Forum de mathématiques - Bibm@th.net

@Borassus : pour modérer ton enthousiasme, ce qui est vraiment utile pour une progression géométrique, c'est bien la somme des termes et pas leur produit.
Le fait que la même "philosophie" en termes de moyenne s'applique pour la somme des termes d'une progression arithmétique et pour le produit des termes d'une progression géométrique, c'est simplement que l'on passe d'une situation à l'autre par exponentielle/logarithme.
Pour revenir à la façon d'illustrer les formules , dans le cas d'une progression arithmétique il y a le dispositif bien connu qui consiste à recopier la progression en inversant l'ordre : $$\begin{array}{cccccc}0&1&2&\ldots&n-1&n\\n&n-1&n-2&\ldots&1&0\end{array}$$ et à faire la somme des deux lignes pour trouver $n(n+1)$.
Dans le cas d'une progression géométrique, on peut recopier la progression multipliée par la raison $r$ en décalant d'un pas : $$\begin{array}{c|ccccccc}&1&r&r^2&\ldots&r^{n-1}&r^n&\\\hline{}\times r&&r&r^2&\ldots&r^{n-1}&r^n&r^{n+1}\end{array}$$ et faire la différence des deux lignes pour trouver que $1-r$ fois la somme des termes est $1-r^{n+1}$.

Bonjour,
De quelle relation d'équivalence parles-tu exactement ? Que veux-tu dire avec ton $x^{-1} \,y$ ?

Bonsoir,
Ta question est vaine, à mon avis.
Dans le cas d'une progression arithmétique, on additionne à chaque fois la raison, et comme on cherche la somme des termes, ça colle bien avec la moyenne arithmétique.
Dans le cas d'une progression géométrique,  on multiplie à chaque fois par la raison,  et comme on cherche la somme des termes, ça ne colle plus. Si on cherchait le produit des termes, ça collerait  avec la moyenne géométrique.

J'ai expliqué la solution correcte dès mon premier  message  #3 ci-dessus...   :(

M'enfin, Bernard-maths, qu'est-ce que tu racontes ??? Il y a deux colonnes. Donc ton nombre de choix possibles d'une colonne, c'est 2 et pas 1. Si $M=N=p=2$, ton $A_M^p*A_N^p$ c'est bien $2\times 2=4$.

Hum hum, Bridgslam. Peux-tu préciser ce qu'est ton ensemble $S_p$ ? "L'ensemble des bijections entre eux", ça ne tient pas tellement la route vu que les ensembles de départ de ces bijections et les ensembles d'arrivée varient respectivement dans $L_p$ et dans $C_p$. Ton produit cartésien ne fait pas sens.
Je rappelle la description succincte que j'ai donnée plus haut :
1°) On fait le choix d'une partie $E$ à $p$ élément de l'ensemble des lignes ; il y a $C_M^p$ choix possibles.
2°) $E$ étant choisi, on fait le choix d'une injection $f$ de $E$ dans l'ensemble des colonnes ; il y a $A_N^p$ choix possibles.
Les cases cochées sont les $(i,f(i))$ pour $i\in E$.
Ceci montre que le nombre de façons de cocher correctement $p$ cases dans la grille est $C_M^p\times A_N^p$.
Si l'on tient absolument à voir un produit cartésien, on peut numéroter chaque $E$ de 1 à $p$ dans l'ordre des indices de lignes, ce qui identifie une injection de $E$ dans l'ensemble des colonnes à une injection de $\{1,\ldots,p\}$ dans l'ensemble des colonnes. Dans ta description, il faudrait numéroter chaque élément de ton $L_p$ comme ci-dessus, numéroter aussi chaque élément de ton $C_p$ dans l'ordre des indices de colonnes, de sorte que ton $S_p$ serait simplement l'ensemble des permutations de $\{1,\ldots,p\}$.
Je préfère ma description succincte.

Bridgslam, regarde le cas où $M=N=p=2$. Il n'y a que deux façons de cocher 2 cases  correctement : soit on coche (1,1) et (2,2), soit on coche (1,2) et (2,1).

Problème 242 du défi Turing.
Je répète ce que j'ai déjà écrit sur l'autre fil d'abel : recopier les énoncés sans même donner la source ne me paraît pas très sain, surtout quand on a déjà fait ça sur plusieurs forums.

Parce que tu utilises dans ton argument le résultat qu'il faut démontrer.
Mais en fait, en relisant, c'est plus grave que ça. Tu raisonnes comme si une application injective entre deux ensembles de même cardinal était forcément bijective. Et ça, ça ne marche effectivement que pour des ensembles finis.
Par exemple prends l'application $n\mapsto 2n$ de $\mathbb N$ dans lui-même : elle est injective, pas surjective.

Il y a même une infinité de chemins ...
Je vois 20 chemins différents de même longueur minimale.

Je suis sagement resté à la surface du polyèdre :

Ce qu'écrit Reouven ne va pas :
1°) L'hypothèse de continuité de $f$ est bien présente dans l'énoncé formulé par Malette_Suspecte
2°) La définition de limite qu'il utilise n'est pas celle utilisée actuellement. Voir par exemple  la définition sur ce site.
La fonction $f$ de Reouven  n'a pas de limite en $a$ au sens de cette définition.