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#501 Re : Entraide (supérieur) » Geometrie du triangle2 » 14-10-2012 07:38:50
salut.
si b est la base de ton grand triangle , les 2 triangles étant homothétiques par construction , leur rapport d'homothétie est:
[tex]h = \frac{2}{b}[/tex] . c'est aussi le rapport de leurs périmètres respectifs c-a-d. [tex]h = \frac{p}{P}[/tex]
Une propriété liée à la construction d'un cercle inscrit dans un triangle donne dans ce cas : [tex]p = a + c - b[/tex] , a & c étant les 2 autres côtés de ton grand triangle .
or [tex]a + b + c = 18[/tex] tu en conclus que [tex]p = 18 - 2b[/tex] et [tex]h = \frac{18-2b}{18} = \frac{2}{b}[/tex]
il te reste à résoudre une équation du second degré pour trouver les 2 valeurs possibles de b .
à plus.
#502 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » l'horloge électrique » 09-10-2012 18:25:25
salut.
@totomm: bravo!
en fait pour faire simple , je me place en mode degré.
on s'intéresse au déplacement angulaire de la petite aiguille déplacement [tex]\alpha[/tex]
- à midi tout le monde est la haut sur le 12 et à l'heure h recherchée les trois aiguilles AP , AT & AG se trouvent à
[tex]\alpha[/tex] pour la petite aiguille
[tex] 6.5\alpha[/tex] pour la trotteuse
et [tex]12\alpha[/tex] pour la grande aiguille
le degré d'angle parcouru par la petite aiguille correspond à une durée de 120 secondes. ainsi on va pouvoir chercher la valeur angulaire de [tex]\alpha[/tex]
la trotteuse a parcouru [tex]20 \times{360°} + 6.5\alpha[/tex] qui correspond à [tex]720\alpha[/tex] puisqu'elle va 720 fois plus vite que la petite aiguille . d'ou l'équation :[tex] 20 \times{360°} + 6.5\alpha = 720 \alpha [/tex]
ce qui donne immédiatement :[tex]\alpha = \frac{7200}{713.5}° = \frac{14400}{1427}°[/tex]
Le degré valant 120 secondes pour la petite aiguille , à partir de midi il se sera écoulé :[tex]t = \frac{120\times{14400}}{1427}[/tex] secondes [tex]= \frac{1728000}{1427} s = \frac{1712400}{1427}s + \frac{14270}{1427} s+ \frac{1330}{1427}s = 20 mn + 10 s +\frac{1330}{1427} s[/tex]
à plus.
#503 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » l'horloge électrique » 08-10-2012 17:58:06
salut.
@amateur : non
#504 Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » l'horloge électrique » 07-10-2012 10:55:54
- jpp
- Réponses : 12
salut.
une horloge possède 3 aiguilles avançant à vitesse constante ; donc sans à-coup .
A est le centre de rotation des aiguilles . PA la petite aiguille , GA la grande aiguille & TA la trotteuse.
On considère dans le problème que TA est bissectrice de l'angle PAG seulement lorsque les trois aiguilles sont disposées dans le sens horaire comme suit : PA , TA & GA .
Question : passé midi 20 , quelle est la fraction [tex]\frac{a}{b}[/tex] de la seconde en cours lorsque la trotteuse TA se trouve être la bissectrice de l'angle PAG formé par les 2 autres aiguilles ?
bon courage.
#505 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Le cercle des géomètres disparus ... » 30-09-2012 13:52:39
salut.
je me suis amusé à construire une chaine de 4 cercles tangents à deux cercles tangents intérieurement.
et on voit bien que la construction du premier cercle de rayon r1 (choisi arbitrairement) , détermine tous les autres cercles , en amont comme en aval.
pour le cercle de rayon r2 , [tex]tan\frac{\psi}{2} = t[/tex] alors pour le cercle de rayon r3 , si on appelle l'angle inscrit [tex]\frac{\phi}{2} [/tex] ; la tangente [tex]u = \tan\frac{\phi}{2}[/tex] , associée à (c3) se formule: [tex]u = t + \frac{R^2 - r^2}{\sqrt{r.R}} = t + c^{ste}[/tex]
ce qui signifie ces tangentes définissent une suite arithmétique de raison [tex]\frac{R^2 - r^2}{\sqrt{r.R}}[/tex].
par exemple , la construction des 3 cercles c2 , c3 & c4 a été effectuée à l'aide de l'incrément[tex]\frac{R^2 - r^2}{\sqrt{r.R}} = IJ = JK = KL[/tex]
Et dans le cas de mes 3 cercles nommé (pris dans le sens direct) (C)i --> rayon ri alors si la courbure
[tex]c = \frac{1}{r}[/tex] alors [tex]c_1 + 3c_3 = c_4 + 3c_2 \Longleftrightarrow \frac{1}{r_1}+\frac{3}{r_3} = \frac{1}{r_4} + \frac{3}{r_2}[/tex]
#506 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » le cheval , le poney et l'ane. » 30-09-2012 08:40:37
salut.
