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#476 Re : Entraide (collège-lycée) » Résoudre un exercice de trigonométrie » 22-04-2024 22:10:52
Bonsoir,
Comme Rosalina ne se manifeste plus — peut-être a-t-elle obtenu la solution autrement, sans penser à nous en faire part ? autre raison ? —, je me suis décidé à me plonger dans la démonstration :
Contrairement à ce que j'indiquais, le point de départ n'est pas l'identité $sina =2 sin \left( \dfrac a 2 \right) cos\left( \dfrac a 2 \right)$.
(J'ai été trompé par la somme en début d'énoncé : je pensais qu'il fallait démontrer l'égalité à partir de cette somme.)
Il faut partir des formules trigonométriques suivantes :
$\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$
$\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
En soustrayant la seconde égalité de la première, on obtient
$\displaystyle \sin a \sin b = \dfrac 1 2 [ \cos(a - b) - \cos(a + b) ]$
Appliquée au produit $\sin \left(\dfrac {\pi} 6 \right) \cdot \sin \left( k \dfrac {\pi} 3 \right)$, cette formule s'écrit :
$\sin \left(\dfrac {\pi} 6 \right) \cdot \sin \left( k \dfrac {\pi} 3 \right) = \dfrac 1 2 \left[\cos \left( \dfrac {\pi} 6 - k \dfrac {\pi} 3 \right) - \cos \left( \dfrac {\pi} 6 + k \dfrac {\pi} 3 \right) \right]$
soit $\sin \left(\dfrac {\pi} 6 \right) \cdot \sin \left( k \dfrac {\pi} 3 \right) = \dfrac 1 2 \left[\cos \left( (1 - 2k) \dfrac {\pi} 6 \right) - \cos \left( (1 + 2k) \dfrac {\pi} 6 \right) \right]$
soit finalement
$\sin \left(\dfrac {\pi} 6 \right) \cdot \sin \left( k \dfrac {\pi} 3 \right) = \dfrac 1 2 \left[\cos \left( (2k - 1) \dfrac {\pi} 6 \right) - \cos \left( (2k + 1) \dfrac {\pi} 6 \right) \right]$
CQFD
#477 Re : Entraide (collège-lycée) » grand oral » 21-04-2024 22:29:37
Si tu restes dans l'optique période de rotation vs latitude, à mon humble avis, non : tu risques de te faire dégommer par un examinateur ou une examinatrice comprenant réellement ce qu'entraîne ta logique, à savoir :
pour toute période de rotation comprise entre 0 et 24 h (précises !), il existe au moins une latitude pour laquelle la période de rotation est très exactement égale à cette valeur.
Concrètement, si on choisit — exprès, pour t'embêter ! — une période de 24 h, il faudrait mettre en place une installation (nécessairement haute et assurant une stabilité parfaite) au Pôle Nord ou au Pôle Sud (exactement !).
Mieux, si à la période choisie correspond au 60ème parallèle Sud, il n'y pas le moindre caillou de terre ferme. (Regarde, comme je l'ai fait, un planisphère...)
Comment faites-vous, Monsieur, pour réaliser un pendule de Foucault en plein Océan Austral, avec en plus des conditions météorologiques épouvantables ??
(40° Sud : les 40èmes rugissants ; 50° Sud : les 50èmes hurlants ; 60° Sud : les 60èmes déferlants...)
Je réitère donc mon conseil : reste sur la rotation du plan de balancement, aisément observable par quiconque restant quelques minutes face à un pendule de Foucault.
Bien cordialement,
Borassus
#478 Re : Entraide (collège-lycée) » grand oral » 21-04-2024 21:29:51
Je crois déceler une autre confusion, que je n'avais pas encore rencontrée :
Le théorème des valeurs intermédiaires ne peut être appliqué
1) que si la variable varie continument ;
2) et que si la fonction est continue sur l'intervalle considéré.
Par exemple, une fonction dont la variable ne prend que des valeurs entières et qui a ses valeurs dans $\mathbb{R}$ — par exemple $\sqrt n$ — ne peut faire l'objet du TVI.
