nombre ou un de ces nombres existe, il faut trouver le plus petit. par exemple si le plus petit
est de la forme N = 10Q il doit etre généré ou par 2 x 10Q avec la règle 1 ou par Qavec la règle 2

or Q < 10Q et Q est donc impossible à générer donc N = 10Q ne peut pas etre ce nombre.

De la meme manière en raisonnant avec N = 10Q + 4 impossible à générer, en appliquant les règles 3 & 2
10Q & Q sont impossibles à générer . or Q < 10Q < 10Q + 4  . Donc 10Q + 4 n'est pas ce nombre.

maintenant si ce nombre est de la forme N = 10Q + 1 , avec la règle 1 il est généré avec 20Q +2 qui est lui meme généré par 40Q + 4 avec toujours la règle 1 , lequel est généré par 4Q en utilisant la règle 3.

mais comme 4Q < 10Q + 1 , alors ce nombre impossible à fabriquer ne peut pas etre de la forme10Q + 1

Si le nombre est de la formeN = 10Q + 2? il peut etre généré parN = 20Q + 4 avec la règle 1, ce dernier par N= 2Q avec la règle 3 . mais comme 2Q < 10Q + 2 , alors N = 10Q + 2 n'est pas non plus ce nombre.

Si N est de la forme N= 10Q + 3 , on ne peut pas générer N = 20Q + 6  , N = 40Q + 12 , N = 80Q + 24 avec la règle 1  , ainsi que N = 8Q + 2 avec la règle 3. Mais comme 8Q + 2  < 10Q + 3, alors N = 10Q + 3 n'est pas non plus ce nombre.

Si N est de la forme N = 10Q + 5 ça signifierait que la génération de N = 20Q +10 avec la règle 1 , puis  celle de N =2Q + 1 avec la règle 2 sont impossibles . Or  2Q + 1 < 10Q +5 . Le plus petit nombre cherché n'est pas non plus dans cette famille.

Si N est de la forme N = 10Q + 6 ça signifierait aussi que les générations de N = 20Q + 12 , de N = 40Q + 24 avec la règle 1 , et enfin N = 4Q + 2 avec la règle 3 , sont impossibles . Or 4Q + 2 < 10Q + 6 . alors le plus petit nombre impossible n'est pas non plus dans cette catégorie.

Si N est de la forme N = 10Q + 7 signifierait que N = 20Q + 14 , avec la règle 1 , N = 2Q + 1 avec
la règle 3 sont impossibles à générer ; or  2Q + 1 < 10Q + 7 ---> le plus petit nombre impossible à générer n'est pas non plus dans cette catégorie.

Si N est de la forme N = 10Q + 8 signifierait que N = 20Q + 16  ;  N = 40Q + 32  ;  N = 80Q + 64  avec la règle 1 ;  N = 8Q + 6 avec la règle 3 sont impossibles à générer ; or 8Q + 6 < 10Q + 8 --> Le plus petit nombre impossible à générer n'est pas non plus dans cette catégorie.

Si N est de la forme N = 10Q + 9 , je n'ai pas trouvé  N < 10Q + 9  . J'ai du créer plusieurs familles de nombres me permettant de formuler tous les nombres se terminant par 9.  Et malgré celà je n'ai pas pu confirmer
l'inexistance d'un nombre de la forme 50N + 49 . et pourtant je peux générer 99
Pour les 5 familles , j'ai considéré  N = 50Q + 9 ;  50Q + 19 ; 50Q + 29 ; 50Q + 39 & 50Q + 49

a)  N = 50Q + 9  --> 100Q + 18 --> 200Q + 36 --> 400Q + 72 --> 800Q + 144 --> 80Q + 14 --> 8Q + 1 alors 8Q + 1 < 50Q + 9 --> le nombre n'appartient pas à cette famille.

b) N = 50Q + 19  --> 100Q + 38 --> 200Q + 76 --> 400Q + 152 --> 800Q + 304 --> 80Q + 30 --> 8Q + 3 alors 8Q + 3 < 50Q + 19-->  le nombre n'appartient pas à cette famille.

c) N = 50Q + 29 --> 100Q + 58 --> 200Q + 116 --> 400Q + 232 --> 800Q + 464 --> 80Q + 46 --> 160Q + 92

160Q + 92  --> 320Q  + 184 --> 32Q + 18 <  50Q + 29 ; ce nombre n'appartient pas à cette famille.

d) N = 50Q + 39 --> 100Q + 78 -->  200Q + 156 --> 400Q + 312 -->  800Q + 624 -->  80Q + 62
80Q + 62 --> 160Q + 124 --> 16Q + 12 < 50Q + 39 ; le nombre n'appartient pas à cette famille.

e) avec N = 50Q + 49 avec Q = 1   je sais que 99 peut etre généré  car :

   50Q + 49 --> 100Q + 98 --> 200Q + 196 --> 400Q + 392 --> 800Q + 784 --> 1600Q + 1568

  --> 3200Q + 3136 --> 6400Q + 6272 --> 12800Q + 12544 --> 1280Q + 1254 --> 128Q + 125 --> 256Q + 250

--> 512Q + 500 --> 1024Q + 1000 avec Q=1 --> 1020Q + 1004 --> 102Q + 100 --> 204Q + 200

  --> 20Q + 20 --> 2Q + 2 = 4  ---> 99 est un nombre que l'on peut générer.

  pour N = 50Q + 49 je reste bloqué et parce que je me suis arrèté ici:

  50Q + 49 --> 100Q + 98 --> 200Q + 196 --> 400Q + 392 --> 800Q + 784 --> 80Q + 78 > 50Q + 49

J'ai bien peur qu'il faille trouver une autre famille de nombres .   49 & 99 , qui sont dans la famille 50Q + 49 , avec    Q = 0 & Q = 1 je les ai trouvés à la calculette. mais il reste à démontrer que 149 , 199 , 249 , 299 ...etc... peuvent etre générés.  donc mon boulot n'est pas terminé . Si quelqu'un a une idée ...

                                                                                  à plus.

re.

autrement en considérant un prisme à base polygone régulier avec une infinité de cotés on peut approcher 0.81 litre

sa hauteur se calcule ainsi [tex]h = 210 - \frac{297}{\pi} = 115.46 [/tex] avec une infinité de triangles isocèles pliés

dont la hauteur approche[tex]210 - \frac{297}{2\pi} \approx 47.27[/tex]

salut à tous.

avec un format A4 c.a.d.  297mm x 210mm.

je découpe un patron pour un parallélépipède  d'arètes  [tex]h = 210 - \frac{297}{4}\;,\;   L = l = \frac{297}{4}    [/tex] 

ce qui me donne un volume de 0.7484 litre

                                                                                 à plus.