@nérosson , chapeau !!!
il y a effectivement 3 solutions.
a) les 3 rectangles sont orientés dans la meme direction .
1) ils sont égaux ---> d'ou le rapport[tex]x =\frac{L}{l} = 3[/tex]
2) 2 rectangles sont égaux ---> le rapport [tex]x = \frac{L}{l} =1.5[/tex] c'est dans ce cas qu'on optimise en surface mais 2 rectangles sont égaux .
b) 2 des 3 rectangles sont orientés est-ouest , le plus petit est donc orienté nord-sud.
au départ je laisse mon barbelé de coté et je dessine un carré de coté x je vais pouvoir maintenant définir toutes mes cotes.
a) le plus grand est un L=x & l = 1
b) le petit est un L = x-1 & l = (x-1)/x
c) enfin le moyen est un L= x.(x-1) & l = (x-1)
l'aire totale de mon carré se formule [tex]x^2 = x + \frac{(x-1)^2}{x} + x.(x-1)^2[/tex]
qui donne au final l'équation [tex](x^4 - 3x^3 + 3x^2 -2x + 1 = 0 [/tex]
[tex](x-1).(x^3 - 2x^2 + x - 1) = 0[/tex]
qui me donne les 2 racines réelles \begin{cases} x_1&=1\\x_2&\approx1.754878\end{cases}
la longueur totale des segments de ma figure est donc P = 6x - 1 = 9.529268 mètres
et comme j'ai à ma disposition 600 mètres de cloture je peux calculer le coté de ma prairie:
[tex]c = 600m \times\frac{x}{6x - 1} \approx110.494m[/tex] qui donne une aire totale de 12208.92 m² = 1.22 ha.
à plus.
#507 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » le cheval , le poney et l'ane. » 28-09-2012 16:31:24
salut.
@ nérosson , ton pré à toi est loin d'etre un carré . dans le problème on divise un carré en trois parcelles semblables .
pas égales pour autant.
à plus.
#508 Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » le cheval , le poney et l'ane. » 26-09-2012 21:47:23
- jpp
- Réponses : 10
salut.
je dispose de 600 m de grillage pour parquer un cheval , un poney et un ane dans un pré carré le plus grand possible.
mais je veux absolument que leurs trois territoires soient des rectangles semblables .
question : quelle est la surface maximum que je vais pouvoir clore ?
bon courage.
#509 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Le cercle des géomètres disparus ... » 26-09-2012 19:27:17
salut.
en fait , si le cercle C est centré en O (0,0) , son rayon est R
si le cercle C' est centré en O' :[tex](-\frac{R-r}{2} , 0)[/tex] , (C) & (C') étant tangents intérieurement , alors le lieu des centres M des cercles (C") est l'ellipse de demi grand axe [tex]\frac{R+r}{2}[/tex] et de demi petit axe[tex]\sqrt{r.R}[/tex] . Et les points M de l'ellipse ont pour coordonnées :
[tex]M: \left(-\frac{R-r}{2} + \frac{R+r}{2}.\cos{\phi} \; ,\; \sqrt{r.R}.\sin{\phi}\right)[/tex]
#510 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Le cercle des géomètres disparus ... » 25-09-2012 11:40:51
salut.
au poste#22 , c'est juste la construction de C" tangent au deux autres cercles en choisissant arbitrairement le point de fuite en haut à gauche sur la figure ; point à partir duquel je trace les 3 tangentes et les 3 cordes. afin de déterminer le centre de C"
#511 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Le cercle des géomètres disparus ... » 24-09-2012 23:37:15
re.
@totomm. postes #14 & #22 , lorsque C & C' sont constants , le lieu des centres des cercles C" est une ellipse . par contre , lorsque C' évolue , je n'ai pas poussé la recherche , ça ressemblerait , poste #23 à une lemniscate.