En effet, si on prend une valeur $k$ quelconque comprise entre $f(a)$ et $f(b)$, il y a de fortes chances qu'elle n'ait pas d'antécédent. (Une autre façon, plus concrète, de formuler le TVI est de dire qu'à chaque valeur réelle $k$ comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ correspond au moins un antécédent.)
Or la latitude, mesurée en degrés, n'est pas, par nature, une grandeur continue, par le principe même du degré, divisé en 60 minutes, chaque minute étant divisée en 60 secondes, même si on peut considérer des décimales de seconde.
Il en est de même, pour la même raison, de l'heure, et d'une période exprimées en heures, minutes, secondes, même si on peut concevoir des décimales d'heure.
Dans un autre domaine, il en est de même de la température exprimée en degrés Celsius ou Fahrenheit, car il s'agit dans les deux cas d'une division artificielle pour repérer deux états physiques : solidification et ébullition de l'eau pure (0 et 100° C pour l'échelle Celsius, 32° F et 212° F pour l'échelle Fahrenheit, la température normale du corps humain étant de 98° dans la seconde échelle).
(Je reconnais que c'est un peu philosophique, mais je pense que tu comprendras ce que je veux dire.)
Je comprends mieux maintenant les réserves de notre sage Yoshi.
Mon conseil, donc : Si tu veux associer le TVI au mouvement du pendule, traite la variation du plan de balancement en précisant que la période de rotation varie selon la latitude. (Cette variation doit être présentée comme une information de curiosité, que personnellement j'ignorais ; elle ne doit pas être, à mon sens, une base de raisonnement de grand oral.)
PS : J'ai découvert ton message en publiant le mien.
Bonne soirée également, ainsi qu'à ceux qui suivent ce soir cette discussion.
#479 Re : Entraide (collège-lycée) » grand oral » 21-04-2024 17:50:57
Bonsoir Yop,
J'avais dès le début compris que ce que tu cherches à illustrer est l'angle du plan de balancement : sur une période qui dépend de la latitude, le plan de balancement prend toutes les valeurs intermédiaires entre $0$ et $\pi$ radians, voire entre $0$ et $0$ à l'équateur !
Je n'avais pas compris que tu veux illustrer la période de rotation du pendule versus la latitude où il se trouve par une expérience de pensée irréalisable.
#480 Re : Entraide (collège-lycée) » Résoudre un exercice de trigonométrie » 21-04-2024 15:33:06
J'ai l'impression que ce qu'on doit démontrer doit être
$\sin \left(\dfrac {\pi} 6 \right) \cdot \sin \left( n \dfrac {\pi} 3 \right) = \dfrac 1 2 \left[ \cos \left( (2n - 1) \dfrac {\pi} 6 \right) - \cos \left( (2n + 1) \dfrac {\pi} 6 \right) \right]$
#481 Re : Entraide (collège-lycée) » Résoudre un exercice de trigonométrie » 21-04-2024 15:26:47
Intuitivement, sans m'être lancé dans les calculs, et donc sans avoir vérifié mon intuition, je pense qu'il est judicieux de partir de l'identité
$\sin \left(k \dfrac {\pi} 3 \right) = 2 \cdot \sin \left( k \dfrac {\pi} 6 \right) \cdot \cos \left( k \dfrac {\pi} 6 \right)$
#482 Re : Entraide (collège-lycée) » Résoudre un exercice de trigonométrie » 21-04-2024 15:08:29
Traduction en LaTeX (dis-moi si la transcription correspond bien à ton énoncé) :
$\displaystyle S_n = \sum_{k = 1}^n \, \sin \left(k \dfrac {\pi} 3 \right)$
Montrez que quel que soit $n \in \mathbb{N}^*$
$\sin \left(\dfrac {\pi} 6 \right) \cdot \sin \left( k \dfrac {\pi} 3 \right) = \dfrac 1 2 \left[ \cos \left( \dfrac {2k - 1} 6 \right) - \cos \left( \dfrac {2k + 1} 6 \right) \right]$
Il me semble qu'il faut remplacer dans cette expression $k$ par $n$. C'est cela ?
#483 Re : Entraide (collège-lycée) » Résoudre un exercice de trigonométrie » 21-04-2024 14:24:16
Bonjour Rosalina,
De quel exercice s'agit-il ?
