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Bonjour,

@ apoi : Suivez la méthode yoshi du post #15 qui est rigoureuse

Cette méthode consiste à se ramener à une "valeur réelle positive" sous la racine carrée qui figure dans z1 et z2 de façon à comparer les modules de 2 nombres (u+iv) et (u-iv) pour lesquels u et v sont réels.

Ma phrase " si l'argument de b est 2 fois celui de a, et si |a²| < |4b|, sous la racine on ajoute [tex]\pi[/tex] à l'argument de a² et la racine introduit [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] par rapport à l'argument de a...."
Se rapporte à la vision que j'avais de ce problème en marchant.

Je voyais, sous la racine carrée de z1 et z2, des vecteurs alignés correspondant à a² et 4b  et celui de a² plus petit que celui de 4b.
Donc il fallait "voir" un vecteur représentant 4b-a² de sens opposé au sens du vecteur de a², ce qui correspond à une rotation de [tex]\pi[/tex] de a²-4b.

et comme [tex]argument(\sqrt{z})=\frac{1}{2}argument(z)[/tex] la rotation effective devient[tex]\frac{\pi}{2}[/tex]
Mais ceci n'était qu'une marche vers la compréhension de la solution (une intuition) et non son écriture rigoureuse comme fait par yoshi !

Ré,

Si l'on change 1 par r réel seul change l'argument [tex] \theta[/tex]
On aura [tex]tan\theta=\frac{x}{r}[/tex]

Bonjour,

étant donné z²+ax+b, a et b complexes,

sous la forme classique on peut écrire [tex]z_1=\frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2}\ et\ z_2=\frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2}[/tex]

ayant pour hypothèses : [tex]|a|^{2}\le4|b|\  et\  arg(b)=2arg(a)[/tex], que peut-on déduire de l'argument de la racine carrée par rapport à l'argument de a ?

Bonjour,

Il faut dire que notre professeur avait présenté le produit des nombres complexes comme un produit algébrique tout habituel :
(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi², mais avec x²=-1 d'où (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
puis vint la représentation vectorielle où le produit z1 par z2 se fait en additionnant les arguments des vecteurs représentatifs

depuis, j'ai toujours plaisir à développer : [tex]\frac{1+xi}{1-xi}=\frac{(1+xi)(1+xi)}{(1-xi)(1+xi)}=\frac{1-x^2+2xi}{1+x^2}[/tex]

Quand on écrit z=a+bi, il est clair qu'en désignant l'argument de z par [tex]\theta[/tex] on a [tex]tan\theta=\frac{b}{a}[/tex]
donc il est évident que pour z=1+xi on a [tex]tan\theta=\frac{x}{1}=x[/tex]

Voyons le dernier membre [tex]z=\frac{1-x^2+2xi}{1+x^2}[/tex] le dénominateur est réel donc son argument [tex]\alpha[/tex] est celui du numérateur et
[tex]tan\alpha=\frac{2x}{1-x^2}\ et\ l'on\ reconnait \ tan2\theta=\frac{2tan\theta}{1-tan^2\theta}\ d'où\ \alpha=2\theta[/tex]

Ainsi [tex]avec\ x=tan\theta\ on\ a\ z=\frac{1+xi}{1-xi}=cos2\theta+isin2\theta[/tex]

Bonjour,

Pour ce problème je ferais un changement d'axes en les tournant de l'angle [tex]\theta\ tel \ que\ tan(\theta)=\frac{y_A}{x_A}[/tex]
Cela introduit des cos et des sin dans l'équation de l'ellipse mais A a une ordonnée nulle, B une  abscisse nulle et
la distance du centre à la droite (AB) se calcule bien...(dans mes souvenirs, je n'ai pas refait encore ...!)

Bonjour,

Difficile de choisir une bonne interprétation :
Si c'est un hommage aux travaux de Mary Celine Fasenmeyer après son PhD de 1945 c'est tout à fait justifié

Que placez-vous donc à midi qu'on serait allé chercher à 14 heures ?