#512 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Le cercle des géomètres disparus ... » 24-09-2012 17:58:11
salut.
le cercle des centre est en fait une ellipse et non un cercle.
on peut construire un cercle tangent avec 3 cordes.
mais le problème, c'est de trouver le point de fuite idéal pour déterminer le bon rayon de C"
#513 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Le cercle des géomètres disparus ... » 23-09-2012 16:58:54
re.
mon cercle des centres , il faut l'oublier.
je suis retourné sur géolabo , puis ai redessiné . mon cercle C" je l'avais construit avec ( cercle circonscrit) en donnant 3 points.
et j'ai zoomé au centre et ai constaté que le centre de ce cercle n'était pas le point d'intersection du prétendu cercle des centres avec la tangente verticale. pour preuve , le zoom ci dessous :
j'obtiens ainsi 2 cercles décalés d'environ 0.3mm ( mon grand cercle ayant un rayon de 100mm)
donc je dois revoir ma copie.
à plus.
#514 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Le cercle des géomètres disparus ... » 23-09-2012 09:45:29
salut.
comme éléments de construction pour tracer le troisième cercle , je pense qu'on a guère le choix.
la réponse est un peu basique, j'en conviens ;
si r est le rayon du grand cercle C et a , le rayon du cercle C' , le centre du cercle C" devrait se situer sur le cercle de centre [tex]M(-\frac{r-a}{2} \; , 0 )[/tex] , et de rayon : [tex]\frac{r+a}{2}[/tex]
et pour trouver un point de centre , on n'a guère le choix ; on trace la tangente verticale à C' qui coupe le cercle des centres de C"possibles ; puis je trace le segment perpendiculaire au coté gauche du triangle isocèle , issue du centre de C"
et je trace au compas mon cercle. il se trouve tangent à C' , C" & au triangle isocèle , mais ça , c'est une autre histoire .
et ce n'est pas manque d'avoir cherché .
à plus.
#515 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Le cercle des géomètres disparus ... » 20-09-2012 17:21:26
salut.
@totomm : non , j'ai pris pour argent comptant la perpendicularité du segment , et j'ai juste étudié la variation des 2 petits cercles.
je pense que la démo , elle est comme le nez au milieu de la figure ... et on ne le voit pas.
à plus.
#516 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » problème de mémoire » 19-09-2012 22:54:34
salut.
pour construire un tétraèdre à partir d'un carré sans aucune découpe on procède comme ceci:
soit un carré ABCD ; on place le point E , milieu de BC et F ,milieu de CD
On trace ensuite le triangle AEF . AF , AE & EF sont les 3 arètes à plier et les points B , C & D pour former le sommet commun à 3 angles droits puisque les 3 points B , C & D sont 3 des sommets du carré.
Les arètes CF = CE=[tex]\frac{a}{2}[/tex] , AB = AD = a , EF =[tex]\frac{a\sqrt2}{2}[/tex] et AF = AE [tex]=\frac{a\sqrt5}{2}[/tex]
maintenant , si a est le coté du carré ; on pose le tétraèdre sur la base CEF . on obtient immédiatement son volume :
[tex]V = \frac13\times{a}\times\frac12\times\frac{a}{2}\times\frac{a}{2} = \frac{a^3}{24}[/tex]
le volume de la boite est donc défini.
le cone rempli d'eau (5 litres) va voir son niveau monter de 7% . Le sommet du cone est le centre d'homotétie .
sa hauteur est ainsi multipliée par le facteur1.07 et le volume par 1.073
le volume de la boite en m3 est donc [tex]V_b = 0.005\times{(1.07^3 - 1)} = 0.001125215 m^3[/tex]
le coté du carré [tex]a = \left[V_b\times{24}\right]^\frac13[/tex]
sa surface : [tex]S = a^2 = \left[V_b\times{24}\right]^\frac23[/tex]
et finalement le prix du carton à 20 euros/m2 [tex]P = 20 \times{ \left[V_b\times{24}\right]^\frac23}=20\times{ \left[0.001125215\times{24}\right]^\frac23}= 1.8 euros[/tex]
#517 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Le cercle des géomètres disparus ... » 19-09-2012 21:59:58
salut.
c'est un sacré problème .
je me réfère au super dessin de nérosson : je pose r = OM rayon du grand cercle .
je pose aussi a = O'M rayon du cercle C'
et enfin : b = rayon du cercle C" à construire.