#484 Re : Entraide (collège-lycée) » grand oral » 20-04-2024 22:10:39
Bonsoir Yop, bonsoir à tous,
Je continue donc l'analyse de ton texte préparatoire.
Je reprends tout d'abord la formule de Foucault que tu mentionnes :
$T(\phi) = 2\pi \times L \times g \times \cos \phi$.
La longueur $L$ est exprimée en mètre. L'accélération de la pesanteur est exprimée en mètre par seconde carré. Comme $2\pi$ et $cos \phi$ sont des nombres sans dimension, l'unité du produit tel que tu l'écris est $m \times \dfrac m {s^2}$, soit $\dfrac {m^2}{s^2}$ ce qui ne correspond pas vraiment à un temps.
Or, l'expression de la période d'un pendule simple — sans donc tenir compte de la rotation de la Terre — est $T = \sqrt {\dfrac L g}$ qui est une expression homogène : $\sqrt {\dfrac m {\dfrac m {s^2}}} = \sqrt {\dfrac {m \times s^2}{m}} = s$
C'est très important, en physique, de s'assurer qu'une expression est homogène !!!
(En maths aussi, à un degré moindre, malgré la tendance généralisée selon laquelle on ne manie que des nombres théoriques sans dimension... Je reviendrai tantôt sur le sujet dans un autre post.)
Donc, l'expression que tu mentionnes est donc purement et simplement fausse !
Concernant maintenant ce que tu écris :
Pour simplifier notre étude et d’un point de vu technique, la durée de 24h est valable uniquement aux pôles car la verticale du point de suspension du pendule coïncide avec l’axe de rotation de la Terre tandis qu’à l’équateur le pendule n’indique aucune variation d’orientation de son plan d’oscillation dû à une perpendicularité du point d’attaque avec l’axe de rotation terrestre.
Cela contredit la multiplication par $\cos \phi$ : pour $\phi = 0$, $\cos \phi = 1$ ; et pour $\phi = \dfrac {\pi} 2$, $cos \phi = 0$.
Donc l'angle $\phi$ n'est pas la latitude selon l'acception générale, mais l'angle allant de l'axe de rotation vers le parallèle sur lequel se trouve le pendule, selon la logique habituelle des coordonnées sphériques.
Pour que l'expression soit cohérente avec ce que tu écris, il faut donc que la période "simple" soit multipliée par $ \cos( \dfrac {\pi} 2 - \phi)$, c'est-à-dire par $\sin \phi$, si $\phi$ désigne effectivement la latitude.
Enfin, si je me réfère à la page Wikipédia https://fr.wikipedia.org/wiki/Pendule_de_Foucault traitant du pendule de Foucault, la mathématisation de la rotation du pendule n'est pas vraiment simple !
La formule que tu mentionnes (correctement écrite) semble donc être très simpliste ! (Où l'as-tu trouvée ?)
Il est donc important que tu le précises !!
La suite au prochain numéro.
#485 Re : Entraide (collège-lycée) » grand oral » 19-04-2024 22:29:15
Rassure-toi, et ne te ronge pas, il n'y a pas de quoi être contrarié.
C'est de ma faute : j'ai pressenti que la notation $Lg$ sans espace et sans signe multiplicatif pourrait faire apparaître une fonction "logarithmoïde", mais je n'ai pas tenu compte de la petite voix qui me préconisait d'écrire l'expression de façon moins ambiguë.
Le pire, c'est qu'en voulant rendre lisible une expression peu confortable mais lisible T(phi) = 2 π Lg cos(phi), j'ai en fait rendu l'expression difficilement lisible. :-)
Au temps pour moi !
#486 Re : Entraide (collège-lycée) » Grand oral de maths sur les intégrales » 19-04-2024 22:20:47
Bonsoir Ricardo, bonsoir à tous,
Le principal, dans l'utilisation de l'intégrale à d'autres fins que le calcul de l'aire sous une courbe — pourquoi on ne vous limite l'explication de l'intégrale qu'à cette seule utilisation ??!! —, est de bien choisir la logique d'intégration.