Bonjour,
Je ne répondrai plus aux interventions d'apoi s'il ne satisfait pas correctement aux précisions demandées par yoshi.

Bonjour,

@ mimod : "Pour démontrer que la somme des probabilités est égale à 1…"

C'est un souci tout à l'honneur de freddy, même si je partage votre opinion. D'ailleurs en écrivant au post #3 :
[tex]\Pr(X=p) = \frac{b}{p} \times \frac{ C_n^{p-1} } { C_{n+b}^p }[/tex]  on a de suite : [tex]\Pr(X=p) = \frac{ C_{n+b-p}^{b-1} } { C_{n+b}^b }[/tex]

dont la somme des numérateurs est donnée par la formule (classique) :
[tex]\sum_{k=1}^{N-r}{C_{N-k}^r }= C_N^{r+1} [/tex] (Il suffit de transposer N en n+b et r en b-1)

Bonjour,

D'après la présentation du post # 2 je trouve :
[tex]\Big(n+b-k \Big)P_{k+1}=\Big(n-(k-1)\Big)P_k[/tex] que j'ai vérifié sur quelques exemples,
Je ne vois pas le défaut, mais cela ne doit pas changer la méthode…?!

Bonjour,

Résumons cette étude de [tex]|ax^2+x-a|\ pour\ |x|\leq{1} \ et\ |a|\leq{1}\ en\ étudiant\ y= ax^2+x-a[/tex]

Si a est changé en -a et x en -x, on obtient [tex]Y= -ax^2-x+a= -y[/tex]
On peut donc se contenter de prendre a entre -1 et 0 pour étudier [tex]|ax^2+x-a|[/tex]

alors [tex]y= ax^2+x-a[/tex] est une parabole ayant un maximum pour [tex]x=-\frac{1}{2a}\ d'ordonnée\ y=-\frac{4a^2+1}{4a}[/tex]. Le sommet est donc sur la courbe [tex]y=\frac{x^2+1}{2x}[/tex]

l'arc de parabole passe en x=-1 au point d'ordonnée -1  pour tout a
l'arc de parabole passe en x=+1 au point d'ordonnée +1  pour tout a

Le sommet de la parabole est sur un arc de la courbe [tex]y=\frac{x^2+1}{2x}[/tex] limité par
le point [tex](\frac{1}{2};\frac{5}{4})[/tex] pour a=-1 et le point [tex](1;1)[/tex] quand a remonte de -1 vers 0.
(la courbe décrite par le sommet de la parabole est décroissante pour [tex]x=\frac{1}{2}\ à\ x=1[/tex]).

Bonsoir,

Bien.
Maintenant vous pouvez voir si [tex]ax^2 +x-a[/tex] a un maximum ou un minimum suivant le signe de a et donner la valeur de cet extremum
Mais il faut aussi tenir compte des valeurs pour x=-1 et x=+1 et trouver, fonction de a (variant de –1 à +1) quelles sont les valeurs limites de l'arc de parabole

Bonjour,

Il faut être attentif, apoi !
Je n'ai pas écrit : "…comment représenter la multiplication (division) de deux complexes ." comme vous dites au post #11

J'ai écrit ( au post #4 et répété au post #8) :
Savez-vous placer (1+xi) et (1-xi) sur le plan complexe et marquer leur argument ?
Savez-vous énoncer la règle de multiplication (division) de deux complexes ainsi représentés ?

Maintenant regardez bien ce que yoshi vous a écrit au post #10 :
[tex]z_2=1+i(-x)=r(\cos(\theta) +i(-\sin \theta))=r(\cos(-\theta) +i(\sin(-\theta)) \Big(\text{ou encore} =r\cos\theta(1+i\tan(-\theta)\Big)[/tex]

quand vous aurez bien vu, à la fin, vous pourrez revenir sur pourquoi [tex]x=\tan{\theta}[/tex]...