Les rayons r , a & b sont définis de cette façon :
[tex]r = \frac{2a^2 + ab}{2a - b}[/tex]
comme r est le rayon du grand cercle C , alors :
[tex]b = \frac{2ra - 2a^2}{r + a}[/tex]
b maxi est atteint avec [tex]a = (\sqrt2 - 1 )\times{r} \approx 0.414\times{r}[/tex] , et vaut : [tex]b \approx 0.3431457\times{r}[/tex]
je n'ai pas encore trouvé de démo , puisque j'ai pris le problème à l'envers . mais je vais continuer à chercher.
à plus.
#518 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » une formule pour n » 13-09-2012 17:28:02
salut.
@amatheur : encore plus torrrdu , les 10 chiffres dans l'autre sens _ j'avais un ptit creux tantot.
[tex]n= \log_{_{_{-9\times8 - 7\times6 + 5! - 4}}}\left[\log_{_{_{\sqrt{...\sqrt3}}}}{(2+1^0)}\right][/tex] avec n fois [tex]\sqrt{..}[/tex]
à plus.
#519 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » une formule pour n » 11-09-2012 22:58:35
salut.
alors voilà : [tex]n=\log_aa^n[/tex]
le dernier chiffre à devoir etre utilisé est 9 ; donc si j'écrit : [tex]\log_99 = 1[/tex] , je peux tout aussi écrire :
[tex]\log_{_{_9^{\left[\frac{1}{a^n}\right]}}}9^{\left[\frac{1}{a^n}\right]}= \frac{1}{a^n}\log_{_{_9^{\left[\frac{1}{a^n}\right]}}}9 = 1[/tex]
Alors , en posant a = 2 , il vient : [tex]n = \log_2\left[\frac{2^n}{2^n}. \log_{_{_9^{\left[\frac{1}{2^n}\right]}}}9 \right][/tex]
[tex]n = \log_{_{_{\frac{0+1+2+3+4}{5}}}}\left[\frac{2^n}{2^n}. \log_{_{_{\left[-6+7+8\right]^{\frac{1}{2^n}}}}}9 \right][/tex]
[tex]n = \log_{_{_{\frac{0+1+2+3+4}{5}}}}\left[ \log_{_{_{\left[-6+7+8\right]^{\frac{1}{2^n}}}}}9 \right][/tex]
[tex]1 = \log_{_{_{\frac{0+1+2+3+4}{5}}}}\left[ \log_{_{_{\sqrt{-6+7+8}}}}9\right] [/tex] ; [tex]2 = \log_{_{_{\frac{0+1+2+3+4}{5}}}}\left[ \log_{_{_{\sqrt{\sqrt{-6+7+8}}}}}9\right] [/tex] ; [tex] n = \log_{_{_{\frac{0+1+2+3+4}{5}}}}\left[ \log_{_{_{\sqrt{\sqrt{...\sqrt{-6+7+8}}}}}}9\right] [/tex]
avec n itérations [tex]\sqrt{--}[/tex]
à plus.
#520 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » problème de mémoire » 09-09-2012 16:05:48
re.
@amatheur : rebravo ! cette densité est le rapport des 2 volumes d = v(tétraèdre)/v(sphère) . et en deçà de d , la boite n'est pas totalement immergée ---> principe d'Archimède
à plus.
#521 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » problème de mémoire » 09-09-2012 08:45:07
salut.
@amatheur : bravo !!
- j'avais une seconde question pour celui qui a pu définir le tétraèdre .
Voilà , pour tester son étanchéité je place à l'intérieur une boule pleine composée d'un alliage métallique de densité d .
Cette boule est en contact avec les 4 faces du tétraèdre ; c'est donc la sphère inscrite du polyèdre .
question : quelle doit etre la densité minimum de l'alliage pour que ma boite coule dans le vase .
n.b. on considérera un emballage de masse nulle , d'une parfaite rigité ; et une densité de l'eau douce égale à 1
bon courage.
#522 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » problème de mémoire » 08-09-2012 10:33:14
salut.
@jdec : le tétraèdre en question n'a qu'une épaisseur de carton sur ses 6 faces.
si tu doubles l'épaisseur en partant finalement d'un triangle rectangle isocèle , alors ta méthode ne fonctionnera pas puisque tu te retrouveras avec un nouveau carré de carton avec 4 épaisseurs et tu peux recommencer comme ça indéfiniment .
tous tes triangles , tu les retrouves dans la fractale de Sierpinski.
à plus.