Par exemple, pour calculer l'aire d'un disque de rayon $R$, il faut considérer l'aire comme la somme des aires des anneaux de périmètre $2\pi r$ et d'épaisseur infiniment fine $dr$, la variable d'intégration $r$ allant de $0$ à $R$.
L'intégrale s'écrit alors [tex]\displaystyle \int_0^R \:2\pi rdr[/tex]
#487 Re : Entraide (collège-lycée) » grand oral » 19-04-2024 20:23:20
Bonsoir Eust_4che,
Nos messages se sont croisés. :-)
#488 Re : Entraide (collège-lycée) » grand oral » 19-04-2024 20:21:34
Oh, M'sieu Borassus, scusez-moi de vous d'mander pardon, mais c'est quoi le symbole Lg()?^_^
Bonsoir ô sage Yoshi !
Bien évidemment, il faut lire $L \times \ g \times \cos\phi$
(Mais, sur le coup, en lisant @yop, je me suis posé la même question. :-)
#489 Re : Entraide (collège-lycée) » grand oral » 19-04-2024 18:57:22
Bonsoir Yop,
Excuse-moi, je n'étais pas disponible hier et aujourd'hui dans la journée.
Je me suis donc réservé un peu de temps en début de soirée pour lire ton premier texte.
Note préalable : l'impératif que j'utilise doit être compris dans le sens de conseil, et non dans le sens d'injonction...
Effectivement, le sujet est intéressant, ce à quoi je ne m'attendais a priori pas. (C'est toujours bon d'avoir un sujet qui intéresse et qui intrigue.)
Aujourd'hui, je vais vous parler du pendule de Foucault [...]
Evite les formulations du style « Aujourd'hui, je vais vous parler de ... »
Plutôt : « Le sujet que je soumets à votre attention porte sur ... »
[...] qui a vu le jour pour la 1er fois en 1851 grâce au physicien français Léon Foucault
C'est bien de préciser le prénom, car on a en mémoire le philosophe Michel Foucault ou, plus près de nous, le présentateur Jean-Pierre Foucoult.
Précise aussi son temps de vie (1819-1868). Indique aussi (rapidement) qu'on lui doit le calcul de la vitesse de la lumière, le gyroscope, et aussi les courants tourbillonnaires appelés en son honneur "courants de Foucault", qui permettent en particulier aux poids-lourds de freiner sans trop solliciter les freins mécaniques.
autrement dit si la fonction f est dérivable sur un intervalle I
Attention, une fonction continue — c'est-à-dire qu'on peut tracer sans lever le crayon — n'est pas forcément dérivable. Elle ne l'est pas notamment lorsqu'elle présente un point d'inflexion avec tangente verticale, ou qu'elle présente un "point anguleux" dont l'exemple le plus connu est la valeur absolue en 0.
[...]prenant 2 valeurs a et b ∈ I, avec par exemple a<0 et b>0 alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins réel c compris entre a et b tel que f(c) = k. Dans l’exemple précédent, la fonction prend toutes les valeurs intermédiaires entre a et b passant à un moment précis par y = 0.
Confusion !! :
Que $a$ soit négatif et que $b$ soit positif n'importe absolument pas !
Ce qui importe, c'est que l'une des deux valeurs $f(a)$ et $f(b)$ soit négative, et que l'autre soit positive (si on prend $k = 0$ ; si $k = 1$, il faut que l'une des deux valeurs soit inférieure à 1, et que l'autre soit supérieure à 1).
Donc, présente l'exemple à la fin du paragraphe, en choisissant $k = 0$ ou une autre valeur.
car en effet son pivotement est dû à la simple rotation de la Terre autour de son propre axe
La rotation de la Terre autour de son axe est en soi un phénomène assez complexe. Tu peux donc supprimer "simple". :-)
[...] sa caractéristique d'oscillation d'un point latéral à un autre, dépendante de la latitude terrestre variant quant à elle entre 90°N et 90°S en passant par 0 au niveau de l'équateur.
Ne m'étant jusqu'à ce jour jamais véritablement intéressé au sujet — je me suis juste limité à regarder pivoter le pendule suspendu au Musée des Arts et Métiers, bien évidemment à Paris —, je n'avais jamais réalisé que le mouvement dépend de la latitude.