#523 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Les mathématiques du Dobble » 06-09-2012 18:10:13
salut.
@manu , tu veux sans doute faire allusion à l'exemple de la carte 26. en fait je viens de voir , et je vais le corriger , que le second nombre n'est pas 4 , mais en fait 11 et ça devient : la carte 26 est affectée des couleurs :
5 - 11 -16 - 28 - 32 - 41 - 45 - & 50
tu as vu que le premier tableau pouvait etre dupliqué , le premier , pour repérer les cartes dans les 7 colonnes , et le second pour les repérer dans les 7 lignes .
ainsi , 26 se trouve dans la 5ème colonne ---> on lui affecte donc la couleur 5 --> voir 1ertableau
26 se trouve etre dans la 4ème ligne --> on lui affecte donc la couleur 7+4=11 --> le premier tableau qui , lui sera dupliqué.
26 se trouve aussi sur la 2èmeligne du troisième tableau --> on lui affecte la couleur 14+2=16
26 se trouve aussi sur la 7èmeligne du quatrième tableau --> on lui affecte la couleur 21+7=28
26 se trouve aussi sur la 4èmeligne du cinquième tableau --> on lui affecte la couleur 28+4=32
26 se trouve aussi sur la 6èmeligne du sixième tableau --> on lui affecte la couleur 35+6=41
26 se trouve aussi sur la 3èmeligne du septième tableau --> on lui affecte la couleur 42+3=45
26 se trouve aussi sur la 1èreligne du huitième tableau --> on lui affecte la couleur 49+1=50
il y a donc d'abord 7 colonnes qui sont affectées d'une couleur , puis ensuite 7 x 7 = 49 lignes et finalement la dernière ligne est celle des points de fuite à l'infini c'est à dire la ligne 57 avec les cartes 50,51,52,53,54,55,56&57
autre exemple plus simple: la carte 51 aura les couleurs des 7 colonnes du premier tableau et de la toute dernière ligne ci dessus . donc les couleurs n° 1-2-3-4-5-6-7 & 57
et 50 ---> les couleurs 8,9,10,11,12,13,14 & 57
je pense avoir été plus clair .
à plus
#524 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » problème de mémoire » 06-09-2012 11:44:28
salut.
@yoshi : pour lever toute ambiguité , le carton est un carré ; son coté pas forcément entier .
le vase est un cone . (droit , oblique ) le vase peut meme se trouver sur un plan incliné.
avec un vase conique ou meme un vase de forme intérieure pyramidale renversée meme incliné cela ne change rien pour la recherche de la solution.
ça ne change en rien le problème à partir du moment ou la hauteur d'eau mesurée est définie comme étant la distance du sommet au plan de la surface de l'eau.
d'autre part , le paquet tétraedrique est plongé entièrement . Il n'est pas dit dans le texte qu'il est régulier . Et enfin la mesure s'effectue liquide au repos . les mains pleines de doigts dans les poches.
on négligera l'effet de capillarité et l'épaisseur du carton bien entendu.
à plus.
#525 Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » problème de mémoire » 05-09-2012 22:12:56
- jpp
- Réponses : 11
salut.
il y a quelques jours j'ai du envoyer un souvenir de vacances par la poste. Tout ce que je sais , c'est que acheté un carton spécial qui résiste à l'eau . son prix : 20 euros le m² ; un peu cher .
je me souviens que le carton en question était un carré parfait. Et comme je n'avais ni ciseau ni couteau , ni quoi que ce soit d'ailleurs pour couper , je me suis mis à confectionner un tétraèdre en effectuant uniquement du pliage , ayant placé l'objet à l'intérieur.
J'ai aussi assuré l'étanchéité en utilisant du ruban adhésif pour les arètes non pliées.
pour mon test d'étanchéité j'avais à ma disposition un grand vase dont l'intérieur était un cone parfait , contenant exactement 5 litres d'eau.
j'ai donc plongé entièrement mon paquet dans le vase afin de m'assurer qu'il ne remontait aucune bulle d'air . emballage parfait , m'a-t-on dit. Une personne qui a suivi mon expérience m'a meme assuré que la hauteur d'eau dans le vase avait augmenté de 7% une fois le paquet plongé.
j'étais content de moi , mais en rentrant chez moi , je ne savais meme plus combien j'avais payé mon carton. Et ça commence à m'inquiéter ; pas vous ?
quelqu'un peut-il m'aider à retrouver ce prix ? merci.