Tu peux donc créer un petit effet de surprise et de suspens en indiquant que « le pendule de Paris n'est pas le même que celui à l'Equateur, ni celui du Pôle Nord ! Je l'explique un peu plus loin. »
En clair, si on lâche le pendule situé par exemple au pôle Nord en un point initial défini par le Nord, il oscille donc vers sont point opposé, le Sud [...]
Qu'est le Sud lorsqu'on est au Pôle Nord ? Quelle que soit la direction vers laquelle on se tourne, on regarde vers le Sud. (Le Sud est "en-dessous", aux antipodes du Pôle Nord. Donc, une oscillation Nord-Sud serait donc... verticale ?)
Je comprends donc "dans une direction quelconque".
T(phi) = 2 π Lg cos(phi)
Je traduis en LaTex pour que ce soit plus facilement lisible : $T(\phi) = 2 \pi Lg cos(\phi)$
avec g : l’accélération de la pesanteur (9,81 m.s2)
L'accélération de la pesanteur à quel endroit ? Aux pôles, elle est égale à 9,83 m/s2 ; à l'équateur, elle est égale à 9,78 m/s2. (Ceci est dû au fait que la Terre n'est pas sphérique, mais légèrement aplatie aux pôles, comme le pressentait le grand Isaac. On pèse donc légèrement plus lourd aux pôles qu'à l'équateur, dans les deux cas sans les vêtements. :-)
La valeur que tu indiques est donc en contradiction avec ton exemple plaçant le pendule au Pôle Nord !
Sur ce, je fais une pose dîner. suite au prochain numéro. :-)
#490 Re : Entraide (collège-lycée) » grand oral » 18-04-2024 00:17:14
Non, ce n'est pas nécessaire. Ton texte suffira.
#491 Re : Entraide (collège-lycée) » grand oral » 17-04-2024 22:32:24
Je n'arrive pas à trouver le "cjoint point com"
J'avais écrit "point" à la place du caractère "." :-)
#492 Re : Entraide (collège-lycée) » grand oral » 17-04-2024 22:00:51
Je l'ai bien reçu, merci.
Néanmoins, il serait plus sain que l'assistance dont tu pourrais bénéficier, de ma part ou d'un autre membre, soit apportée dans le cadre du forum et non dans le cadre d'une assistance personnelle "hors antenne".
Donc, lance-toi ! Tu y gagneras un petit enrichissement de compétence technologique. :-)
#493 Re : Entraide (collège-lycée) » grand oral » 17-04-2024 21:10:45
Si c'est à titre privé, en cliquant sur la touche email associée à mon pseudo à gauche de mes messages.
Je préfère cependant que tu publies ton texte sur le forum en te connectant sur cjoint point com et en collant l'adresse du lien dans ton post. (Tu verras, c'est très simple.)
#494 Re : Entraide (collège-lycée) » grand oral » 17-04-2024 19:56:15
Oui, bien sûr !
Mais je ne te garantis pas de pouvoir y travailler ce soir car je dois terminer un travail pour un important rendez-vous demain.
Ce serait peut-être plus profitable pour toi que tu fasses part de ton texte sur le forum via cjoint point com.
Mais sans connaître préalablement ton texte, si tu appliques le TVI uniquement sur la rotation du plan, tu dois raisonner en angles exprimés en radians :
Sur une période, l'angle prend toutes les valeurs intermédiaires entre 0 et $\pi$ (et non $2\pi$ car il s'agit d'un plan...)
#495 Re : Entraide (collège-lycée) » grand oral » 17-04-2024 19:06:38
En revanche les valeurs extrêmes correspondent à mes bornes
C'est important de le préciser, et c'est encore plus important de montrer que tu ne fais pas la confusion.
Bonne soirée à toi également.
PS : Comment comptes-tu appliquer le TVI : sur la seule rotation du plan de balancement du pendule (c'est précisément son intérêt : illustrer la rotation de la Terre), ou aussi sur le balancement (en considérant que sur une période du pendule, on peut négliger la rotation du plan) ?
Tu as donc deux optiques d'application du TVI.
#496 Re : Entraide (collège-lycée) » Grand oral de maths sur les intégrales » 17-04-2024 18:29:47
Avec une simple intégrale simple, tu peux calculer, par exemple :
l'aire d'un rectangle ;
le volume d'un parallélépipède ;
l'aide d'un disque ;
le volume d'un cône de révolution ;
le volume d'une sphère ;
le volume d'un vase sur le tour d'un potier
la problématique étant « L'intégrale permet-elle d'aller au-delà du calcul de l'aire sous une courbe ? »
#497 Re : Entraide (collège-lycée) » grand oral » 17-04-2024 18:06:28
En revanche, dans mon oral, j'ai mis cette phrase : "La période de rotation du pendule, définie par une fonction continue, prend toutes les valeurs intermédiaires entre ses valeurs maximales et minimales à mesure que la latitude change. Ceci est conforme au TVI, qui stipule que toute fonction continue sur un intervalle donné prend toutes les valeurs intermédiaires entre ses valeurs extrêmes."
Bonjour yop,
Attention à la confusion fréquente : le théorème des valeurs intermédiaires ne dit pas « prend toutes les valeurs intermédiaires entre ses valeurs extrêmes »
Il dit que si la variable est comprise entre deux bornes, les valeurs de la fonction prennent toutes les valeurs intermédiaires entre l'image de la première borne et l'image de la deuxième borne.
Donc si $x \in [a , b]$, la fonction $f$ prend au moins une fois n'importe quelle valeur intermédiaire comprise entre $f(a)$ et $f(b)$.
Cela ne signifie en aucun cas que $f(a)$ et $f(b)$ sont les valeurs maximales sur $[a , b]$ !
Le théorème reste applicable si $f(b) = f(a)$.
(Si tu fais une balade en montagne, en partant de l'altitude 1000 m et que tu termines ta balade à la même altitude de 1000 m, tu es absolument certain qu'an moins une fois tu seras passé par cette altitude, quelles que soient tes montées et descentes durant ta balade, ne serait-ce que par le simple fait que tu pars de l'altitude 1000 m et que tu arrives à l'altitude 1000 m, ce qui fait déjà deux fois.
Par ailleurs, je n'ai pas l'impression que tu pourras étoffer suffisamment ton sujet sur le pendule de Foucault vs TVI dont, a priori, tu feras vite le tour. (Même en te balançant d'avant en arrière, et en tournant progressivement sur toi-même. :-)
#498 Re : Entraide (collège-lycée) » Grand oral de maths sur les intégrales » 17-04-2024 17:44:35
Salut Ricardo,
Un des sujets que je propose à mes élèves de Terminale pour le Grand oral : calcul d'aires et de volumes à l'aide de l'intégrale simple.
Je t'assure qu'il y a de quoi dire.
#499 Re : Entraide (collège-lycée) » une inégalité un peu farfelue » 14-04-2024 23:48:13
L'alternance ab, bc, ac me fait penser au développement de $(a + b + c)^2$.
Je vais un tout peu plus loin dans mon intuition (peut-être fausse) :
Le fait que $a + b + c = 1$ entraîne
$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac = 1$
D'où $ab + bc + ca = \dfrac {1 - a^2 - b^2 - c^2} 2$
Je ne sais pour l'instant pas aller plus loin. Est-ce une voie exploitable ?
#500 Re : Entraide (collège-lycée) » une inégalité un peu farfelue » 14-04-2024 22:05:37
Bonsoir,
Je sens que je vais me plonger dans ces documents, histoire d'apprendre des exos intéressants que je pourrai transmettre à certains de mes élèves.
Merci Doc !
J'aurais dû écrire « Si cette inégalité est du même acabit que celle repérée par yoshi [...] »
Mais le bon ami Borassus a aussi écrit plus haut « Il y a par ailleurs une symétrie entre les trois nombres qui me fait penser que la solution doit être simple si on sait tirer le bon bout du nœud. ».
A voir donc si cette inégalité est du même ordre que la première publiée par 101bendri.samad, ou si effectivement elle se résout facilement (et donc élégamment) pour peu qu'on sache tirer le bon bout du nœud. :-)